江苏省无锡市天一高级中学高三数学理期末试题含解析

江苏省无锡市天一高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(

) A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0 C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=0参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．解答： 解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，即x2+y2﹣10x+9=0，故选A．点评：本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．2.已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x）=k（2＜k≤3）的根的个数不可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，令t=2x2+x，分类讨论求得y=a与y=f（t）的图象的交点个数，可得结论．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如右图，令t=2x2+x，当2＜a≤3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为t1，t2，t3且t1≤0＜t2＜t3，当2x2+x=t2时，该方程有两解，2x2+x=t3时，该方程也有两解．当2x2+x=t1时，该方程有0个解或1个解或2个解，∴当2＜a≤3时，方程f（2x2+x）=a的根的个数可能为4个，5个，6个．当a＞3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为t4，t5且0＜t4＜t5，当2x2+x=t4时，该方程有两解，2x2+x=t5时，该方程也有两解，∴当a＞3时，方程f（2x2+x）=a的根的个数为4个．综上所述：方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数可能为4个，5个，6个，不可能是3个，故选：D．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．3.已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x?N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0]参考答案：D【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x?N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x?N}=[﹣4，0]．故选：D．4.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的NBA篮球赛中，休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（）种出场阵容的选择．A．16 B．28 C．84 D．96参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、若只有一名控球后卫，可以在两名控球后卫任选1人，在两名中锋任选1人，在其他4个人中选出3人，组成球队，②、若有2名控球后卫，将两名控球后卫全部选出，在两名中锋任选1人，在其他4个人中选出3人，组成球队，分别求出每一种情况的出场阵容，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则控球后卫的人数为1或2，分2种情况讨论：①、若只有一名控球后卫，可以在两名控球后卫任选1人，在两名中锋任选1人，在其他4个人中选出3人，组成球队，则此时有C21C21C43=16种出场阵容；②、若有2名控球后卫，将两名控球后卫全部选出，在两名中锋任选1人，在其他4个人中选出3人，组成球队，则此时有C22C21C42=12种出场阵容；则一共有16+12=28种出场阵容，故选：B．5.“”是“直线与圆相切”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】当时，可得直线方程，通过点到直线距离公式可求出圆心到直线距离等于半径，可知直线与圆相切，充分条件成立；当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离等于半径构造方程可求得或，必要条件不成立，从而得到结果.【详解】由圆的方程知，圆心坐标为，半径当时，直线为：，即圆心到直线距离当时，直线与圆相切，则充分条件成立当直线与圆相切时，圆心到直线距离，解得：或则必要条件不成立综上，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.6.已知，且，则实数的值为A．

B．

C． D．参考答案：C略7.已知∈（,），sin=,则tan（）等于A．－7

B．－

C．7

D．参考答案：A略8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲)A． B． C． D．参考答案：A略9.若半径为1的球面上两点A、B间的球面距离为，则球心到A、B两点的平面的距离的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：答案:C10.若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．1 B．5 C．4 D．3+2参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，即圆心为（1，2），∵直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，∴直线过圆心，即2a+2b﹣2=0，∴a+b=1，则+=（+）（a+b）=2+1+，当且仅当，即a=时取等号，故+的最小值是3+，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用直线和圆的位置关系得到a+b=1是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为

．参考答案：

.又，且，所以.设，令，则，故在上单调递增，所以.12.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则f（f（﹣16））=．参考答案：【考点】：分段函数的应用；函数的值．函数的性质及应用．【分析】：直接利用分段函数，由里及外逐步求解函数值即可．解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则f（﹣16）=﹣f（16）=﹣log216=﹣4，f（f（﹣16））=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣cos=．故答案为：．【点评】：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查函数的奇偶性的性质，三角函数值的求法，考查计算能力．13.已知α∈（0，π），sin（α+=﹣，则tanα=．参考答案：﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+）的值，可得tan（α+）的值，再利用两角差的正切公式，求得tanα的值．【解答】解：∵已知α∈（0，π），sin（α+=﹣，∴α+∈（π，），∴cos（α+）=﹣=﹣，∴tan（α+）===，∴tanα=﹣，故答案为：﹣．14.已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．参考答案：(0,1)

15.已知圆C：，直线l：则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为

.参考答案：16.已知则=

.参考答案：略17.已知，则的最小值为

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，AD=AC=1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。（1）证明：PB//平面ACM；（2）证明：AD平面PAC（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。参考答案：考点：空间的角垂直平行试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且M为PD的中点，又平面ACM，平面ACM,所以PB//平面ACM。（2）证明：因为，AD=AC，所以，所以,又PO平面ABCD，所以所以AD平面PAC。（3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD，所以为直线AM与平面ABCD所成角。因为AD=AC=1，，所以所以又所以19.已知为锐角，且，函数，数列的首项，.（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和.参考答案：（1）由，是锐角，………4分

.

………6分（2），

（常数）

………8分是首项为,公差的等差数列,，

………10分∴.

………12分

略20.如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.参考答案：解法一：（Ⅰ）取的中点，连，则∥，

∴或其补角是异面直线与所成的角.

设，则，.

∴.

∵在中，.

∴异面直线与所成的角为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.因为三棱柱是直三棱柱，∴平面，

又∵

∴.

∴.

∴～.

∴.即得，所得是的中点.连结，设是的中点，过点作于，连结，则.又∵平面平面

∴平面.而，∴，∴是二面角的平面角.由得.即二面角的为.

∴所求二面角为.解法二：（Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则、、、、.∴，∴.∴异面直线与所成的角为.

（Ⅱ）设，则，

由得，知，

∴.设平面的一个法向量为，则，∵，∴，取，得.易知平面的一个法向量，∴.

∴二面角的大小为.略21.（本小题满分13分）数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nλ?bn+1（λ为常数，且λ≠1）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及λ的值；

（Ⅱ）比较与Sn的大小．参考答案：【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．D2D3【答案解析】（Ⅰ），（Ⅱ）<Sn解析：（Ⅰ）

----------------2分

----------------5分（Ⅱ）令----------9分

--------10分

---------13分【思路点拨】（Ⅰ）根据1-a2是a1与1+a3的等比中项，建立关于a1的方程，解出a1=，从而得出数列{an}的通项公式．再由Tn=nλ?bn+1分别取n=1、2，建立关于{bn}的公差d与λ的方程组，解之即可得到实数λ的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，利用等比数列的求和公式算出Sn的表达式以及由等差数列的通项与求和公式算出{bn}的前n项和Tn=4n2+4n，利用裂项求和的方法即可得到所