天津程林中学高三数学理下学期期末试卷含解析

天津程林中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={1,2,3,4}，，则(A){1,2,3,4}

(B){－3,－2,－1,0,1,2,3,4}

(C){1,2,3}

(D){1,2}参考答案：C2.已知函数，若对于任一实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（

）

A.［0，3）

B.［3，9）

C.［1，9）

D.［0，9）参考答案：D略3.在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若向量和平行，且，当△ABC的面积为时，则b=（）A． B．2 C．4 D．2+参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量共线的充要条件得a，b，c的关系，利用三角形的面积公式得到a，b，c的第二个关系，利用三角形的余弦定理得到第三个关系，解方程组求出b．【解答】解：由向量和共线知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2．故选项为B【点评】本题考查向量共线的充要条件，三角形的面积公式及三角形中的余弦定理．4.已知是偶函数，其定义域为[2n,1-n]，则点(m,n)的轨迹是Ａ、一条直线Ｂ、一条圆锥曲线Ｃ、一条线段Ｄ、一个点参考答案：答案：D5.已知函数是奇函数，则函数的图象为

（

）参考答案：6.等差数列公差为2，若成等比数列，则等于

A．-4

B．-6

C．-8

D．-10参考答案：B略7.已知函数，如果，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知设函数F(x)=f(x+4)，且F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b)内，,则x2＋y2＝b－a的面积的最小值为(

)(A)

(B).2

(C).3

(D)..4参考答案：验证，易知时，；时，所以在上恒成立，故在上是增函数，又，∴只有一个零点，记为，则.故的零点即将向左平移个单位，，又函数的零点均在区间内，且，故当，时，即的最小值为，即圆的半径取得最小值，所以面积取得最小值，故选9.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A)

(B)

(C)

1

(D)

2参考答案：A由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A.10.若实数满足求的最大值(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线与直线在第一象限所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：；12.设是定义在R上的奇函数，当时，，则_________.参考答案：略13.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y).若初始位置为P0（,）,当秒针从P0(注此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

参考答案：【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.权所有C4

【答案解析】y=sin

解析：∵函数的周期为T=60，∴ω==，设函数解析式为y=sin（﹣t+φ）（顺时针走动为负方向）∵初始位置为P0（，），∴t=0时，y=，∴sinφ=，∴φ可取，∴函数解析式为y=sin（﹣t+）,故答案为：【思路点拨】首先确定函数的周期，再设函数的解析式，待定系数可求函数的解析式．14.若，则常数

.参考答案：115.在的二项展开式中，的系数是

（结果用数字作答）.参考答案：416.如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为

．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，|EG|=y2﹣2y1=y2+，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴|EG|=y2﹣2y1=y2+≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4，故答案为4．【点评】本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．17.若函数（,）的部分图像如右图，则

.参考答案：由图象可知，即，所以，即，所以，因为，所以当时，，所以，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）由，得.………………１分由题意，，所以.………………２分（2）.因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.问题等价于函数，即在上为增函数，………………４分所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实数的取值范围是[1,+∞).………………７分（3）不等式等价于，整理得.构造函数，由题意知，在上存在一点，使得..因为，所以，令，得.①当，即时，在上单调递增.只需，解得.②当即时，在处取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化为.因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.③当，即时，在上单调递减，只需，解得.综上所述，实数的取值范围是(－∞,－2)∪(,+∞).………………１２分19.已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（1）求证：f（x）≥5；（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+都成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…20.(本小题满分12分).函数．(Ⅰ)当时，求证：；（4分）(Ⅱ)在区间上恒成立，求实数的范围。（4分）(Ⅲ)当时，求证：）．（4分）参考答案：略21.已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为的等比数列，且公比大于0，.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求的前n项和Tn.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）根据基本元的思想列方程，解方程求得的值，由此求得数列的通项公式（II）利用错位相减求和法求得数列的前项和.【详解】解：（I）∵∴或（舍）∵

∴

又∵

∴∴∴（II）∴【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答： 解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得