专题07 抛物线与阿基米德三角形（讲义）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题07抛物线与阿基米德三角形【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明如下结论：

抛物线与阿基米德三角形定理：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:结论1.直线过抛物线的焦点.结论2.直线的方程为.证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.进一步，设：，则.则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.结论4..证明：由结论3，，.那么.结论5..证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.【一】、定点问题例1、已知的方程为，过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．【详解】曲线：，即，则，设，可知切线的斜率为，所以切线：，则，整理得，同理由切线可得：，可知：为方程的两根，则，可得直线的斜率，设的中点为，则，即，所以直线：，整理得，所以直线恒过定点.

例2、已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点．（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．【解析】（1）证明：设，，，则，由于，切线的斜率为，故，整理得：．设，，同理可得．故直线的方程为．直线过定点；（2）解：由（1）得直线的方程．由，可得．于是．设为线段的中点，则，由于，而，与向量平行，，解得或．当时，，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为．1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．（1）证明：轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】解：（1）证明：设切点为，，，，即的导数为，所以切线的斜率为，切线的方程为，设，则有，化简可得，同理可得，所以，是方程的两根，所以，，，所以轴；（2）因为，所以，因为，所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点．2．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点.【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，联立可得，则，所以，即，所以抛物线的方程为.（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线也不与轴重合，设、，设直线的方程为，联立得，，因此，.设直线的方程为，联立得，则，因此，，则，同理可得.所以.因此直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令得，，所以，直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【二】、切线问题例3、（2023届·黄冈中学5月二模·T6）设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【详解】法一：因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.法二：常规解法，设直线AB的方程为，显然m是存在的，设，显然，求导：，在A点处的切线方程为…①，同理可得在B点处的切线方程为：；联立方程，解得，，，联立方程解得，，即P点在准线上，设，，考虑抛物线关于x轴对称，不妨取，代入①得：，解得或，由图可知，再代入抛物线方程得，例4、已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答.【详解】抛物线的准线为，设点，对函数求导得，于是直线的方程为，即，亦即，同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值.例5、（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（

）A．轴 B． C． D．【答案】AC【简证】由结论1可得A对，因为AB一定不过焦点F，故B错，由结论5可得C对,由结论5可得故D错【详解】对于A选项：设,,,过点A切线为：①,过点B切线为:②,①②得化简可得轴,A选项正确.设过A点的切线为,过B点的切线为,交点为AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；,所以,D选项错误;作抛物线准线的垂线,连接则显然,所以又因为由抛物线定义,得,故知是线段的中垂线,得到则同理可证：,，所以，即,所以,即.例6．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．（1）求证：切线和互相垂直；（2）求证：直线与轴平行；（3）求面积的最小值．【解析】（1）证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，联立方程，，消去，得，由△，得，记关于的一元二次方程的两根为，，则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，所以切线和互相垂直．（2）证明：设点，由，知，则，所以过点的切线方程为，将点代入，化简得，同理可得，所以，是关于的方程的两个根，由根与系数的关系知，所以，即中点的横坐标为，而点的横坐标也为，所以直线与轴平行．（3）解：点，则，则，由（2）知，，，则，，，当时，面积的最小值为4．过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.【答案】.【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆点与圆相切时斜率取到最值【常规法详解】设，不妨设，由，可得，可得，则，可得切线的方程为因为点在直线上，可得，同理可得：，所以直线的方程为，可得直线过定点，又因为在直线上的射影为，可得且，所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，当与相切时，由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，可得切线方程为，则，解得或，所以实数的范围为.故答案为：.

（2023秋·海南·高三统考期末）已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（

）A． B． C． D．4【答案】B【简证】由阿基米德三角形性质可得【常规法详解】解：抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，如图所示，根据抛物线对称性，不妨令第二象限，Q在第一象限，根据抛物线的定义，可知所以的纵坐标为1，的纵坐标为4，则，．由得，得，所以抛物线在，两点处的切线斜率分别为和2，得到两条切线方程并联立，解得，则，所以．（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点【答案】BD【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，则，整理得，同理得，所以，为方程的解，，所以，则，故B正确；由B选项得，所以，故C错；由B选项得，又，联立得，同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．

4．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．（1）若点坐标为，求切线，的方程；（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直．【解析】（1）解：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为，点坐标为，过点的切线方程为，联立，消去，得，由△，解得，所以切线，的方程分别为和，即切线方程分别为和；（2）证明：设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，联立，消去，得，由△，得，记关于的一元二次方程的两根为，，则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，所以切线和互相垂直．【三】、面积问题例7、已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.【答案】【详解】如图所示，

