湖北省宜昌市秭归县实验中学高三数学理模拟试题含解析

湖北省宜昌市秭归县实验中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（

）A.1

B.2 C.3

D.4参考答案：B略2.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A.等腰三角形 B.直角三角形C.平行四边形 D.梯形参考答案：A【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.

3.已知函数f（x）周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为(

)A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）参考答案：B【考点】函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1=1（y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1=1（y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1=1（y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（）故选B．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．4.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5＝3，a8＝8，则a12的值是

A．15

B．30

C．31

D．64参考答案：A5.如图，已知点，正方形内接于圆：，、分别为边、的中点.当正方形绕圆心旋转时，的取值范围为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是

(

)A．（，）

B．（，）

C．（，）

D．参考答案：A7.

若函数在区间上的图像如图所示,则的值

可能是

A.

B．

C．

D．

参考答案：B略8.球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，那么平面DEF截球O所得截面的面积是（

）A.36π B.40π C.48π D.54π参考答案：C【分析】先算出外接球的半径，然后算出球心到截面的距离，利用勾股定理可求得截面圆的半径，从而可得到本题答案.【详解】由正四面体的性质可知：，，因为，在中，由勾股定理得，由平行面分线段成比例可知：，故，，故所求截面面积为.故选：C【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的截面圆的面积问题.9.参考答案：B略10.设，则“”是“”的 （

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知“|x－a|<1”是“x2－6x<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为.参考答案：（1,5）12.在斜二测画法中，一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则其面积为______；参考答案：

13.若正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于______．参考答案：略14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是

．参考答案：乙（1）根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小”可得：丙是体委；

（2）根据“丙的年龄比学委的大，体委比乙年龄小”可得：乙＞丙＞学习委员，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长．

答：班长是乙．

故答案为：乙．【点睛】此题关键是根据题干中体委与甲和乙的年龄关系，得出，体委是丙．然后才能根据丙与乙和学委的年龄关系得出，乙不是学委，从而得出乙是班长．15.数列的前项和为，若（），则

.参考答案：1006略16.已知，则_____.参考答案：【分析】将所给式子平方，找到与的关系.【详解】平方得∴.【点睛】与的关系：；17.大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于．参考答案：3【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该汽车第n年的营运费为an，万元，则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n，则该汽车使用了n年的营运费用总和为Tn=n2+n，设第n年的盈利总额为Sn，则Sn=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9，∴年平均盈利额P=10﹣（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634（）完成被调查人员的频率分布直方图．（）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（）在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：见解析．（）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：．（）的所有可能取值为：，，，，，，，所以的分布列是：所以的数学期望．

19.(本小题满分13分)已知椭圆的焦点为，，

离心率为，直线与轴，轴分别交于点，．（Ⅰ）若点是椭圆的一个顶点，求椭圆的方程；（Ⅱ）若线段上存在点满足，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，故，………2分由，得，∴，……4分

所求的椭圆方程为.……5分（Ⅱ）可设椭圆方程为，联立得，…7分已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，等价于方程在上有解.…………9分∴，

由，故，故所求的的取值范围是.…………13分20.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，、的极坐标分别为、.（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值．参考答案：见解析考点：极坐标方程，参数和普通方程互化（Ⅰ）将、化为直角坐标为、，

即、的直角坐标分别为、,

，∴直线的方程为，

即为．

（Ⅱ）设，它到直线距离

=，（其中）

∴21.（12分）已知函数f（x）=，其中m，n，k∈R．（1）若m=n=k=1，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数m的取值范围；（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在两个极值点x1、x2，求证：＜f（x1）+f（x2）＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若m=n=k=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定m≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数m的取值范围；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，再结合基本不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：m=n=k=1，f′（x）=，∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）解：若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则m≥0．m=0，f（x）=，f′（x）=≥0，∴f（x）min=f（0）=1；m＞0，f′（x）=，0＜m≤，f（x）min=f（0）=1；m≥，f（x）在[0，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，f（x）min＜f（0）=1不成立．综上所述，0≤m≤；（3）证明：f（x）=，f′（x）=．∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，注意到（i=1，2），∴f（x1）=，f（x2）=，∴f（x1）+f（x2）==（）＞==；∵（）＜＜，∴＜f（x1）+f（x2）＜．【点评】本题考查导