高考数学学科备考关键问题指导系列十三（“非主干”存在问题及应对策略）

福建省2022届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列十三“非主干”存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组李平香黄金明唐震执笔整理）非主干板块指的是在整个高中课程内容体系中，由“六大主干”以外的内容组合在一起构成的一个特殊板块（含集合、平面向量、数系的扩充与复数、不等式、计数原理、常用逻辑用语等内容）。非主干板块课时占比相对较少，在高考试卷中所占分值在15-20分左右。此外，该板块内容在考查难度上相对较低，因此对于本板块内容的复习，大家往往能用较少的时间取得较大的分值收益，但是从具有选拔性质的高考答题得分角度来说，“每一分”都非常重要，尤其是对这种基础类考题，考生更不应该因为失误而答错丢分，考试最怕的是“容易题也丢分”。为确保非主干板块的得分，复习时不要因为“非主”而轻视，应重视“每一分”的复习，脚踏实地，扎实推进，拾阶而上，才能仰望星空。考向（一）集合命题规律小结：题目一般分布在选择题前几题，以集合的运算为主，多与解不等式等交汇，难度较低，基本上是每年的送分题，主要考查运算求解能力。高频考点：集合的概念、表示、集合间的关系与运算。一、存在问题及原因分析（一）遇“抽象集合”不懂化“抽象”为“具体”“形象”。【例1】（2021年八省适应性考试1）1．已知，均为的子集，且，则（）A．B．C．D．解法1.化“抽象”为“具体”：取，则，，所以，，选B。解法2.化“抽象”为“形象”：解法3.用补集的反身性：因为，所以，所以，，选B。【评析】本题以抽象集合为载体，主要考查集合的关系及运算，数形结合的思想。存在问题：①习惯具体集合的运算，害怕抽象的运算；②缺乏数学抽象意识，导致无法理解题意。产生问题的主要原因：①几何的三种表示法中，对列举法、描述法更为熟悉，训练更到位，而对图示法的理解及应用甚少；②从“具体”到“抽象”更适应，但从“抽象”到“具体”想不到。（二）遇“具体集合”不能“准确”运算。【例2】（2020年全国卷Ⅰ理2）2.设集合，，且,则A． B． C．2 D．4解法1.按运算顺序准确运算：集合，，由，可得，则。故选。解法2.直接抓住区间端点值代入：根据一元二次不等式与一元一次不等式解集的端点值为对应方程的根，所以的端点值1就是方程的根，解得。解法3.把选项代入验证：过程略。【评析】本题以一元一次不等式、一元二次不等式为载体，考查集合的交集运算，其中蕴含着“借数言形，以形代数”的思想方法。存在问题：①一元二次不等式求解出错；②数形结合的思想薄弱;③不能借助数轴建立关于的方程，方程求解出错。产生问题的主要原因：①集合复习的难度定位往往过高，急于综合而忽视基础；②运算法则关注不够。建议：备考中以常见的选择题为主训练，同时注意与一元二次不等式、绝对值不等式的解法相结合，既要牢固掌握集合的基本概念与关系、运算，又要加强与其他数学知识的联系，突出集合的工具性；适当地加强与函数、不等式的联系，注意小题目的综合化。考向（二）复数命题规律小结：复数以考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小，考查代数运算的同时，主要涉及考查的概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点的坐标等。高频考点：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、实部、虚部。一、存在问题及原因分析（一）待定系数法运算中参数之间的关系厘不清，复数的模平方运算不正确，不能正确地转化为向量的模平方运算，“以形代数”意识不够强。【例1】（2020年全国卷2理15）15.设复数，满足，，则．解法1.待定系数法：设，因为，所以，。又，所以，。所以，。所以，。所以，。所以，。解法2.利用复数的模平方运算：因为，所以，，．得。．又，故。解法3.转化为向量的模平方运算：原问题等价于：平面向量，满足，且，求。由解法4.用平行四边形法则：如图，在复平面内设对应的向量为，对应的向量为，对应的向量为，由，结合平行四边形法则可知，四边形是边长为2，一条对角线长为2的菱形，故另一条对角线长为，即故。【评析】本题主要考查复数模的几何意义、模的计算公式、复数的运算性质及其几何意义。存在问题：①复数模的概念及几何意义理解不到位；②复数的运算性质不熟悉；③复数的运算与向量的运算性质相互混淆。产生问题的主要原因：①复数相关概念教学基础不扎实；②无法快速找到知识之间的联系；③对复数的训练综合性不够重视。（二）与复数有关的基本概念不清、运算法则不牢。【例2】（2017年全国卷Ⅰ理3）3.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，满足，则；：若复数，则。其中的真命题为A．， B．， C．， D．，策略分析：注意单选题的选择策略及选项的组合，可以采取“选项排除”法，或“反例证伪”法。解法1.“选项排除”法：先观察，再结合四个命题，，，中，，很容易判断正误，因为都是考察实数的性质，所以，应先判断，的正误。其中，考察实数的倒数是实数，实数的倒数的倒数是本身，实数的倒数具有反身性；考察实数的共轭复数是实数，实数的共轭复数的共轭复数是本身，共轭复数也具有反身性。