2.5 逆命题和逆定理（原卷版）

2.5逆命题和逆定理1、了解逆命题和逆定理的概念2、会写命题的逆命题;3、知道原命题成立，它的逆命题不一定成立;知识点一互逆命题、原命题、逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题(originalstatement),那么另一个命题叫做它的逆命题(conversestatement).知识点二逆定理与互逆定理每个命题都有它的逆命题,但每个真命题的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理(conversetheorem)，这两个定理叫做互逆定理即学即练1（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等：③等腰三角形的两个底角相等其中逆命题是真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3即学即练2（2023秋·河北邢台·八年级统考阶段练习）命题“若两个角互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”的逆命题是．题型一代数问题证明例1（2022秋·八年级课前预习）下列说法正确的是（

）A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行举一反三1（2023春·七年级课时练习）下列推理正确的是（

）A．若a·b>0，则a+b>0 B．若a+b>0，则a·b⩾0C．若a·b=0，则a-b=0 D．若a·b=0，则a=0或b=0举一反三2（2019·八年级课时练习）命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差(n+1)2-n2题型二写出一个命题的已知、求证及证明过程例2（2023·浙江·八年级假期作业）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条AB，CD的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．已知：求证：证明：举一反三1（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③已知：______，求证：______．（只须填写序号）证明：举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制年，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD=CD,AB=AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图2，点A，B，C，D在同一平面内，___________，_____________．求证：_________________．题型三已知证明过程填写理论依据例3（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，∵b⊥a，∴∠1=90°．∵c⊥a，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴b∥c.已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（

）A．在同一平面内，若b⊥a，且c⊥a，则b∥c B．在同一平面内，若b∥c，且b⊥a，则c⊥aC．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等举一反三1（2023春·七年级课时练习）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．证明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴AB∥CD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（）．∴AB∥EF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．举一反三2（2023春·七年级课时练习）（1）如图所示，点A是公路l旁的居民点，从点A向公路l修一条连接公路的小路AB，AB⊥l，这样修所依据的数学公理是______．（2）如图所示，点B，B'，C，C'在同一条直线上，当AB=________，CA=________，BC=_______时，ΔABC≌ΔA题型四根据给出的论断组成命题并证明例4（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③

(1)请写出所有的真命题；(2)请选择其中一个命题加以证明．举一反三1（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③举一反三2（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：求证：证明：题型五写出命题的逆命题例5（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（

）A．若a>0，b<0，则a-b>0 B．对顶角相等C．两直线平行，内错角相等 D．若m=n，则m举一反三1（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．举一反三2（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）命题“对顶角相等”的逆命题是．题型六判断是否为互逆命题例6（2022秋·浙江·八年级专题练习）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|举一反三1（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D．两直线平行，同位角相等举一反三2（2022秋·八年级课时练习）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为a，b，c，且a题型七定理与证明例7（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（

）A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对举一反三1（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）下列说法中，正确的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形顶角的平分线与底边不垂直C．等腰三角形有两条对称轴 D．每个定理都有逆定理举一反三2（2022秋·浙江·八年级专题练习）请举出一个关于角相等的定理：．题型八互逆定理例8（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题举一反三1（2023秋·山西运城·八年级统考期末）下列命题，属于真命题的是（）A．三角形的外角等于两个内角的和 B．内错角相等，两直线平行C．一个定理的逆命题就是这个定理的逆定理 D．三角形的一个外角大于任何一个内角举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．单选题1.（2023春·河南郑州·八年级统考期末）下列各命题的逆命题不成立的是（

）A．对顶角相等 B．若a=bC．两直线平行，内错角相等 D．如果a2=2．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等3．（2021春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）下列定理中，没有逆定理的是（

）A．两直线平行，内错角相等． B．全等三角形的对应边相等C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．二、填空题1.（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）写出命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”的逆命题：2．（2022秋·浙江舟山·八年级校考期末）同角的余角相等的逆命题是，它是一个命题（填“真”或“假”）三、解答题1.（2022秋·安徽滁州·八年级校考期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)三角形三个内角的和等于180°；(2)两直线平行，同旁内角互补．2．（2022秋·湖北孝感·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外