福建省福州市第四中学桔园洲中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

福州市橘园洲四中2023-2024学年度九年级第一学期开门考数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分钟）一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分）1.要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A.． B.. C.． D.．【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意得：x-3≥0，解得，．

故选C．【点睛】本题考查二次根式有意义条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．2.已知a，b，c是的三边，下列条件中能够判断为直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐一进行判断即可．【详解】解：A、∵，设，则：，∴，∴，∴不是直角三角形，不符合题意；B、∵，∴，∴，∴，∴不是直角三角形，不符合题意；C、，设，∵，∴，∴不是直角三角形，不符合题意；D、∵，∴；∴是直角三角形，符合题意；故选D．【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及一个三角形的三边满足勾股定理，这个三角形是直角三角形，是解题的关键．3.已知y关于x的二次函数解析式为，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得．【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为，∴解得，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算．4.某兴趣小组统计了连续两周上午十点的天气温度，并将结果统计如下表，根据表格数据，这14天中，该地上午十点的天气温度的众数和中位数分别是（）体温（）36.236.336.536.636.8天数（天）33422A.36.6，36.4 B.36.5，36.5 C.36.8，36.4 D.36.8，36.5【答案】B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义，进行判断即可．【详解】解：36.5出现的次数最多，∴众数为36.5；数据排序后，第7个和第8个数据均为36.5，∴中位数为36.5；故选B．【点睛】本题考查求众数和中位数。解题的关键是掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数．5.如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定方法进行分析即可．【详解】A、，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意；B、∵在中，，又，则，则为矩形，故此选项不符合题意；C、∵，∴，又，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意；D、能判定平行四边形为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键．6.下列各式中，正确是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．【详解】A．，故A错误；B．，故B正确；C．，故C错误；D．，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算，是解题的关键．7.下列实际情境中的变量关系可以用下图近似地刻画的是（）A.一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系） B.一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）C.足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系） D.匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象可以得到因变量随着自变量的增大而增大，逐一进行判断即可．【详解】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，A、一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，不符合题意；B、一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大，符合题意；C、足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，不符合题意；D、匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故选B．【点睛】本题考查利用图象表示函数关系．解题的关键是从图象中有效的获取信息．8.已知平行四边形的两条邻边长分别为和，其中一条高为，则该平行四边形的面积是（）（提示：高只能为边上，如果在边上，则斜边比高小，斜边不能比直角边短）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可求解．【详解】解：依题意，高只能为边上，如果在边上，则斜边比高小，斜边不能比直角边短∴该平行四边形的面积是，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．9.按照党中央、国务院决策部署，各省、市抓紧推动稳经济一揽子政策落地．孝南区某企业4月份的利润是万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为，则依题意列方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据4月利润及平均月增长率可得5月的利润为，同理根据5月利润及平均月增长率可得5月的利润，再根据第二季度的总利润达到500万元即可列出方程．【详解】解：∵4月份的利润是万元且利润平均月增长率为，∴5月的利润为，同理6月的利润为，∵第二季度的总利润达到500万元，∴，故选D．【点睛】本题考查一元二次方程实际应用题的平均增长率问题，解题关键是找准等量关系连续几个月的利润分别为多少．10.一次函数的图象上随的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的图象上随的增大而减小，可以得到，依次将四个选项的值代入进行计算，得到值后进行判断即可．【详解】解：∵一次函数的图象上随的增大而减小，∴，当点在图像上时，，解得，不符合题意；当点在图像上时，不成立，不符合题意；当点在图像上时，，解得，不符合题意；当点在图像上时，，解得，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键根据题意得到．二、填空题：每小题4分，共6小题，共24分·11.化简：__________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．12.如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是______．【答案】2【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：在中，是斜边上的中线，，，故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形性质，熟记直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解决问题的关键．