2022年广东省汕头市丹阳中学高二数学文模拟试题含解析

2022年广东省汕头市丹阳中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣3y2=1参考答案：B【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线方程，求解即可．【解答】解：椭圆+y2=1的焦点坐标（，0），设双曲线方程为：，双曲线经过点P（2，1），可得，解得a=，所求双曲线方程为：﹣y2=1．故选：B．2.点P(-1，2)到直线的距离为（

）A.2

B.

C.1

D.参考答案：B3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=26，c=15，C=28°，则△ABC有（）A．一解 B．二解 C．无解 D．不能确定参考答案：B【考点】解三角形．【分析】利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=＜1，∵b＞c，∴B有两解．故选B．4.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为2(＋1)，且sinB＋sinC＝sinA，则a＝

()A.

B．2

C．4

D．2参考答案：B5.已知函数在区间上是单调递增函数，则a的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以

6.某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.在某校的元旦晚会上有5个歌唱类节目，4个舞蹈类节目，3个小品相声类节目，现要排出一张节目单，要求歌唱类节目不能相邻，则可以排出的节目单的总张数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知U=R，，则（CUA）∩B=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先整理集合A，解关于x的绝对值不等式，再根据指数函数的值域做出集合B的范围，求出补集再写出交集．【解答】解：∵A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}∴CUA={x＜1或x＞3}，∵={x|x＞1}∴（CUA）∩B={x|x＞3}故选B．9.抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．1 C． D．参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离．【解答】解：抛物线y=2x2化为标准方程为x2=y∴抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为=故选：D．【点评】本题考查抛物线的性质，将抛物线方程化为标准方程是解题的关键．10.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是

．参考答案：4【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据ln（a+b）=0求得a+b的值，进而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案为：412.上有一动点，圆，过圆心任意作一条直线与圆交于两点和，圆,过圆心任意作一条直线与圆交于两点和,则的最小值为

。参考答案：613.数列是等差数列，是其前n项和，已知，则_____.参考答案：11014.已知不同的三点A，B，C在一条直线上，且=a5+a2012，则等差数列{an}的前2016项的和等于

．参考答案：1008【考点】等差数列的前n项和．【分析】不同的三点A，B，C在一条直线上，且=a5+a2012，可得a5+a2012=1．可得a1+a2016=a5+a2012．再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：不同的三点A，B，C在一条直线上，且=a5+a2012，∴a5+a2012=1．∴a1+a2016=a5+a2012=1．则等差数列{an}的前2016项的和==1008．故答案为：1008．15.已知随机变量X的概率分布如下表所示，且其数学期望E（X）=2，X0123Pab则随机变量X的方差是_________．参考答案：略16.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为，表中丢失一个数据，请你推断出该数数值为______________.零件个数（）1020304050加工时间（62

758189参考答案：6817.某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则（Ⅰ）四级分形图中共有

条线段；（Ⅱ）n级分形图中所有线段的长度之和为

．参考答案：45，．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】（I）当n=1时，共有3条线段；当n=2时，共有3+3×（3﹣1）=9条线段；当n=3时，共有3+3×（3﹣1）+3×22=21条线段；由此规律可得：当n=4时，共有3+3×（3﹣1）+3×22+3×23．（II）由（I）可得：n级分形图中所有线段的长度之和=3++×3×22+…+=3，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）当n=1时，共有3条线段；当n=2时，共有3+3×（3﹣1）=9条线段；当n=3时，共有3+3×（3﹣1）+3×22=21条线段；当n=4时，共有3+3×（3﹣1）+3×22+3×23=45条线段．（II）由（I）可得：n级分形图中所有线段的长度之和=3++×3×22+…+=3==．故答案分别为：45，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数a的取值范围．参考答案：函数的定义域：，，

——————2分所以当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减

所以，无极小值．

——————5分(2)若存在实数，使得成立，则由可得①当时，≤0，在[0,1]上单调递减，∴，即；

——————7分②当时，>0，在[0,1]上单调递增，∴，即；

——————9分③当时，时，，单调递减；时，，单调递增，，由于，故，由（1）知，所以故不可能成立；

——————11分综上所述，实数的取值范围是．

——————12分19.已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a?+2?（﹣）=0，∴a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.参考答案：（1）若，则当时，，故在单调递增．若，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；（2）见解析.试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21.已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，点（）均在函数的图像上.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.参考答案：（1）；（2）10．分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出；（2）由，利用裂项求和法求出，由此能求出满足要求的最小整数.详解：（1）当时，当时，符合上式综上，（2）所以由对所有都成立，所以，得,故最小正整数的值为.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）和直线l：﹣=1，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l：﹣=1的距离为，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x=0，以CD为直径的圆过点E；当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y=kx+2，由，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程．【解答】解：（Ⅰ）由直线，∴，即4a2b2=3a2+3b2﹣﹣①又由，得，即，又∵a2=b2+c2，∴﹣﹣②将②代入①得，即，∴a2=3，b2=2，c2=1，∴所求椭圆方程是；（Ⅱ）①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x=0，则直线m与椭圆的交点为（0，±1），又∵E（﹣1，0），∴∠CED=90°，即以CD为直径的圆过点E；②当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），由，得（1+3k2）x2