2024年初二上册数学期末考试专项复习43一次函数与二元一次方程（基础）知识讲解

2024年初二上册数学期末考试专项复习一次函数与二元一次方程（基础）【学习目标】1.能用函数观点看二元一次方程，能用辨证的观点认识一次函数与二元一次方程的区别与联系.2.在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．【要点梳理】要点一、一次函数与二元一次方程一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.要点二、一次函数与二元一次方程组在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.要点诠释：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.

2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．【典型例题】类型一、一次函数与二元一次方程 1、下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据两点确定一条直线，当＝0，求出的值，再利用＝0，求出的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．【答案】C．【解析】解：∵，

∴＝－1，

∴当＝0，＝－1，当＝0，＝2，

∴一次函数＝－1，与y轴交于点（0，－1），与x轴交于点（2，0），

即可得出C符合要求，

【总结升华】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．举一反三：【变式】把方程化成一次函数的形式：＝_________.【答案】．类型二、一次函数与二元一次方程组2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】如图，已知函数y=kx+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】B；解：函数y=kx+b和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），即x=﹣4，y=﹣2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故选：B．3、利用图象解方程组．【思路点拨】首先计算出两个一次函数与坐标轴的交点，两个函数图象的交点就是方程组的解．【答案与解析】解：如图所示：由图象可得方程组的解为．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是方程组的解．类型三、一次函数与二元一次方程的应用4、晓东、小明在A、B两地间运动，如图所示，图中的线段、分别表示晓东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系.（1）根据图形试说明晓东、小明的运动方向（2）试用文字说明：交点P所表示的实际意义.（3）试求出A、B两地之间的距离.【思路点拨】（1）轴的量表示离B点的距离，从离B点距离的远近可以看出两人的运动方向；（2）交点反映了两人相遇时刻的情况；（3）需求直线的解析式，因为它过点（2.5，7.5），（4，0），利用待定系数法即可求出其解析式．然后令＝0，求出此时的值即可．【答案与解析】解：（1）晓东从A向B运动，小明从B向A运动；（2）两人同时出发相向而行2.5小时后在距离B地7.5处相遇；（3）设线段的解析式为，则由（4，0）、（2.5，7.5）在函数图象上可求得，由＝0时＝20可知，A、B两地相距20.【总结升华】仔细分析函数图象，利用函数解析式解决问题.一次函数、一次方程和一元一次不等式（提高）【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点四、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、方程的解是＝______，则函数在自变量等于_______时的函数值是8.【答案】2；2；【解析】解方程得到：.函数的函数值是8．即，即函数在自变量等于2时的函数值是8．【总结升华】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．举一反三：【变式1】如图，已知直线，则关于的方程的解＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当＝1时，＝4，即时，＝4．∴方程的解＝4．【变式2】已知一次函数y=ax+b中，x和y的部分对应值如表：x﹣2﹣101.523y642﹣1﹣2﹣4那么方程ax+b=0的解是．【答案】x=1；解：由一次函数y=ax+b，∵x=0时，y=2，x=2时，y=﹣2，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣2x+2，∴方程ax+b=0变为﹣2x+2=0，解得：x=1，故答案为：x=1．类型二、一次函数与一元一次不等式【高清课堂：393614一次函数与一元一次不等式，例1】2、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点（2，0），则关于的不等式＞0的解集为（）A．＜－1B．＞－1C．＞1D．＜1【答案】A；【解析】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，∴＞0，＜0，把（2，0）代入解析式得：0＝2＋，解得：＝－2，∵＞0，∴，∴－1＜，∴＜－1，【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出、的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线y=kx+b经过A（3，1），B（﹣1，﹣3）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣3的解为．【答案】﹣1＜x＜3；解：将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入直线y=kx+b得，，解得，直线解析式为y=x﹣2，可得到不等式x＞x﹣2＞﹣3，解得﹣1＜x＜3，故答案为﹣1＜x＜3．3、（2016春•乳山市期末）如图，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y=1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞﹣．（1）分别求出k，b，m的值；（2）求S△ACD．【思路点拨】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞﹣得到点D的横坐标，进而确定点D的坐标，再代入解析式求m的值．（2）收下确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．【答案与解析】解：（1）∵直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3），，解得：k=，b=3，∴y=x+3∵关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞﹣，∴点D的横坐标为﹣，将x=﹣代入y=x+3，得：y=，强x=﹣，y=代入y=1﹣mx，解得：m=1；（2）对于y=1﹣x，令y=0，得：x=1，∴点C的坐标为（1，0），∴S△ACD=×[1﹣（﹣2）]×=．