行列式的计算

行列式的计算3.4行列式的计算

3.4.1降阶法

内容小结

3.4.2三角化方法

3.4.3归纳法

3.4.4递推法

3.4.5分拆法

3.4.6升阶法

第2页,共26页，2024年2月25日，星期天行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.行列式计算的理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则

第3页,共26页，2024年2月25日，星期天例3.9

计算四阶行列式3.4.1降阶法应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按该行或该列展开,化为低阶行列式来计算.第4页,共26页，2024年2月25日，星期天解第5页,共26页，2024年2月25日，星期天解将

|

A|

按第

n

行展开,得例3.10

计算

n

阶行列式第6页,共26页，2024年2月25日，星期天例3.11

计算

n

阶行列式解将第

2,

3,

,

n

列都加到第一列得3.4.2三角化方法利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.第7页,共26页，2024年2月25日，星期天第8页,共26页，2024年2月25日，星期天第9页,共26页，2024年2月25日，星期天例3.12

计算

解

先把第一行乘以

(

1)

加到以下各行,再把后面各列加到第一列.

第10页,共26页，2024年2月25日，星期天3.4.3归纳法通过计算低阶行列式,发现某种规律,进而猜想k阶行列式符合这种规律,然后证明k1阶行列式也呈现此规律,这就是数学归纳法的思想.第11页,共26页，2024年2月25日，星期天

证对行列式的阶数

n

用数学归纳法.例3.13

证明

Vandermonde

行列式因为所以n

2

时,等式成立.

第12页,共26页，2024年2月25日，星期天假设等式对

n

1阶

Vandermonde

行列式

Vn

1

成立,n

1阶Vandermonde行列式则第13页,共26页，2024年2月25日，星期天因此由归纳法假设得

所以等式对所有n

2都成立.

第14页,共26页，2024年2月25日，星期天3.4.4递推法利用按行

(列)

展开法则,将

n

阶行列式化成形式相同的

n

1

阶行列式,从而建立递推关系,反复应用这个递推关系便可求出

n

阶行列式.第15页,共26页，2024年2月25日，星期天例3.14

计算解将

Dn

按第一行展开,得Dn1Dn2第16页,共26页，2024年2月25日，星期天从而因故再把第二个行列式按第一列展开,得第17页,共26页，2024年2月25日，星期天于是第18页,共26页，2024年2月25日，星期天3.4.5分拆法分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.例3.15

计算

n

阶行列式解先将

Dn

的最后一行拆开,得第19页,共26页，2024年2月25日，星期天将y

与

z

互换,行列式Dn不变,从而第20页,共26页，2024年2月25日，星期天当

z

y

时,解得当

z

y

时,由例3.11

的结果知第21页,共26页，2024年2月25日，星期天解

细心观察可以发现,当n3时,有例3.16

计算行列式第22页,共26页，2024年2月25日，星期天从而当n3时,

A

0.第23页,共26页，2024年2月25日，星期天当n1

时,显然当n2

时,有第24页,共26页，2024年2月25日，星期天3.4.6升阶法为便于应用行列式的性质,有时在原来的行列式中添加一行一列,即把行列式的阶数增加1,这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便,而且要求升阶后的行列式与原来的行列式