离散数学(第14章)陈瑜省公开课一等奖全国示范课微课金奖

陈瑜Email：chenyu.inbox@5/5/2024离散数学计算机学院5/5/20241计算机科学与工程学院第1页第五部分：代数结构第14章代数系统5/5/20242计算机科学与工程学院第2页引言19世纪30年代，在寻找五次方程求解方法过程中，法国青年数学家伽罗瓦提出了群概念，证实了高于四次普通代数方程不可解性，而且还建立了详细数字系统代数方程可用根号求解判别准则，并举出了不能用根号求解数字系数代数方程实例。这么，伽罗瓦就彻底地处理了这个在长达200多年时间使不少数学家伤透脑筋问题。不过，当初他思想不被人了解和接收，直到他逝世38年后，他超越时代天才思想才逐步被人们所认可。之所以说伽罗瓦是超越时代天才，不但仅是因为他在方程求解上贡献，还因为他所发觉结果，他奇特思想和巧妙方法，发展成为一门新学科----抽象代数学。所以，伽罗瓦作为抽象代数（即近代代数学）创始人是当之无愧。5/5/20243计算机科学与工程学院第3页主要内容二元运算代数系统特异元半群与含幺半群5/5/20244计算机科学与工程学院第4页代数系统

代数系统又称为代数结构，群、环、域、格和布尔代数是经典系统。代数系统理论对于可计算模型研究、抽象数据结构、形式语言理论、程序设计语言语义分析等许多方面产生影响是深远。

代数系统理论提供了对各种表面上不一样实际问题高度抽象路径，使人们更能把握住事物本质，进行形式化研究，又反过来指导实践深入。5/5/20245计算机科学与工程学院第5页代数系统

代数系统又称为代数结构，群、环、域、格和布尔代数是经典系统。代数系统理论对于可计算模型研究、抽象数据结构、形式语言理论、程序设计语言语义分析等许多方面产生影响是深远。代数系统理论提供了对各种表面上不一样实际问题高度抽象路径，使人们更能把握住事物本质，进行形式化研究，又反过来指导实践深入。5/5/20246计算机科学与工程学院第6页14.1二元运算及其性质5/5/20247计算机科学与工程学院第7页14.1二元运算及其性质定义14-1.1：设S是一个非空集合，映射（或函数）f：Sn→S称为S上n元代数运算，简称n元运算。当n＝1时，称为一元运算；当n＝2时，称为二元运算。为叙述统一起见，我们采取符号“·”、“*”表示普通二元运算符。其详细意义由上下文确定。在描述一个二元运算时，有时也采取一个表形式表示。本章中除尤其申明外所说运算都指是二元运算。

5/5/20248计算机科学与工程学院第8页14.1二元运算及其性质定义14-1.1：设S是一个非空集合，映射（或函数）f：Sn→S称为S上n元代数运算，简称n元运算。当n＝1时，称为一元运算；当n＝2时，称为二元运算。为叙述统一起见，我们采取符号“·”、“*”表示普通二元运算符。其详细意义由上下文确定。在描述一个二元运算时，有时也采取一个表形式表示。本章中除尤其申明外所说运算都指是二元运算。

