湖南省娄底市大同中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省娄底市大同中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A． B．y=1g|x| C．y=cosx D．y=x2+2x参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间（0，+∞）上单调递减，从而得出结论．【解答】解：对于A：函数在（0，+∞）递减，不合题意；对于B：y=lg|x|是偶函数且在（0，+∞）递增，符合题意；对于C：y=cosx是周期函数，在（0，+∞）不单调，不合题意；对于D：此函数不是偶函数，不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．2.下列四个选项中错误的是A．命题“若则”的逆否命题是“若则”.

B．若为真命题，则为真命题.

C．若命题则.

D．“”是“”成立的必要不充分条件.参考答案：D3.函数的零点是（

）

A．

B．和

C．1

D．1和参考答案：D略4.已知上的投影长（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B5.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（

）A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：A6.使成立的的一个区间是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.甲、乙两人在一次射击比赛中各打靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（

）

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差参考答案：C9.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为(

)A．8

B．4

C．1

D．

参考答案：A10.定义在上的奇函数，当时，

则函数的所有零点之和为（

）A.1-

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．参考答案：-考点： 二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．专题： 三角函数的求值．分析： 依题意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得tanα的值．解答： 解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．．点评： 本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题12.已知为常数,若函数有两个极值点，则的取值范围是

参考答案：0<a<1/2略13.随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________。参考答案：【知识点】几何概型K3本题符合几何概型，由题意作图如下，

则点P应落在黑色阴影部分，S△=×6×=12，

三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积S=π，

故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率P==．【思路点拨】本题符合几何概型，由题意作图，求面积比即可．14.函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则＋的最小值为________．参考答案：4函数y＝a1－x的图像过点(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4．15.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是

.

参考答案：16.若满足约束条件则的最小值为______________．参考答案：0略17.若为正实数，则的最大值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．解答：解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等价于①，或②，或③．解①求得x无解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤}．（2）由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2=（a＞0），易得h（x）的最小值为﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．19.已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x?cos+cos2x?sin+sin2x?cos﹣cos2x?sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，a=5，△ABC的面积为．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求的值．参考答案：【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用三角形的面积公式求解b，利用余弦定理求解c的值；（Ⅱ）通过余弦定理求出B的余弦值，利用同角三角函数的基本关系式求出B的正弦函数值，利用两角和与差的余弦函数求的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，，a=5，因为

，即

，解得b=8．由余弦定理可得：，所以

c=7．…..（Ⅱ）由（Ⅰ）有，由于B是三角形的内角，易知，所以==．…..（13分）【点评】本题考查余弦定理以及三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．21.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），直线MA，MB相交于点M，它们的斜率之积为常数m（m≠0），且△MAB的面积最大值为，设动点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为﹣1，那么·是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由题意和斜率公式列出方程并化简，根据题意求出曲线E的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0），由曲线E的方程和题意画出图象，由圆的切线的性质求出OQ，由两点之间的距离公式列出式子，由向量的坐标运算和数量积运算化简，即可求出为定值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），且A（﹣，0），B（，0），由题意得kMA?kMB=m，即（），化简得，y2=m（x2﹣3）（m≠0），则mx2﹣y2=3m（），∵△MAB的面积最大值为，∴，∴当m=﹣1时，方程为x2+y2=3满足条件，则曲线E的方程是x2+y2=3（）；（Ⅱ）是定值，设Q（x0，y0），由（Ⅰ）知曲线E：原点为圆心，为半径的圆（除A，B点），∵过E外一点Q作E的两条切线l1，l2，且它们的斜率之积为﹣1，∴l1⊥l2，切点分别是M和N，即QN⊥QM，如图所示：连接OM、ON、OQ，由圆的切线的性质得，ON⊥NQ，OM⊥MQ，∴△ONQ≌△OMQ，则△ONQ是等腰直角三角形，∵0N=，∴OQ=3，即，∴=（﹣x0，﹣y0）?（x0，0﹣y0）=，∴是定值为6．22.（本小题满分12分）

已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且（I）求角A的值；（II）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积。参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）根据已知等式并运用三角函数的恒等变形将其进行化简可得，然后运用三角形的内角和为即将代入上述等式即可得出角的大小；（Ⅱ）在中直接应用余弦定理可求出的长度，再由D是的中点结合三角形的面积公式即可得出所求的结果.试题解析：(Ⅰ)由，变形为，，即