设，则，联立方程组整理得，所以，且，所以.由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，将代入上式整理得，同理可得抛物线的过点的切线方程为由解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，当时，，所以面积的最小值为.例8、已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值【解析】解：（1）设动点，由题意得，动点到点的距离与动点到直线的距离相等，动点的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为，曲线的方程为：；（2）设，设切线的斜率为，则切线方程为：，代入抛物线整理：，由△得：，，，解得：，切点坐标为，由，得，，设直线与的夹角为，则，则．令切点到的距离为，则，，，，当，即时，的面积取得最小值．1．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值．【解析】解：设，由题意可得：，化为．曲线的轨迹方程为且．设，切线方程为，联立，化为，由于直线与抛物线相切可得△，即．，解得．可得切点，由．，．切线．为直角三角形，．令切点到的距离为，则，，，，当时，即时，的面积取得最小值4．2．（2022·浙江杭州·学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．(1)求证：；(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，即可表示、的坐标，再由直线的方程，得到点坐标，同理可得点坐标，从而得证；（2）依题意可得，即可求出、，再根据三角形面积求出的取值范围；【详解】（1）解：设，则，由于A，F，B三点共线，则，整理得，又，则，同理可得则，，所以，即证；（2）解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，即，则，化简得，，即可得，又因为，，可得，，，，，即【四】、外接圆的问题例9、双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．【答案】【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，，从而解出、，利用勾股定理可解.【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．例10、已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解.【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，所以在中，，所以例10、（2023届·湖南师范大学附属中学月考(三)）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.故选：B.例11、已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．【解析】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，△，即，，，，，因为，，，而，所以，解得，满足判别式大于0，即直线方程为，所以恒过可得点在直线上．（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，设线段的中点为，线段的中点为，因为，设，，，所以，，，，，，所以线段的中垂线的方程为：，因为在抛物线上，所以，的中垂线的方程为：，即，同理可得线段的中垂线的方程为：，联立两个方程，解得，由（1）可得，，所以，，即点，所以，即点的轨迹方程为：．1、已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是．【答案】【详解】设的内切圆的半径为，由双曲线的定义可得，则，因为，所以，可得，故2、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为．【答案】5【详解】设，，点在双曲线的右支上，由，可知，又由双曲线的定义有，，在中，的内切圆的半径，又由，可得，联立解得代入，有，整理为，可得，有，故双曲线的离心率．3、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分析可得，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的右顶点，在中，由勾股定理列式求解.【详解】，即为，即为，可得．所以．根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．又，所以．设，则，所以，所以切点D为双曲线的右顶点，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因为，所以C的离心率为，故选：C．4、（多选）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（

）A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得，可判断A；在等腰中，利用中位线结合双曲线的定义可求出，可判断B；设，由，即，由余弦定理代入化简可得，再结合椭圆和双曲线的定义可判断C；由，即可判断D.【详解】设圆与三边的切点为，，又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；

过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，因为，则为的中点且，于是，故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确；设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设，根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以，在中，由余弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，即，由，两式相加，则，又，所以，所以，所以，即，故C正确；，即，所以，即，故D正确5．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．【解析】解：（1）因为点是抛物线的顶点，故点的坐标为，根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，，故，因为，则，因为、是上的两个动点，则有，，故，整理可得，解得，由，消去可得，则有，，所以，解得，故直线的方程为，所以直线经过一个定点．（2）线段的中点坐标为，又直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，①同理，线段的垂直平分线的方程为，②由①②解得，设点，则有，消去，得到，所以点的轨迹方程为．【五】、最值问题例12、已知双曲线C：过点，则其方程为，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是．【答案】【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围【详解】①由双曲线C：过点，所以所以方程为②如图：设的内切圆与分别切于，所以，所以，又，所以，又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，设直线的倾斜角为.则，，，当时，，当时，由题知，...因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，综上所述，.例13、图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．【解析】解：（1）证明：设过点与抛物线相切的直线方程为：，由，因为相切，所以，设，是该方程的两根，由韦达定理得：，，分别表示切线，斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点所以直线为：，直线方程为：，所以过定点．（2）方法一由（1）知，由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，即：，，分居直线两侧，，，当且仅当，又由，令得：，；方法二：因为，由（1）知点坐标为，，又由（1）知直线方程为：，，当且仅当取到等号，又由，令得：，．1、（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（

）A． B．椭圆的离心率是C．的最小值为 D．的值为【答案】ACD【详解】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，所以由中点坐标公式得，则，将代入抛物线方程得，，所以，则，所以，故A正确；对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，化简得，则，故，所以，故B错误；对于C，由选项B得，所以，则，所以，不妨设，则，且，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，连接和，如图，因为的内心为，所以为的平分线，则有，同理：，所以，所以，所以，故D正确.2．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，作﹐垂足分别为，若，直线分别与以为直径的圆相切于不同的点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：应用解析法，设，，联立抛物线方程，结合已知条件求参数，即可确定所在直线为轴，进而求；法二：应用几何法，根据抛物线的性质及已知条件有，由勾股定理可得，且，即可确定所在直线为轴