13.甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温更稳定的是______．【答案】乙【解析】【分析】由图可知乙地的平均气温波动小，比较稳定．【详解】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温波动小，比较稳定．故答案为：乙【点睛】本题考查根据方差判断稳定性．掌握方差越小，波动越小，越稳定是解题关键．14.已知方程的两个根是m，n，则_______．【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系求出两根之积．【详解】解：和是方程的两个根，．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握．15.已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】5或【解析】【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，故答案为：或5．16.在平面直角坐标系中，，，则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】根据点的坐标可确定点在直线上，可得是等腰直角三角形，作点关于直线的对称点，连接与交于点，连接，可求出点的坐标，当点在线段时，的值最小，即最小，由此可得，在中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：当时，，∴点在直线的直线上，如图所示，令时，；令时，；即直线与轴的交点为，与轴的交点为，∴是等腰直角三角形，且，如图所示，作点关于直线的对称点，连接与交于点，连接，∴，∴，即是的垂直平分线，∴，，∴，∵点关于直线的对称点，∴，当点在线段时，的值最小，即最小，如图所示，∴，在中，，，∴，∴的最小值是，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数与对称轴—对短路径的问题，掌握点关于直线对称的性质，对称性与对短路径的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤.17.计算：（1）（）﹣（）；（2）2×÷5．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先化简二次根式，再进行二次根式的乘除法运算即可．【详解】（1）原式==；（2）原式==.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．18.解方程：．【答案】，．【解析】【分析】利用公式法求解即可．【详解】∵a＝2，b＝3，c＝−1，∴△＝32−4×2×（−1）＝17＞0，则x＝＝＝，即x1＝，x2＝．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．求证：平行四边形ABCD是菱形．【答案】见详解【解析】【分析】先证明△AEB≌△AFD（ASA），得AB=AD，再由菱形的判定定理即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△AEB≌△AFD．20.已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，根的判别式大于零的知识即可求解．【详解】解：在关于的一元二次方程中，，则，∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，令得，，，∴时，且．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根的知识是解题的关键．21.如图，O是数轴的原点，过点O作数轴的垂线，请用圆规和无刻度直尺在数轴上作出表示的点A（保留作图痕迹），写出作法，并说明理由．【答案】作法和理由见解析【解析】【分析】在数轴上取到1的长度为，以O为圆心，长为半径，画弧，交于点N，连接，以O为圆心，长为半径，画弧，交数轴正半轴于点A，则点A即为所求．【详解】解：在数轴上取到1的长度为，以O为圆心，长为半径，画弧，交于点N，连接，以O为圆心，长为半径，画弧，交数轴正半轴于点A，则点A即为所求．由作图可知：，∴；∴点即为所求．【点睛】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．熟练掌握利用勾股定理在数轴上构造无理数，是解题的关键．22.某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【答案】（1）（2）12元【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式．（2）根据总利润=每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可．【小问1详解】解：设y与x之间的函数关系式为，由题意可知，将和代入中得，解得：y与x之间的函数关系式为故答案为：【小问2详解】解：根据题意得整理得：，解得：，又要让顾客获得更大实惠，．答：这种干果每千克应降价12元．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据利润公式准确列出方程．23.某经商采购了批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg）得分数据如下17，23，31，31，36，45，45，50，48，48，61，65，65，68，72，81，82，82，85，95．根据以往的大数据认定得分数据对应等级如下表；得分数据x等级四级三级二级一级（1）试求这20筐水果得分的平均数．（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；方案2：分等级出售．等级四级三级二级一级售价（万元/吨）1.21.51.82请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．【答案】（1）56.5（2）方案1较好，理由见解析【解析】【分析】（1）求这组数据的平均数即可求解．（2）分别求得两种方案获得的售价即可求解．【小问1详解】求这20筐水果得分的平均数为：【小问2详解】方案1较好，理由如下，方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售，，∴等级为二级，售价为1.8万元/吨；方案2：数据统计如下，得分数据x等级四级三级二级一级数量2855售价万元/吨，，方案1较好．【点睛】本题考查了求平均数，求加权平均数，正确的计算是解题的关键．24.在平面直角坐标系中，已知点在用一条直线上，且．（1）求之间的数量关系，并用等式表示；（2）若．①求直线的解析式；②若过点的直线与线段有公共点，求直线与直线交点的纵坐标的取值范围．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）利用正比例函数图像与性质，代值求解即可得到答案；（2）①由题意得到，从而得到，待定系数法确定函数关系式即可得到答案；②根据题意，利用待定系数法求出过和的直线，求出与直线的交点即可得到答案．【小问1详解】解：∵在用一条直线上，∴该直线过原点，即直线为正比例函数，设，∴将代入正比例函数解析式可得，即，∴；【小问2详解】解：①由（1）得，，∴，∴，∵，∴，即，解得，当时，（不满足，舍去）；当时，，满足题意；∴，即，把代入直线的解析式得，解得，∴直线的解析式；②设过点的直线解析式为，当直线过点时，代入得到，解得，直线的解析式为，此时当时，；当直线过点时，代入得到，解得，直线的解析式为，此时当时，；∴若过点的直线与线段有公共点，求直线与直线交点的纵坐标的取值范围．【点睛】本题考查一次