5/5/20249计算机科学与工程学院第9页例1：设集合S={a，b，c，d}。在S上定义一个二元运算“·”以下表所表示：

称这种表为运算表。从运算表看出a·a=a，a·b=a，b·a=a，c·a=a，……。当集合S所含元素较少时，用运算表形式定义运算显得一目了然。·abcdaaaaababcdcacbddadcb5/5/202410计算机科学与工程学院第10页运算性质定义14-1.2：设“·”是一个S上二元代数运算，假如:对任意a,b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是封闭；对任意a,b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是可交换，或称满足交换律。对任意a,b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称“·”在S上是可结合，或称满足结合律。5/5/202411计算机科学与工程学院第11页运算性质定义14-1.2：设“·”是一个S上二元代数运算，假如:对任意a,b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是封闭；对任意a,b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是可交换，或称满足交换律。对任意a,b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称“·”在S上是可结合，或称满足结合律。5/5/202412计算机科学与工程学院第12页运算性质定义14-1.2：设“·”是一个S上二元代数运算，假如:对任意a,b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是封闭；对任意a,b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是可交换，或称满足交换律。对任意a,b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称“·”在S上是可结合，或称满足结合律。对任意a∈S，满足a·a＝a，则称“·”是幂等。5/5/202413计算机科学与工程学院第13页运算性质定义14-1.2：设“·”是一个S上二元代数运算，假如:对任意a,b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是封闭；对任意a,b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是可交换，或称满足交换律。对任意a,b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称“·”在S上是可结合，或称满足结合律。对任意a∈S，满足a·a＝a，则称“·”是幂等。5/5/202414计算机科学与工程学院第14页例2：设A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，*>运算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？

解：∀2r、2s∈A，2r*2s=2r+s∈A（ｒ＋ｓ∈Ｎ）∴<A，*>运算封闭2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭5/5/202415计算机科学与工程学院第15页例2：设A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，*>运算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？

解：∀2r、2s∈A，2r*2s=2r+s∈A（ｒ＋ｓ∈Ｎ）∴<A，*>运算封闭2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭5/5/202416计算机科学与工程学院第16页定义14-1.3设“*”、“·”是集合S上两个二元运算，对

a,b,c

S，若a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)*(c·a)，则称“·”关于“*”在S上是可分配。“*”、“·”是可换运算，若a·(a*b)=a及a*(a·b)=a，则称运算“*”与“·”满足吸收律。5/5/202417计算机科学与工程学院第17页定义14-1.3设“*”、“·”是集合S上两个二元运算，对

a,b,c

S，若a·(b*c)=(a·b)*(a·c)

且(b*c)·a=(b·a)*(c·a)，则称“·”关于“*”在S上是可分配。“*”、“·”是可换运算，若a·(a*b)=a及a*(a·b)=a，则称运算“*”与“·”满足吸收律。5/5/202418计算机科学与工程学院第18页例3设运算“∨”、“∧”分别是实数集R上最大值和最小值运算，即对任意a,b∈R，有a∨b=max(a,b),a∧b=min(a,b)，试判断运算“∨”与“∧”是否满足分配律和吸收律。

解：对任意a,b,c∈R,显然有：a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),又因为“∨”和“∧”满足交换律，由定义，“∨”与“∧”之间满足分配律。同理，a∨(a∧c)=a,a∧(a∨c)=a,所以“∨”与“∧”之间满足吸收律。所以，“∨”与“∧”满足分配律和吸收律。■5/5/202419计算机科学与工程学院第19页例3设运算“∨”、“∧”分别是实数集R上最大值和最小值运算，即对任意a,b∈R，有a∨b=max(a,b),a∧b=min(a,b)，试判断运算“∨”与“∧”是否满足分配律和吸收律。

