2023年湖南省湘潭市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年湖南省湘潭市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.命题甲：X>7T,命题乙：X>271,则甲是乙的（）

A.A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C充分必要条件

D.不是必要条件也不是充分条件

9种产品有3种是名牌,要从这9种产品中选5种参加博览会,如果名牌产品全部

参加,那么不同的选法共有（）

（A）3O种（B）12种

2.（C）15种（D）36种

3若p：X=l；q：X2-l=0,则（）

A.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

B.p是q的充要条件

C.p是q的必要条件但不是充分条件

D.p是q的充分条件但不是必要条件

4.函数y=cos2x的最小正周期是()

A.A.4兀B.2KC.TID.K/2

5已知sina=春,cos，=一||，其中a.西则cos(a一伊的值为

A.-63/65B.63/65C.-33/65D.33/65

6.

第14题曲线|x|+|y|=l所围成的正方形的面积为()

A.2B.6

C.1D.4互

7.

第5题设y=F(x)是函数y=f(x)的反函数，若点(2,-3)在y=f(x)图象

上，那么一定在y=F(x)的图象上的点是()

A.(-2,3)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(-2,-3)

8.蓍方裳/-mJ♦2xf2y«0爱示两条直经mMBttfiA.lB.-lC.2D.-2

9.若直线aJL直线b,直线b〃平面M,则()

A.a//M

B.aUM

C.a与M相交

D.a//M,aUM与M相交，这三种情况都有可能

(7)设甲：2・>2，

乙:Q>b,

则

(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件

(C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

(D)甲是乙的充分必要条件

11.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.

B.'

C.

D.八i；二〕*「、；=.，

n左7%羊的反函数为

12.已知函数f(x)工+。工3贝(j()

A.a=3,b=5,c=-2B.a=3,b=-2,c=5C.a=-3,b=-5,c=2D.a=2,b=5,c=-3

13.有6名男生和4名女生，从中选出3名代表，要求代表中必须有女

生，则不同的选法的种数是()

A.100B.60C.80D.192

14.设集合M=(x||x|V2},N=(x||x-l|>2},则集合MDN=()

A.A.{x|x<-2或x>3}

B.{x|-2(x(-l}

C.{x|-2(x<:3)

D.{x|x<-2或x>2}

15.若x>2,那么下列四个式子中①x2>2x②xy>2y;③2x>x;④94,正确

的有0

A.4个B.3个C.2个D.1个

在等比数列I。」中，巳知对任意正整数n.at+a2+-+a.=2--1,则a：+

+…+a：=()

(A)(2*-I)1(B)^-(2,-I)2

(C)4--l(D)

16.

17

A.A.67rB.37rC.27rD.7r/3

已知定义在［2,T］上的函数〃工)=log.x的最大值比最小值大1,则a=

(A)f(B)|

2”

(C)2或宣(D)手或二

18.2F

19.在等比数列｛an｝中,若a4a5=6,则a2a3a6a7=0

A.12B.36C.24D.72

20.从1,2,3,4,5……9中任取两个数，使它们的和为奇数，则不同

的取法共有

A.20B.26C.36D.60

21.已知函数"1)=52—的图像经过点(],2),且其反函数的图像

经过点(3,0),则函数f(x)的解析式是

A./(X)=+今B./(X)=一/+3

乙乙

C./(x)=3x34-2D./(x)=X2+3

1一通=

22.(.3-0-()

.1,73.

A.A.

直线I过定点（13）.且与声坐标■正向所固成的三角形面积等于6,则I的方程

23.是（）

A.3、7*0B.3x-6

C.x>>)y■10D.y«3-3«

24.已知a是锐角，且且si2sm今=8：5,则“Sa的值为()

A.4/5B.8/25C.12/25D.7/25

25.

产>0

F等式组3-*|2-"的解集是

()

A.A.{x|0<x<2}

B.{x|0<x<2.5}

C.{x|0<x<>/6}

D.{x|0<x<3}

26.若f(x+l)=x?—2x+3,则f(x)=()

A.A.x2+2x+6

B.x2+4x+6

C.x2-2x+6

D.x2-4x+6

27.若-，＜«不横足3=-卑的工值是()

A.A.-n/3B.rt/3C.-n/6D.n/6

28.设A、B、C是三个随机事件，用A、B、C的运算关系()表示事件：

B、C都发生，而A不发生.

