广东省湛江市洋青中学高三数学文联考试卷含解析

广东省湛江市洋青中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?嘉兴二模）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．﹣2D．﹣4参考答案：C【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，﹣4），此时z=1×2﹣4=﹣2，故选：C【点评】：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.3 B.—6 C.10 D.参考答案：C第一次循环为：，第二次循环为：，第三次循环为：，第四次循环为：，第五次循环条件不成立，输出,答案选C.3.已知命题：N,，命题：R,，则下列命题中为真命题的是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A4.以双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若△MPQ为正三角形，则C的离心率等于（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程，可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|=2，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，即有M（c，），可得圆的圆心为M，半径为，即有M到y轴的距离为c，可得|PQ|=2，由△MPQ为等边三角形，可得c=?2，化简可得3b4=4a2c2，由c2=a2+b2，可得3c4﹣10c2a2+3a4=0，由e=，可得3e4﹣10e2+3=0，解得e2=3（舍去），即有e=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知函数在处有极值，则等于(

)

A.或

B.

C.或18

D.参考答案：A略6.已知F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，若=4，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出P，Q的坐标，利用=4，求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，kPQ=．∴直线PQ为：y=（x+c），与y=x．联立得：Q（，）；与y=﹣x．联立得：P（﹣，）．∵=4，∴﹣﹣=4（﹣c+），∴e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，确定P，Q的坐标是关键．7.下列四个选项中错误的是A．命题“若则”的逆否命题是“若则”.

B．若为真命题，则为真命题.

C．若命题则.

D．“”是“”成立的必要不充分条件.参考答案：D8.对于数列,若存在常数M,使得,与中至少有一个不小于M,则记:

,那么下列命题正确的是（

）

A．若,则数列的各项均大于或等于MB．若,,则

C．若,则D．若,则参考答案：D9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，则等于（

）A. B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】根据数列的通项公式可求得的值，再代入前项和公式，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.10.在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（

）．

A． B． C． D．参考答案：C本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得?，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4?+42=4，即有1+4?+4=4，?=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．12.已知函数，实数x，y满足

，若点M(1，2)，N(x，y)，则当≤4时，的最大值为

(其中O为坐标原点)参考答案：1213.函数的定义域是____________参考答案：14.（5分）（2015?泰州一模）已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．参考答案：﹣1【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．15.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－1，)f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=_________.图（1）

图（2）

参考答案：【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R，∴A'F2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF，故∠A'DB，故填：．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．17.圆内的曲线与轴围成的阴影部分区域记为（如图），随机往圆内投掷一个点，则点落在区域的概率为_________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）令，证明：；（Ⅲ）求．参考答案：ⅠⅡ证明见解析Ⅲ【分析】(Ⅰ)设数列是公比为q的等比数列,数列是公差为d的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得,再利用裂项相消求和证明即可.(Ⅲ)代入,再利用错位相减求解即可.【详解】Ⅰ设数列是公比为q的等比数列,数列是公差为d的等差数列,由,可得,解得,则；Ⅱ证明：,；Ⅲ由,可设,,相减可得,化简可得．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.19.本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（1）当时，解不等式：；（2）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足，求证：．参考答案：解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．..1分①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；………..2分②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈?；………..3分③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………..4分综上所述，不等式的解集为（﹣]；………..5分（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，…..7分∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．…..10分

20.（本小题满分12分）解关于X的不等式：

。(K∈R)参考答案：当k=0时，不等式的解为：x>0；当k>0时，若△=4–4k2>0，即0<k<1时，；若△￡0，即k>1时，不等式无解；当k<0时，若△=4–4k2>0，即–1<k<0时，或若△<0，即k<–1时，不等式的解为R；若△=0，即k=–1时，不等式的解为：x≠–1。综上所述,k>1时，不等式的解为?；0<k<1时，不等式的解为x|；k=0时，不等式的解为x|x>0；–1<k<0时，x|或；k=–1时，不等式的解为x|x≠–1；k<–1时，不等式的解为R。21.如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，，.（1）若，求证：平面；（2）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）4【分析】（1）若AA1＝AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD；（2）建立坐标系，根据二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【详解】解：（1）证明：连接交于，因为，又平面，所以，所以四边形为正方形，所以，在中，，由余弦定理得，所以，所以，所以，又，所以平面，所以，又因为AC1⊥平面A1B1CD；（2）如图建立直角坐标系，则，设平面的法向量为，由即，解得设平面的法向量为由得解得由得，所以此时所以【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．22.（本小题满分14分）设函数为f(x)的导函数.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.参考答案：本小题主要