解：对任意a,b,c∈R,显然有：a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),又因为“∨”和“∧”满足交换律，由定义，“∨”与“∧”之间满足分配律。同理，a∨(a∧c)=a,a∧(a∨c)=a,所以“∨”与“∧”之间满足吸收律。所以，“∨”与“∧”满足分配律和吸收律。■5/5/202420计算机科学与工程学院第20页作业P179：1、2（1）（5）（8）5/5/202421计算机科学与工程学院第21页14.2代数系统5/5/202422计算机科学与工程学院第22页定义14-2.1设S是一个非空集合，f1,f2,…,fm分别是定义在S上运算，称集合S和f1,f2,…,fm所组成系统称为一个代数系统，简称代数，记为<S，f1,f2,…,fm>。判断集合S及其上代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合S非空，二是这些运算关于S是否满足封闭性。现实世界中有很多代数系统。对于含有相同性质代数系统，我们没必要分散进行个别研究，而是进行集中研究，这就形成了特定代数系统。本教材只介绍半群、群、环、域、格、布尔代数等经典代数系统，其中重点是半群、群、格与布尔代数。5/5/202423计算机科学与工程学院第23页定义14-2.1设S是一个非空集合，f1,f2,…,fm分别是定义在S上运算，称集合S和f1,f2,…,fm所组成系统称为一个代数系统，简称代数，记为<S，f1,f2,…,fm>。判断集合S及其上代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合S非空，二是这些运算关于S是否满足封闭性。现实世界中有很多代数系统。对于含有相同性质代数系统，我们没必要分散进行个别研究，而是进行集中研究，这就形成了特定代数系统。本教材只介绍半群、群、环、域、格、布尔代数等经典代数系统，其中重点是半群、群、格与布尔代数。5/5/202424计算机科学与工程学院第24页定义14-2.1设S是一个非空集合，f1,f2,…,fm分别是定义在S上运算，称集合S和f1,f2,…,fm所组成系统称为一个代数系统，简称代数，记为<S，f1,f2,…,fm>。判断集合S及其上代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合S非空，二是这些运算关于S是否满足封闭性。现实世界中有很多代数系统。对于含有相同性质代数系统，我们没必要分散进行个别研究，而是进行集中研究，这就形成了特定代数系统。本教材只介绍半群、群、环、域、格、布尔代数等经典代数系统，其中重点是半群、群、格与布尔代数。5/5/202425计算机科学与工程学院第25页例：常见代数系统如<Z,+>，<Q,+,×>，<2A,∪,∩>等等。假如设Mn是全体n阶满秩阵组成集合，那么，Mn与矩阵乘法“·”组成代数系统<Mn,·>。另外，同一个集合与不一样运算组成不一样代数系统。比如，在整数集上既可定义运算“+”，也可定义“×”，还能够定义运算“max”(即求两个数中最大值)，对应代数系统能够表示为<Z,+>，<Z,×>，<Z,max>。在同一个代数系统中，有一些特殊元素与所定义运算紧密相关，在系统结构中起着主要作用，这些元素被称为特异元。5/5/202426计算机科学与工程学院第26页例：常见代数系统如<Z,+>，<Q,+,×>，<2A,∪,∩>等等。假如设Mn是全体n阶满秩阵组成集合，那么，Mn与矩阵乘法“·”组成代数系统<Mn,·>。另外，同一个集合与不一样运算组成不一样代数系统。比如，在整数集上既可定义运算“+”，也可定义“×”，还能够定义运算“max”(即求两个数中最大值)，对应代数系统能够表示为<Z,+>，<Z,×>，<Z,max>。在同一个代数系统中，有一些特殊元素与所定义运算紧密相关，在系统结构中起着主要作用，这些元素被称为特异元。5/5/202427计算机科学与工程学院第27页例：常见代数系统如<Z,+>，<Q,+,×>，<2A,∪,∩>等等。假如设Mn是全体n阶满秩阵组成集合，那么，Mn与矩阵乘法“·”组成代数系统<Mn,·>。另外，同一个集合与不一样运算组成不一样代数系统。比如，在整数集上既可定义运算“+”，也可定义“×”，还能够定义运算“max”(即求两个数中最大值)，对应代数系统能够表示为<Z,+>，<Z,×>，<Z,max>。在同一个代数系统中，有一些特殊元素与所定义运算紧密相关，在系统结构中起着主要作用，这些元素被称为特异元。5/5/202428计算机科学与工程学院第28页特异元定义14-2.2设“*”是集合S上二元运算，<S,*>是一个代数系统，1)若

e

S，使得对

a

S，都有：a*e=e*a=a，则称e为(代数系统）单位元或幺元；2)若

θ

S,使得对

a

S，都有：a*θ=θ*a=θ，则称θ为(代数系统)零元；3)若元素a∈S，满足a*a＝a，则称a是(代数系统）一个幂等元。5/5/202429计算机科学与工程学院第29页特异元定义14-2.2设“*”是集合S上二元运算，<S,*>是一个代数系统，1)若