A.AUBUC

B.ABC

C.AUBUC

D.A%'

29.

2

(1)设集合M=|(x,r)lA+/<1|，集介"={<*,?)I，则集合制与集合N

的关系是

(A).»/UAf=.V(B)-vnjV=0

tC)N$M(D)ilf5/V

30.9种产品有3种是名牌，要从这9种产品中选5种参加博览会，如

果名牌产品全部参加，那么不同的选法共有()

A.A.30种B.12种C.15种D.36种

二、填空题(20题)

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是08,如果命中就停止射击，否则一直射到

31.子弹用完为止,那么这个射手用子弹数的期望值是_____-

32.设函数f(x)=x+b,且f(2)=3,贝IJf(3)=o

33.不等式(2x+l)/(L2x)的解集为.

34.(18)向量明b互相垂直，且“I=1,则。•(0+6)=?

35.(2x-l/x)6的展开式是.

36.某几何体下部是直径为2,高为4的圆柱，上部是直径为2的半

球，则它的表面积为，体积为

37.方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0（A和）满足条件（D/2A>+（E/2A）2-F/A=0,它

的图像是__________•

蹑函数/(x)="-3x'+l的极大值为

以椭圆(+==1的焦点为顶点.而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程为

on

39.

i.-2JI♦1

心一工二-------1

41.正方体ABCD—A'B'C'D'中，A'C'与B'C所成的角为

行已知/(*)=/+*则/(工)=________.

42.o

ATT/“I—TT,llicosa=，则cos~r)

43.已知、>na、2”1-一值等于

44.

设正三角形的一个顶点在原点,关于X轴对称.另外两个顶点在抛物线』=2屈

上.则此三角形的边长为

45.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之

积为偶数的概率P等于

46.1g（tan43°tan45°tan47°）=.

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

47.9,则四张贺年*不同的分配方式/]_种.

48.

已知随机变量E的分布列为

1234

P「0.150.250.300.200.10

则E$=

已知大球的我面积为*.另一小球的体积是大球体积好.则小球的半径

49.是

过附上一点黑（-3,4）作该删的切线,则此切线方程为•

三、简答题（10题）

51.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2,3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

52.

(本小题满分12分)

已知等差数列la1中,%=9.%+%=0.

(1)求数列la」的通项公式•

(2)当n为何值时,数列la.|的前〃页和S.取得被大值,并求出该最大值.

53.(本小题满分12分)

巳知点4(%,y)在曲线y=匕上，

(I)求与的值；

(2)求该曲线在点.4处的切线方程.

(23)(本小题满分12分)

设函数/(x)=/-2/+3.

(I)求曲线尸=/-2/+3在点(2,11)处的切线方程；

乂(H)求函数/(工)的单调区间.

55.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

56.

(本小题满分12分)

△A8c中，已知aJ+?-6s="，且lo&sia4+lo&sinC=-1,面积为acm-,求它二

出的长和三个角的度数.

57.（本小题满分12分）

已知£,吊是椭网急+a=I的两个焦点,P为椭圆上一点，且4Ft/,A=30。.求

△PF\F）的面积.

58.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,73的系数是％2的系数与X4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

59.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

60.

（本小题满分13分）

已知08的方程为/+/+0*+2,+/=0,一定点为4（1,2）.要使其过起点4（1.2）

作画的切线有两条.求a的取值范围.

四、解答题(10题)

在△48C中,48=8R、B=45°,C=60。,求AC,BC.

61.

62.设函数f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)求f(x)的极值.

63.为了测河的宽，在岸边选定两点A和B,望对岸标记物C,测得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的宽.

64.已知函数f(x)=|x|,函数g(x)=|x-l|.

(I)解不等式f(x)>g(x)；

(n)定义分段函数f(x汝口下：当f(x)2g(x)时，F(x)=f(x);当f(x)<g(x)

时，F(x)=g(x).结合(I)的结果，试写出F(x)的解析式；

(皿)对于(II)中的函数F(x),求F(x)的最小值.