用待定系数法辨析：设（，），则，故为真，排除C，D;用实数的共轭复数是本身的性质辨析：若复数，则，所以，故为真．因只有一个选项正确，故选B。解法2.用实数的共轭复数是本身的性质辨析：由正确，排除A，C；再考察，由正确，且只有一个选项正确，故选B．“取特值反例证伪”法：对于，取，但，所以，错误，排除C,D；观察选项A,B，继续取特值证伪，对于，取则但是。存在问题：①不懂共轭复数的符号、或概念不清；②不善于使用特例法进行“反例证伪”，或无法提取虚数单位定义中的来加以利用，由此可见，仍有大量学生对复数的某些基本概念模糊不清。产生问题的主要原因：①没有落实好复数基础知识的教学，或教学过程不规范；②因复数内容相对独立，再现机会少而较易成为知识的盲区。建议：注重复数的基本概念、基本运算以及运算的几何意义，做到运算准确。考向（三）平面向量命题规律小结：突出考查向量的几何、代数等基本运算。高频考点：线性运算、夹角、模及模运算、数量积、平行与垂直。一、存在问题及原因分析（一）不能正确理解平面向量数量积的几何意义，或不能建立适当的平面直角坐标系。【例1】（2020年新高考山东卷7）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是A． B． C． D．解法1.利用数量积的几何意义:的几何意义是在向量的投影，显然，在处时，投影最大，此时，，可得，最大值为6；在当在处时，取投影最小，，最小值为，所以的取值范围是．故选：．解法2.建立直角坐标系:如图，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，易知，设，则。存在问题：考生不能正确理解平面向量数量积的几何意义或不能正确建立适当的直角坐标系。产生问题的主要原因：对于方法的掌握及方法的优化意识欠缺，说明考生对处理向量问题的方法掌握得不够全面或选择应用还不灵活，从另一个侧面则说明向量的坐标运算及数量积定义法等掌握得相对牢固，而对于几何法、基底转化法、特殊化等思想方法渗透的不到位。（二）不能正确地进行向量的线性、数量积、夹角、模等运算，以及向量运算的几何意义不懂地合理地运用。【例2】（2020全国卷Ⅰ理14）设为单位向量，且则。解法1：利用向量的模平方公式求解解法2：利用向量加法的平行四边形法则求解如图，令。存在问题：考生不熟悉求模方法、不能正确运用向量模的平方公式，不能由推导出，以及无法正确利用向量数量积运算法则进行数量积和模的转化。产生问题的主要原因：对于向量的数量积公式和求模方法与模的公式掌握不好，不能利用向量加法的几何意义等数形结合思想。建议：（1）向量的线性运算中，用已知的两个不共线的向量作为基底可以表示平面上的其他向量，要抓住平面图形的几何特征，可将所求向量转化到平行四边形或三角形中去，数量积的基本运算中，经常涉及数量积的定义、模、夹角公式。（2）向量是沟通代数与几何的桥梁，利用向量解决问题时，可以选择画图，使问题形象化，也可用坐标表示向量，使问题代数化。（3）求参数取值使，可根据平行、垂直等条件应用方程的思想。（4）适当关注向量与三角函数、解析几何、数列等知识的交汇问题。考向（四）不等式命题规律小结：不等式的性质、不等式的解法，一般以选择题和填空题为主，注重基础知识和基本方法；基本不等式求最值问题，常考常新，问题情境新颖活泼、构思巧妙，充分考查了学生思维的灵活性。高频考点：绝对值不等式、基本不等式。一、存在问题及原因分析（一）不能正确地从题目所给的信息中抽象出不等关系，不能较好地利用不等式进行估算。【例1】（2018年全国卷1理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（）A.B.C.D.解法1.利用夹逼原理：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，根据题意可知,故；又，，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，，将代入可得所以，故选B.解法2.合理估算：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近且身高应略小于，故选B。（二）对基本不等式的灵活变形掌握不够熟悉，不能恰当利用平方关系或构造函数解决问题。例2．（多选）（2020新高考全国卷Ⅰ，11，新高考全国卷ⅠⅠ，12）已知，则ABCD解题分析：，，当且仅当，等号成立，故A正确；，，故B正确；，当且仅当，等号成立，故C错误；，当且仅当，等号成立，故D正确，故选ABD。考向（五）计数原理一、存在问题及原因分析（一）不懂利用加乘分配原理转化为二项式中求指定项，或不会用计数原理分析指定项出现的情况。【例1】（2020年全国卷Ⅰ理8）的展开式中的系数为A．5 B．10 C．15 D．20【思路分析】先把条件整理转化为求展开式中的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解析】：因为；要求展开式中的系数即为求展开式中的系数；展开式含的项为：；故的展开式中的系数为15；故选：．【评析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，二项式的系数，组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．