e

S，使得对

a

S，都有：a*e=e*a=a，则称e为(代数系统）单位元或幺元；2)若

θ

S,使得对

a

S，都有：

a*θ=θ*a=θ，则称θ为(代数系统)零元；3)若元素a∈S，满足a*a＝a，则称a是(代数系统）一个幂等元。5/5/202430计算机科学与工程学院第30页特异元定义14-2.2设“*”是集合S上二元运算，<S,*>是一个代数系统，1)若

e

S，使得对

a

S，都有：a*e=e*a=a，则称e为(代数系统）单位元或幺元；2)若

θ

S,使得对

a

S，都有：a*θ=θ*a=θ，则称θ为(代数系统)零元；3)若元素a∈S，满足a*a＝a，则称a是(代数系统）一个幂等元。5/5/202431计算机科学与工程学院第31页例：

1）〈P（S），∪，∩〉对运算∪，∅是单位元，S是零元，对运算∩，S是单位元，∅是零元。2）〈N，+〉有单位元0，无零元。5/5/202432计算机科学与工程学院第32页定义14-2.3设“*”是集合S上二元运算,〈S,*〉是一个代数系统，e是〈S,*〉幺元，若对a

S，

b

S，使得：a*b=b*a=e，则称b是a逆元，a也称为可逆，记为b=a-1（一样，a也为b逆元，b也称为可逆，记为b-1）；注意：在一个代数系统中，并不是每个元都是可逆。5/5/202433计算机科学与工程学院第33页例：1）在代数系统<Z,+>中，每个元a∈Z逆元是-a。2）在代数系统<Mn，·>中，因为单位元是n阶单位阵，所以，元素a∈Mn逆是A-1。3）对于代数系统<Z+,×>而言，除了幺元1以本身为逆元外，其它元素均无逆元。5/5/202434计算机科学与工程学院第34页特异元性质定理14-2.1设〈S,*〉是一个代数系统：

1）若〈S,*〉存在幺元，则该幺元唯一；

2）若〈S,*〉存在零元，则该零元唯一；

3）若“*”满足结合律且e是〈S,*〉幺元(即幺元存在)，则对

a

S，若a存在逆元,则该逆元唯一。证实：1）（反证法）设〈S,*〉含有幺元e1，e2，依据定义e1=e1*e2=e2，所以，幺元是唯一。3）设e是〈

S,*〉幺元，元素a有两个逆元a1，a2，则a1=a1*e=a1*（a*a2）=(a1*a)*a2=e*a2=a2。所以，逆元也是唯一。5/5/202435计算机科学与工程学院第35页特异元性质定理14-2.1设〈S,*〉是一个代数系统：

1）若〈S,*〉存在幺元，则该幺元唯一；

2）若〈S,*〉存在零元，则该零元唯一；

3）若“*”满足结合律且e是〈S,*〉幺元(即幺元存在)，则对

a

S，若a存在逆元,则该逆元唯一。

证实：1）（反证法）设〈S,*〉含有幺元e1，e2，依据定义e1=e1*e2=e2，所以，幺元是唯一。3）设e是〈

S,*〉幺元，元素a有两个逆元a1，a2，则a1=a1*e=a1*（a*a2）=(a1*a)*a2=e*a2=a2。所以，逆元也是唯一。5/5/202436计算机科学与工程学院第36页特异元性质定理14-2.1设〈S,*〉是一个代数系统：

1）若〈S,*〉存在幺元，则该幺元唯一；

2）若〈S,*〉存在零元，则该零元唯一；

3）若“*”满足结合律且e是〈S,*〉幺元(即幺元存在)，则对

a

S，若a存在逆元,则该逆元唯一。

证实：1）（反证法）设〈S,*〉含有幺元e1，e2，依据定义e1=e1*e2=e2，所以，幺元是唯一。

3）设e是〈

S,*〉幺元，元素a有两个逆元a1，a2，则a1=a1*e=a1*（a*a2）=(a1*a)*a2=e*a2=a2。所以，逆元也是唯一。5/5/202437计算机科学与工程学院第37页特异元性质定理14-2.1设〈S,*〉是一个代数系统：