65.

已知函数人了)==-2&

(I)求函数y=/(x)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数；

(2)求函数y=/(x)在区间［0,4］上的最大值和最小值.

66.设直线y=x+1是曲线》一二+3M+4z+”的切线，求切点坐标

和a的值.

67.从0,2,4,6,中取出3个数字，从1,3,5,7中取出两个数字，共能组成

多少个没有重复的数字且大于65000的五位数？

已知等差数列I中=9.a,+a,=0,

(I)求数列la.l的通项公式

(2)当n为何值时，数列la.I的前”项和S.取得最大值，并求出该最大值•

68.

69.建筑-个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁每m2的造

价为15元，池底每ri?的造价为30元.

(I)把总造价y(元)表示为长x(m)的函数；

(II)求函数的定义域.

70.已知函数f(x)=2x3-12x+l,求f(x)的单调区间和极值.

五、单选题(2题)

71.过点(1,2)且与直线2x+y-3=0平行的直线方程为()

A.A.2x+y-5=0

B.2y-x-3=0

C.2x+y-4=0

D.2x-y=0

72.

若3+2i为方程2MTZu26.<WR）的,个根，则•为）

A.b=-12,c=26

B.6=12,f=-26

C.b=26,f=-12

D.b—26,c—12

六、单选题(1题)

某人打靶的命中率为0.8,现射击5次,那么恰有两次击中的概率为()

(A)0.8J(B)0.8Jx0.2J

(C)C；0.8Jx0.2J(D)C10.83x0.21

参考答案

l.B

2.C

3.DX=1=>X2-1=0,而x2-l=0=>x=l或x=-l,故p是q的充分但不必要条

件.

4.C

由降部公式可知尸cosGu：+2H,所以函数的最小正周期为字=4.(答集为C)

5.B

cos|J=—II.所以cosa=—r-.sinf=告W

4

cos（a^^）acosa•cos夕+sina•5inR=—X

【解析】因为♦旦sma-g.（一音）十卷*,=,+点=黑.

本题主要考查各象限内的角的三角函数值的符号、同角三角函数间的

关系、两角和与两角差的三角函数公式，考查考生的运算能力

6.A

7.C

8.A

A・折：方杵E分・方/♦21+y)=0,若其防啊条有帙乡罐9.IS式.我当时覃方

程町分・为«0,表小/条直线“-八2・0趟”,-Q.

10.D

11.D

12.A

13.A

14.B

集合M={x||x|<2)={x|—2<x<2),N={x||x—1|>2)={X|X<—1或x

>3),则集合MnN={x|-2VxV-l).(答案为B)

15.B

①中由x>2即x>0,所以x2>2x成立;②中由x>2,y的范围不确定，

因此xy>2y不一定成立，③中由2>1,x>0所以2x>x成立;④中式子成

立是显然的.正确的式子是①③④.【考点指要】本题考查不等式的基本

性质.不等式的性质：a>b,c>0那么ac)>bc.

16.A

17.A

18.D

19.Ba2a3a6a7=a2a7・a3a6=(a4a5)2=36.

20.A

A解析:加速.斋利为仔数，则只使取个敷为奇畋B•个数为由我则不冏的取族为C・c.=20.

21.B

人外过(1.2).其反函数厂'(])过

(3.0).则/《外又过点(0・3).

ja+b=2

所以有/(1)=2./(0)=3.-

aX0+b=3

.,./(x)=-x2+3.

22.B

1-Qi1一描1一面(1一商)'

<V3+i)«3+273i-l2+2描2(1+V3i>(l-V3i)

=二^T■一荽(答案为B)

23.B

B解析：电直线方程为工++=l,则E知工+；=1,；I泌=6..解得“_2,6=6,故网线方程为彳

(10(II•

令上=1♦乜。3**):6.