主要问题是展开式中含项的组成不清楚，或是组合数公式用错，化归与转化的意识不够．存在问题：①简单地直接求解展开式中的系数；②多项式展开运算不熟练，没有分类讨论的意识，体现为计数原理及二项式定理的知识应用能力欠缺。产生问题的原因：是没有理解二项式定理的展开原理及各项的构成要素。（二）不能正确地区分完成一件事是分类还是分步，或者无法区分取出的元素是否有顺序，是排列问题，还是组合问题【例2】（2020新高考全国Ⅰ，3）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B.90种C.60种D.30种解：甲场馆安排1名同学有种方法，乙场馆安排2名同学有种方法，丙场馆安排3名同学有种方法，所以共有种方法，故选C存在问题：考生对待实际问题不能认真审题，对计数原理应用不到位。产生问题的原因：对于实际生活为载体人排列组合的应用问题，无法建立合适的运算思路，利用分步乘法计数原理和组合数得到最后结果。考向（六）常用逻辑用语命题规律小结：高考主要考查对全称量词和存在量词的意义的正确理解，四种条件含义的理解以及逻辑推理题。（一）不会选择合理的推理表达形式，思维混乱，思维能力较弱。【例1】甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是___.解法1.列表穷举法推理：为减少思维量、减低思维能力，可以采用列表格的方法，依据四位歌手中只有一个人说的是真话，即可判断获奖的歌手。若甲获奖若乙获奖若丙获奖若丁获奖甲×√√×乙×√×√丙×××√丁√√√×对的人数1322解法2.直接推理法：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意;若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意。故答案为：甲。【评析】此类试题通常称为推理题，着重考查理性思维能力，也可归为考查应用意识试题。解此类试题要求有较高的阅读理解并有效提取关键信息的能力、推理论证能力，要具备整体与局部思想、批判性思维能力等。主要问题：①找不到解题的突破口；②提取关键信息的能力较弱。（二）基本概念不清、概念混淆、推理转化的方式欠妥当。【例2】（2018年北京高考卷6）设均为单位向量，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】，选C。【例3】（2021年新高考Ⅰ卷10，多选）已知为坐标原点，点，则（）。【解析】根据向量的模长公式，得到，所以，点都在单位圆上，再依据向量的数量积公式，得到所以，AC正确。二、解决问题的对策与思考（一）正确认识集合课程的功能价值，落实后进生群体的基础教学高考中集合主要考查集合的含义、元素与集合的关系、集合语言（列举法和描述法）、集合间的包含与相等的含义及子集的识别、交集与并集的含义及简单求解．集合课程的主要功能价值，在于为数学学科提供了基本的语言工具，是符号语言的基础，其基本概念、符号含义是所有学生都能理解和掌握的．然而，实际教学中往往操之过急，拔高要求，注重其与其它知识的综合运用，定位过高而疏忽了对学生，特别是后进学生群体的关注和帮扶．下述例1意在说明集合教学的难度控制问题．【例1】（2018年天津高考卷理1）设全集为R，集合，，则A．B．C． D．【解析】由，得，所以，故选B．（二）准确针对复数课程的独立特点，并重落实概念与运算的训练“数系的扩充和复数的引入”的考查，主要是基于知识点覆盖的需要，着重考查复数的模、复数相等、共轭复数等概念，考查复数代数表示法及其几何意义，复数代数形式的四则运算．在实际教学中，容易被复数内容“单薄、简单”所蒙蔽，未能注意到对学生而言可能是“模糊、抽象”的另一面。未能针对复数内容相对独立的课程特点，规划好使知识不断再现和强化的教学安排，使部分考生临考时反而出现了知识的“盲区”，常因集中关注代数形式运算的训练，而忽视了对概念再现的关注．【例2】（2018年全国卷Ⅰ文2理1）2．设，则A．0 B． C． D．【解析】由所以．选C．（三）把握国卷计数原理的命题特点，落实全国卷题型的变式训练计数原理在高考中，着重考查用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，适当考查对两计数原理的理解和用原理解决一些简单的实际问题，结合考查对排列、组合概念的理解及用排列数和组合数公式解决一些简单的实际问题．注意到所有试题都是曾考试题的变式题的特点，要切实落实好全国卷题型的变式训练，解答错因分析中发现，二项式定理试题尚未完全摆脱福建卷考查形式的“思维定势”影响，仍停留在二项直接展开的低要求上，应加强非二项的题型训练，渗透分类讨论、化归与转化的重要数学思想。（四）强化平面向量基本思想方法，落实解题三途径的强化训练高考中，平面向量比较全面地考查相关基础知识和基本方法，着重考查向量的线性运算，向量几何运算、位置关系的坐标表示，数量积与数量积坐标表达式及其应用（夹角、平行、垂直），用向量方法解决简单的平面几何问题，着重考查运算求解能力，考查数形结合思想．教学中因对课程内容在学科中的工具地位认识不足，而过度关注其应用的价值，使教学定位过高，而淡化了基础的教学与强化，对绝大多数学校而言，平面向量都是极其重要的提分板块，要强化平面向量问题的的常见处理方法。向量试题的解答基本上就三种思路或途径，即直接的向量运算、向量的坐标运算和利用几何义构造图形分析求