1）若〈S,*〉存在幺元，则该幺元唯一；

2）若〈S,*〉存在零元，则该零元唯一；

3）若“*”满足结合律且e是〈S,*〉幺元(即幺元存在)，则对

a

S，若a存在逆元,则该逆元唯一。

证实：1）（反证法）设〈S,*〉含有幺元e1，e2，依据定义e1=e1*e2=e2，所以，幺元是唯一。3）设e是〈

S,*〉幺元，元素a有两个逆元a1，a2，则a1=a1*e=a1*（a*a2）=(a1*a)*a2=e*a2=a2。所以，逆元也是唯一。5/5/202438计算机科学与工程学院第38页半群与含幺半群半群与含么半群是最简单代数系统之一，它在时序线路、形式语言理论、自动机理论中都有很广泛应用。普通地，我们把只含一个二元运算代数系统<S,*>称为二元代数或广群。半群是二元代数中最简单代数系统。5/5/202439计算机科学与工程学院第39页半群与含幺半群半群与含么半群是最简单代数系统之一，它在时序线路、形式语言理论、自动机理论中都有很广泛应用。普通地，我们把只含一个二元运算代数系统<S,*>称为二元代数或广群。半群是二元代数中最简单代数系统。5/5/202440计算机科学与工程学院第40页定义14-2.4设<S，*>是一个二元代数系统：当“*”是封闭，称<S，*>为广群；假如<S，*>是广群，且“*”是可结合运算，则称<S，*>为半群；<S，*>是半群，且存在幺元e，则称此半群<S，*>是含幺半群，常记为<S，*，e>；假如<S，*>是含幺半群，且每个元素都有逆元，则称<S，*>为群。（闭、结、逆、幺）群

含幺半群

半群

广群5/5/202441计算机科学与工程学院第41页定义14-2.4设<S，*>是一个二元代数系统：当“*”是封闭，称<S，*>为广群；假如<S，*>是广群，且“*”是可结合运算，则称<S，*>为半群；<S，*>是半群，且存在幺元e，则称此半群<S，*>是含幺半群，常记为<S，*，e>；假如<S，*>是含幺半群，且每个元素都有逆元，则称<S，*>为群。（闭、结、逆、幺）群

含幺半群

半群

广群5/5/202442计算机科学与工程学院第42页定义14-2.4设<S，*>是一个二元代数系统：当“*”是封闭，称<S，*>为广群；假如<S，*>是广群，且“*”是可结合运算，则称<S，*>为半群；

<S，*>是半群，且存在幺元e，则称此半群<S，*>是含幺半群，常记为<S，*，e>；假如<S，*>是含幺半群，且每个元素都有逆元，则称<S，*>为群。（闭、结、逆、幺）群

含幺半群

半群

广群5/5/202443计算机科学与工程学院第43页定义14-2.4设<S，*>是一个二元代数系统：当“*”是封闭，称<S，*>为广群；假如<S，*>是广群，且“*”是可结合运算，则称<S，*>为半群；<S，*>是半群，且存在幺元e，则称此半群<S，*>是含幺半群，常记为<S，*，e>；假如<S，*>是含幺半群，且每个元素都有逆元，则称<S，*>为群。（闭、结、逆、幺）群

含幺半群

半群

广群5/5/202444计算机科学与工程学院第44页定义14-2.4设<S，*>是一个二元代数系统：当“*”是封闭，称<S，*>为广群；假如<S，*>是广群，且“*”是可结合运算，则称<S，*>为半群；<S，*>是半群，且存在幺元e，则称此半群<S，*>是含幺半群，常记为<S，*，e>；假如<S，*>是含幺半群，且每个元素都有逆元，则称<S，*>为群。（闭、结、逆、幺）群