24.D

••sina_8_a_4__7

•-------=—=^cosk="7"=^cosa=—

.o^_oZoZo

利用倍角公式化简，再求值.sinT

25.C

26.D

f(x+l)=x2—2x+3=(x+l)2—4(x+l)+6,.,.f(x)=x2-4x+6.(答案

为D)

27.A

-y<J<y.x<0,sin(—z)=—sinx=y,—z=y,x=—(答案为AJ

28.B选项A,表示A或B发生或C不发生.选项C,表示A不发生或

B、C不发生.选项D,表示A发生且B、C不发生.

29.D

30.C

31.k216

32.4由题可知f(2)=2+6=3,得b=l,故f(3)=3+b=3+l=4.

33.{x|-l/2<x<1/2}

红2rM>0mJ2HIV。⑦

1-2JT>0(1—2x>0①*卜一21<0®

①的“集为•②的解戛为0.

{工|一■1•■<]<<十>U0N(”一

34.(18。

35.64X6-192X4+...+1/X6

(I»—*(-•-)<+a(2^),+«~+a(t»r*«xr.

•TH**

36.

2由+2M+M=Iht.%=V®,+%”=/A+

品S新】Sa=SWM|+SiWHl+Si|M--|'X（-5-iJ?）=4）H-|-1t=yir.11兀本题

考查多面体，旋转体的表面积及体积.考生应熟记球体、柱体、锥体的

这些公式，注意不要记混.

37.

占（-2-三）

点I2A'2A>

AP+0r+E#F.0•①

（一到+6给•（给+⑸一齐。

•・・唔）'+（给T・%

（._D八”

I*"认".火/.2.—V）为的・・

方程①大有实£・,它的国母也以（/A，iAf

卜一以

（-聂•一白）♦乜

38.

39.

40.

。UM：tSt/I»>-i"2i*1.<«)-«'s2«-2,4'(«)*v«'-1UUm凡］-fan4’2*

।2x—22*102A

41.

答案：60°【解析】正方体中A'C'与B'C为异面直线，因为AC

〃A'C',所以AC与B'C所成的角，即为A7C'与B'C所成的

角.又4AB'C为等边三角形.所以NACB7=60。。即A'C'与B'C

成60o的角.求异面直线所成的角关键是将其转移至同一平面内.并表示

出该角，再求解.

42.0

43.答案:

注意cosm的正负.

V5«<a<?第三象限角），

•5x^.a/11发£第二象限角）

-T<T<TK

故cos

又VIcosaIcoxa=—m.则

a_/1+cosa

COST==~V—2-

44.

45.

13

18

46.0Ig(tan43°tan450tan470)=Ig(tan430tan450cot430)=Igtan45°=Igl=0.

9

47.

48.E^=0x0.15+1x0.25+2x0.30+3x0.20+4x0.10=1.85.(答

案为1.85)

49.

_3x-4y+25=0

OU・

51.

设三角形三边分别为a，b,c且a+6=10,则6=10-a.

方程2/-3x-2=0可化为(2x+l)(x-2)=0.所以、.=-y.xj=2.

因为a、b的夹角为8，且Wl.所以《＞嵋=-y.

由余弦定理，得

c1sa1+(10-a)1-2a(10-a)x(-y)

=2aJ+100-20a+l0a-a2=aJ-10a+100

=(a-5)'+75.

因为(a-5)\0.

所以当a-5=0,即a=5H*,c的值最小，其值为"=5笈

又因为a+〃=10,所以c取得最小值,a+b+C也取得最小值.

因此所求为10+5A

52.

(1)设等比数列Ia.I的公差为d,由已知的+，=0,得2%+9d=0.

又已知％=9,所以d=-2.

得数列Ia.I的通项公式为a.=9-2(i»-l),Wa,=ll-2n.

(2)«mia.lM8JnJ®WS.=y(9+ll-2n)=-n2+10n=-(n-5),+25.

则当n=5时,S.取得最大值为25.

53.

(1)因为\所以q=L

⑵八-昌eLT

曲线,=工在其上一点(1处的切线方程为

x*12

即x+4y-3=0.

(23)解：(I)/(#)=4/-4%

54,八2)=24，

所求切线方程为y-11=24(-2),即24X-y-37=0.……6分

(口)令/(外=0,解得

*1=-1,x2=0,Xj=1.