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614一次函数与一元一次不等式，例3】【变式】如图所示，函数和的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当时，的取值范围是（）（－1，1）（2，2）（－1，1）（2，2）xyOA．＜－1B．—1＜＜2C．＞2D．＜－1或＞2【答案】D；提示：反映在图象上，是的图象在的上方，这部分图象自变量的取值范围有两部分，是＜－1或＞2.4、（2014春•通山县月考）画出函数y=﹣x+3的图象，根据图象回答下列问题：（1）求方程﹣x+3=0的解；（2）求不等式﹣x+3＜0的解集；（3）当x取何值时，y≥0．【思路点拨】利用两点法画出函数的图象．（1）直线y=﹣x+3与x轴交点的横坐标即为方程﹣x+3=0的解；（2）直线y=﹣x+3下方的部分对应的x的取值即为不等式﹣x+3＜0的解集；（3）直线y=﹣x+3在x轴及其上方的部分对应的x的取值即为所求．【答案与解析】解：函数图象如下图：（1）观察图象可知，方程﹣x+3=0的解为x=2；（2）观察图象可知，不等式﹣x+3＜0的解集为x＞2；（3）当x≤2时，y≥0．【总结升华】本题考查的是一次函数的图象与一元一次方程、一元一次不等式的关系，正确画出函数的图象是解答此题的关键．类型三、用一次函数的性质解决不等式的实际问题5、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为分钟，甲、乙两种业务的费用分别为和元．(1)试分别写出、与之间的函数关系式；(2)画出、的图象；(3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠?【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)，然后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择．【答案与解析】解：(1)根据题意可得：(≥0)，(≥0)．(2)利用两点可画(≥0)和(≥0)的图象，如下图所示．(3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当＝50时，两个函数的值都等于30．因此一个月内，通话时间为50分钟．选哪一种通话业务都行，因为付费都是30元，当一个月内通话时间低于50分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月内通话时间大于50分钟时，选甲种业务更优惠．【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择．一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点四、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程 1、若直线与轴交于（5，0）点，那么关于的方程的解为______.【答案】【解析】＝0的解是直线与轴交点横坐标.【总结升华】当函数时，就得到了一元一次方程＝0，此时自变量的值就是方程＝0的解.举一反三：【变式1】如图，已知直线，则关于的方程的解＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当＝1时，＝4，即时，＝4．∴方程的解＝4．【变式2】如图，直线分别交轴和轴于点A、B，则关于的方程＝0的解为_______.【答案】；提示：方程＝0的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标．由图知：直线与轴交于点（－2，0），即当＝－2时，＝0.类型二、一次函数与一元一次不等式 2、如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3【思路点拨】求﹣kx﹣b＜0的解集，即为kx+b＞0，就是求函数值大于0时，x的取值范围．【答案】A；【解析】解：∵要求﹣kx﹣b＜0的解集，即为求kx+b＞0的解集，∴从图象上可以看出等y＞0时，x＞﹣3．故选：A．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（）A．≥0B．≤0C．≥2D．≤2【答案】A；提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为B（0，－3），即当＝0时，＝－3，所以当≥0时，函数值≥－3．3、（2016春•瑞昌市期中）如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于x的不等式ax+b＞0的解集是．（2）关于x的不等式mx+n＜1的解集是．（3）当x为何值时，y1≤y2？（4）当x为何值时，0＜y2＜y1？【思路点拨】紧密结合图象，根据直线与坐标轴的交点来确定不等式的解集，从而判断函数值的大小关系.【答案与解析】解：（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0），∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4；故答案是：x＜4；（2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1），∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；．故答案是：x＜0；（3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2；（4）如图所示，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．举一反三：【变式】直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式＜的解集为（）A．＞1B．＜1C．＞－2D．＜－2【答案】B；提示：与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到＜1时不等式＜成立．4、画出函数的图象，并利用图象求：(1)方程2＋1＝0的解；(2)不等式2＋1≥0的解集；(3)当≤3时，的取值范围；(4)当－3≤≤3时，的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数的图象，方程2＋1＝0的解从“数”看就是自变量取何值时，函数值是0，从“形”看方程2＋1＝0的解就相当于确定直线与轴的交点，故图象与轴交点的横坐标就是方程2＋1＝0的解．同理：图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表：010在坐标系内描点(0，1)和，并过这两点画直线，即得函数的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线与x轴交点，∴方程2＋1＝0的解为；(2)由图象可知：直线被轴在点分成两部分，在点右侧，图象在轴的上方．故不等式2＋1≥0的解集为；(3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线于点M，过M点作轴的垂线，垂足为N．则N点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值≤3，则当≤3时，自变量的取值范围是≤1；(4)过(0，－3)作轴的平行线交