含幺半群

半群

广群5/5/202445计算机科学与工程学院第45页例：设n＝｛0,1,2,…,n-1｝，定义n上运算+n以下：

x,y∈n，x+ny＝x＋y(modn)(即为x＋y除以n余数)。证实<n，＋n>是含么半群。

证实：1）封闭性：

x,y∈n，令k＝x＋y(modn)，则0≤k＜n-1，即k∈n，所以封闭性成立；2）结合律：

x,y,z∈n，有(x＋ny)＋nz＝x＋y+z(modn)＝x＋n(y＋nz)，所以结合律成立。3）单位元：

x∈n，显然有0+nx＝x+n0＝x，所以0是单位元。故<n，＋n>是含么半群。5/5/202446计算机科学与工程学院第46页例：设n＝｛0,1,2,…,n-1｝，定义n上运算+n以下：

x,y∈n，x+ny＝x＋y(modn)(即为x＋y除以n余数)。证实<n，＋n>是含么半群。

证实：

1）封闭性：

x,y∈n，令k＝x＋y(modn)，则0≤k＜n-1，即k∈n，所以封闭性成立；

2）结合律：

x,y,z∈n，有(x＋ny)＋nz＝x＋y+z(modn)＝x＋n(y＋nz)，所以结合律成立。3）单位元：

x∈n，显然有0+nx＝x+n0＝x，所以0是单位元。故<n，＋n>是含么半群。5/5/202447计算机科学与工程学院第47页例：设n＝｛0,1,2,…,n-1｝，定义n上运算+n以下：

x,y∈n，x+ny＝x＋y(modn)(即为x＋y除以n余数)。证实<n，＋n>是含么半群。

证实：

1）封闭性：

x,y∈n，令k＝x＋y(modn)，则0≤k＜n-1，即k∈n，所以封闭性成立；

2）结合律：

x,y,z∈n，有(x＋ny)＋nz＝x＋y+z(modn)＝x＋n(y＋nz)，所以结合律成立。

3）单位元：

x∈n，显然有0+nx＝x+n0＝x，所以0是单位元。故<n，＋n>是含么半群。5/5/202448计算机科学与工程学院第48页例：设n＝｛0,1,2,…,n-1｝，定义n上运算+n以下：

x,y∈n，x+ny＝x＋y(modn)(即为x＋y除以n余数)。证实<n，＋n>是含么半群。

证实：

1）封闭性：

x,y∈n，令k＝x＋y(modn)，则0≤k＜n-1，即k∈n，所以封闭性成立；

2）结合律：

x,y,z∈n，有(x＋ny)＋nz＝x＋y+z(modn)＝x＋n(y＋nz)，所以结合律成立。

3）单位元（幺元）：

x∈n，显然有0+nx＝x+n0＝x，所以0是单位元。故<n，＋n>是含么半群。5/5/202449计算机科学与工程学院第49页例：

设k

Z，令集合Sk={x|(x

Z)∧(x

k)}，“+”是一个普通加法运算，试判断<Sk，+>是否是一个半群？

解：1)显然二元运算“+”是可结合；2)①若k

0，因为k

Sk，而(k+k)＝2k＜k，即(k+k)

Sk，故运算“+”在Sk上不是封闭； ②若k

0，则对

x，y

Sk，有(x+y)

Sk，所以运算“+”在Sk上是封闭。由1)、2)知：当k

0时，<Sk，+>不是半群；当k

0时，<Sk，+>是一个半群。5/5/202450计算机科学与工程学院第50页例：设k

Z，令集合Sk={x|(x

Z)∧(x

k)}，“+”是一个普通加法运算，试判断<Sk，+>是否是一个半群？

解：

1)显然二元运算“+”是可结合；

2)①若k

0，因为k

Sk，而(k+k)＝2k＜k，即(k+k)

Sk，故运算“+”在Sk上不是封闭； ②若k

0，则对

x，y

Sk，有(x+y)