当X变化时/(*)/(幻的变化情况如下表：

X(-8,-1)T(-1,0)0(0,1)1(1,+*)

r(x)-0+0-0

232Z

/«)的单调增区间为(-1,0),(1,+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

55.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为丫元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500-10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润丫取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

56.

24.解因为、+J=-所以'=_1_

2ac2

即8sBg,而B为AABC内角，

所以B=60°,又1叫曲认+lo^sinC=-1所以sin4•sinC=+.

则/[coe(4-C)-c<»(x4.C)]="；

所以cos(4-C)-cosl20。=/.即COB(4-C)=0

所以4-C=90。或4-C=-90。.又4+C=120。.

解得4=105。储=15°；或4=15。,。=105。.

:

因为4M=yaArinC=2Xsiwlsin0sinC

=2片・应业.臣・&凡每?

4244

所以%=万,所以R=2

所以a=2Ksin>4=2x2xsin1050=(%+")(cm)

6=2*8=2x2xsin60。=28(cm)

c=2RnnC=2x2xsin!5°=(v,6-V5)(cm)

或6=2"(cm)c=(&"+&)(cm)

«•二力长分别为(笈+6)cm、2、(融-4)«n,它们的对角依次为:105。网。[5。.

57.

由已知.辅98的长轴长2a=20

设IPRI=m.lPF/=/».由椭圆的定义知,m+“=20①

又J=100-64=36.c=6,所以工(-6,0)/(6,0)且喝吊1=12

在aPF阳中，由余弦定理得m、/-2mc<M30o=l2'

mJ+n1-^3mn=144②

m:+2mn+n1=400»③

③-②，得(2+6)mn=256.m=256(2-7T)

因此.△PKF>的面积为:加疝00°=64(2-⑸

由于(ox+1)，=(1

可见.展开式中』,/・一的系数分别为c>>.cio\

由巳知.2C)3=C；f♦(：〉..

又a>1.则2x'j；5,a=+7g，-*a5G,-10a+3=0.

。苧。T

58

59.

利润=精售总价-进货总价

设每件提价上元(*亲0).利润为y元，则每天售出(100-Kk)件,销售总价

为(10+G•(100-10x)x

进货总价为8(100-IOH)元(OWMWIO)

依题意有：y=(10+x)•(100-lOx)-8(100-IOx)

=(2+s)(l(X)-10x)

=-IOx3+80x+200

y*=-20x+80,令y'=0得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时，■得利润jft大，♦大利润为360元

60.

,1

方程/+/+g+2y+a=0表示98的充要条件是d+4-4a>0.

即/<•!",所以-争8<a<1•不

4(1.2)在08外,应满足：1+2,+a+4+a,>0

!!Da'+a+9>0,所以aeR

综上,。的取值范围是(

解：由已知可得4=75。.

又sin75°=sin(45°+30°)=8in450cus30°+cos45°sin30。=应"

4

在△ABC中.由正弦定理得

AC=BC8依

sin450sin750-sin600,

一所以IC=16,//C=83+8.

01.

62.

(I)函数的定义域为(心，+oo),fz(x)=(ex-x-l)H=ex-l,令f(x)=O,即ex-

1=0,解得x=0,当X£(-8,0)时，f'(x)<0,当x£(0,+oo)时，

f'(x)>0,，f(x)在(.8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

(II)Vf(0)=eo-0-l=l-l=0,又•・・f(x)在x=0左侧单调递减，在x=0右侧

单调递增，...xR为极小值点，且f(x)的极小值为0.

63.VNC=180O-3()o-75o=75o,...Z\ABC为等腰三角形，则

AC=AB=120m,过C作CD_LAB,则由RtAACD可求得

CD=l/2AC=60m.即河的宽为60m.

64.

【参考答案】(I)康不等式为一11.两边

平方可解得了》十.

1x1(仑孑).

(II)由⑴可MFCr)i

lx~H(x<-1-).

,•.F(x)=«

(m)当仑二•时•函数”《•)的最小值为上当_y

时.F(力.故函数F⑺的最小值为

解⑴/⑴=14令,(X)