福建省厦门市育才学校高三数学文月考试题含解析

福建省厦门市育才学校高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=cosx－cos（x+）的最大值为

（

）

A．2

B．

C．1

D．

参考答案：C略2.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（

）． A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②参考答案：D在坐标中，标出已知点，可知选择④和②，∴选择．3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是A．

B．C．

D．参考答案：D4.函数是A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数参考答案：A解析：=.故选A.5.某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量（件）

2300

样本容量（件）

230

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（

）

A．80

B．800

C．90

D．900参考答案：B略6.若是的最小值，则的取值范围为（

）.(A)[-1,2]

(B)[-1，0]

(C)[1，2]

(D)参考答案：D略7.设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．[﹣1，1]参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2．由曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，得a2+[（cosx1﹣sinx1）+（cosx2﹣sinx2）]a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0．令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2，则m∈[﹣，]，n∈[﹣，]，∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4．当m﹣n=时，m+n=0，又a=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选D．8.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近1.99345.16.121.54.047.51218.01的一个是（

）

A.

B.C.

D.参考答案：由该表提供的信息知，该模拟函数在应为增函数，故排除D,将、4…代入选项A、B、C易得B最接近，故答案应选B.9.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间0,1上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0

B．2，＋∞)C．(－∞，0∪2，＋∞)

D．0,2参考答案：D10.“0<x<1”是“log2(x＋1)<1”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合,,则

。参考答案：12.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S9=45，则a5=． 参考答案：5【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式． 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得S9=9a5=45，解方程可得． 【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得： S9===9a5=45， ∴a5=5 故答案为：5 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题． 13.已知为球的直径，，是球面上两点且，.若球的表面积为，则棱锥的体积为

．参考答案：14.已知定义在（0，+∞）的函数f（x）=|4x（1﹣x）|，若关于x的方程f2（x）+（t﹣3）f（x）+t﹣2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是

．参考答案：{2，}

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】通过f（x）的图象，研究关于y的二次方程y2+（t﹣3）y+t﹣2=0有且只有3个不同的实数根．设g（y）=y2+（t﹣3）y+t﹣2，通过对y的取值范围，去对t进行讨论，可得答案．【解答】解：作出f（x）图象，研究关于y的二次方程y2+（t﹣3）y+t﹣2=0根的分步．设g（y）=y2+（t﹣3）y+t﹣2，t=2时，y=0，y=1，由图象可知显然符合题意．t＜2时，一正一负根，即g（0）＜0，g（1）＜0，方程的根大于1，f2（x）+（t﹣3）f（x）+t﹣2=0只有1个根，t＞2时，两根同号，只能有一个正根在区间（0，1），而g（0）=t﹣2，g（1）=2t﹣4，其对称轴y=，1＜t＜3△=0，可得t=5∴．∴实数t的取值集合是{2，}故答案为：{2，}．15.若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是

参考答案：16.已知函数，且，则对于任意的，函数总有两个不同的零点的概率是

▲

.参考答案：恒成立。即由几何概率可得P=17.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．参考答案：【分析】先找到几何体原图，再求几何体底面的外接圆的半径和几何体的外接球的半径，最后求几何体外接球的表面积.【详解】由题得几何体原图如图所示，底面等腰三角形的腰长为，由余弦定理得，所以,在△ADC中，AC=1,，所以,所以几何体外接球的半径为，所以几何体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体外接球的问题和球的表面积求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为，面积为，求△ABC的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，由三角形内角和定理和诱导公式可得，，代入上式可得，，所以.因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．参考答案：（1），；（2）.试题分析：（1）用平方法消去参数即可得曲线的直角坐标方程，先把圆心化成直角坐标，直接写出圆的标准方程即可；（2）设，先求得，利用三角函数的有界性求出的范围，进而得的取值范围.试题解析：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）设，则，∵，∴．根据题意可得，即的取值范围是．考点：1、极坐标化直角坐标；2、参数方程化普通方程及三角函数有界性.19.（本小题满分12分）

已知函数．（1）求的值；（2）求子啊区间上的最大值和最小值及其相应的x的值．参考答案：【知识点】三角函数的最值．C3【答案解析】（1）1；（2）1.解析：（1）+2…2分

+2………………4分

=1

………6分

（2）

…7分

…8分

从而当时，即时

……10分而当时，即时…12分【思路点拨】（1）由三角函数公式化简f（x），代值计算可得；（2）由﹣≤x≤逐步可得≤sin（x+）≤1，结合f（x）的解析式可得答案．20.（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.求：（I）的值；（II）若a=2，求△ABC周长的最大值．参考答案：(1)，......................3分；......................6分

(2)，......................8分

，

,

，当且仅当时，等号成立.............11分

△ABC周长的最大值为6........................12分21.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．参考答案：【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，∴直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以AD⊥BB1，