Sk，所以运算“+”在Sk上是封闭。由1)、2)知：当k

0时，<Sk，+>不是半群；当k

0时，<Sk，+>是一个半群。5/5/202451计算机科学与工程学院第51页例：

设k

Z，令集合Sk={x|(x

Z)∧(x

k)}，“+”是一个普通加法运算，试判断<Sk，+>是否是一个半群？

解：

1)

显然二元运算“+”是可结合；

2)①

若k

0，因为k

Sk，而(k+k)＝2k＜k，即(k+k)

Sk，故运算“+”在Sk上不是封闭；

②若k

0，则对

x，y

Sk，有(x+y)

Sk，所以运算“+”在Sk上是封闭。由1)、2)知：当k

0时，<Sk，+>不是半群；当k

0时，<Sk，+>是一个半群。5/5/202452计算机科学与工程学院第52页例：

设k

Z，令集合Sk={x|(x

Z)∧(x

k)}，“+”是一个普通加法运算，试判断<Sk，+>是否是一个半群？

解：

1)

显然二元运算“+”是可结合；

2)①若k

0，因为k

Sk，而(k+k)＝2k＜k，即(k+k)

Sk，故运算“+”在Sk上不是封闭；

②若k

0，则对

x，y

Sk，有(x+y)

Sk，所以运算“+”在Sk上是封闭。

由1)、2)知：当k

0时，<Sk，+>不是半群；当k

0时，<Sk，+>是一个半群。5/5/202453计算机科学与工程学院第53页例：<Z,+>,<N,+>,<R,+>是一个可换半群；

0是单位元，也是唯一幂等元，但没有零元。<Z,×>,<N,×>,<R,×>是一个可换半群；

1是单位元，0是零元，1和0都是幂等元。<Q+,+>是半群，但不是含么半群；

无幂等元和零元。<Q+,×>是含么半群，其幺元为1；而<Q+,->和<Q+,÷>对运算不封闭，不是代数系统，也就不是半群；5/5/202454计算机科学与工程学院第54页例：<Z,+>,<N,+>,<R,+>是一个可换半群；

0是单位元，也是唯一幂等元，但没有零元。<Z,×>,<N,×>,<R,×>是一个可换半群；

1是单位元，0是零元，1和0都是幂等元。<Q+,+>是半群，但不是含么半群；

无幂等元和零元。<Q+,×>是含么半群，其幺元为1；而<Q+,->和<Q+,÷>对运算不封闭，不是代数系统，也就不是半群；5/5/202455计算机科学与工程学院第55页例：<Z,+>,<N,+>,<R,+>是一个可换半群；

0是单位元，也是唯一幂等元，但没有零元。<Z,×>,<N,×>,<R,×>是一个可换半群；

1是单位元，0是零元，1和0都是幂等元。<Q+,+>是半群，但不是含么半群；

无幂等元和零元。<Q+,×>是含么半群，其幺元为1；而<Q+,->和<Q+,÷>对运算不封闭，不是代数系统，也就不是半群；5/5/202456计算机科学与工程学院第56页例：<Z,+>,<N,+>,<R,+>是一个可换半群；

0是单位元，也是唯一幂等元，但没有零元。<Z,×>,<N,×>,<R,×>是一个可换半群；

1是单位元，0是零元，1和0都是幂等元。<Q+,+>是半群，但不是含么半群；

无幂等元和零元。<Q+,×>是含么半群，其幺元为1；而<Q+,->和<Q+,÷>对运算不封闭，不是代数系统，也就不是半群；5/5/202457计算机科学与工程学院第57页例：<Z,+>,<N,+>,<R,+>是一个可换半群；0是单位元，也是唯一幂等元，但没有零元。<Z,×>,<N,×>,<R,×>是一个可换半群；1是单位元，0是零元，1和0都是幂等元。<Q+,+>是半群，但不是含么半群；无幂等元和零元。<Q+,×>是含么半群，其幺元为1；而<Q+,->和<Q+,÷>对运算不封闭，不是代数系统，也就不是半群；5/5/202458计算机科学与工程学院第58页例：设M