专题05 圆锥曲线之焦点三角形（模拟+真题）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题05圆锥曲线之焦点三角形1．（2020·广西钦州一中）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】（技巧法）（常规法），，由椭圆定义，，由⊥得，的面积为4，则，即，，即,解得，即，故选：C.2．（2020·伊美区第二中学）设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A． B．C．24 D．48【答案】C【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C3．（2023·四川凉山·统考一模）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.【详解】如图所示：设，由题意，，两式相比得，又，且，所以，而由余弦定理有，即，且由椭圆定义有，所以，解得.故选：C.4．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且，若为的内心，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面积法求出内切圆的半径的表达式，代入三角形的面积公式，可得所求的三角形的面积．【详解】由椭圆的方程可得，，，设内切圆的半径为，则，可得，而，所以，所以，所以，因为，所以，即．故选：C．5．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根据直角三角形的几何性质可得出，可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，结合可求得该椭圆的离心率的值.【详解】将代入椭圆方程的方程得，可得，则，由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，因为为线段的中点，则，可得，即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故选：B.6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知直线l与椭圆相切于点P，与圆交于A，B两点，圆在点A，B处的切线交于点Q，O为坐标原点，则的面积的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由，，，四点共圆，结合圆与圆的位置关系得出相交弦方程，再由与椭圆相切，可得过的切线方程，从而得出，，再由椭圆的参数方程和向量的运算，结合正弦函数的性质求出最大值．【详解】设，，由，，可得四点，，，共圆，可得以为直径的圆，方程为，联立圆，相减可得的方程为，又与椭圆相切，若不与轴垂直时，当时，可化为，设，在的切线方程为，即，同理可得时，在的切线方程为，若轴时，在点处的切线方程为，满足故过的切线方程为，即为，由两直线重合的条件可得，，由于在椭圆上，可设，，，即有，，可得，且，，即有，当即或或或时，的面积取得最大值．故选：．【点睛】关键点睛：在求面积的最大值时，关键在于利用椭圆的参数方程设出点的坐标，进而结合三角恒等变换以及正弦函数的性质得出面积的最大值.7．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可.【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，此时，，所以，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以，故选：D8．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，为坐标原点，点在椭圆上，且，则的面积（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点，根据点在椭圆上以及可得出关于、的方程组，求出的值，即可求得的面积.【详解】在椭圆中，，，，则，设，由点在椭圆上且，得，解得.所以.故选：B.9．（2020·福建·统考模拟预测）已知是椭圆的左焦点，过且与轴垂直的直线与交于，两点，点与关于原点对称，则的面积为（

）A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】根据椭圆，求得，进而求得坐标，再由点与关于原点对称，得到坐标，可得的长度及点到直线的距离，然后由三角形面积公式求解.【详解】因为椭圆，所以，因为过且与轴垂直的直线与交于，两点，所以，因为点与关于原点对称，所以，所以，点到直线的距离为2，所以的面积为.故选：B【点睛】本题考查直线与题意的位置关系以及对称问题和三角形面积问题，还考查了运算求解能力，属于中档题.10．（2019·浙江·校联考一模）已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，，直线BC的方程为．可得，；联立，利用原点是△ABC的重心，得，．由，．由此可得，∵．∴．【详解】设，．．，直线的方程为.∵原点是的重心，∴与的高之比为，又与的面积之比为，则.即，…①联立.，…②，由①②整理可得：…③∵原点是的重心，∴，.∵，∴…④．由③④可得，∵．∴.故选C．【点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．11．（2018·河北衡水·统考一模）已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】C【详解】由椭圆的定义可知的周长为，设三角形内切圆半径为，所以的面积，整理得，又，故得椭圆的离心率为.故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据三角形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．12．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且的延长线交轴于点，且，的内切圆半径为4，的面积为9，则（

）

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由双曲线的定义，结合直角三角形内切圆半径的求法及相似三角形对应线段成比例求解即可.【详解】因为，所以，所以为直角三角形，所以，因为，所以．因为的面积为9，所以，因为，所以，所以．易知，所以，所以．故选：C.13．（2023·陕西·统考一模）已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据，可得，从而可求得离心率，设的内切圆半径为，根据，可得，再根据双曲线的定义即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，所以离心率，设的内切圆半径为，则，又，所以，即，所以，所以.故选：B.【点睛】根据，得出是解决本题的关键所在.14．（2022·天津河东·统考一模）已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，，由可得出关于、的齐次等式，结合可求得的值，即可得解.【详解】抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，联立可得，所以，，因为为等边三角形，且为的中点，则且，所以，，即，即，所以，，因为，解得.故选：A.15．（2021·河北唐山·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设条件写出焦点、的坐标，再根据点P在C的一条渐近线上且求出点P的纵坐标而得解.【详解】双曲线C：中，，，渐近线方程：，因，则点P在线段的中垂线：上，则P点纵坐标y0有，所以面积.故选：C16．（2019·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测）已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，且过双曲线的右焦点与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B，的面积为，则双曲线的实轴的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据渐近线与圆相切求得，再根据的面积得到等式，联立方程，即可求解.【详解】设双曲线（）的渐近线方程为，圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，所以渐近线方程为，即，即，将代入双曲线的方程，得，整理得，所以，又由的面积为，即，即联立方程组，解得，所以双曲线的实轴的长为.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.17．（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）（多选题）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解，再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆：，则，所以，又，所以点再椭圆上，连接，

则，故A不正确；由椭圆的定义可得，又的内切圆圆心为，所以内切圆半径，由于，所以，故，故C正确；又，所以，则，所以，故D正确；又，所以，又，所以，即，故B正确.故选：BCD.18．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，焦距为，P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A，B，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（

）A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为C．的面积为定值 D．的最小值为【答案】AC【分析】根据垂直关系可得渐近线斜率，结合焦距即可求解，进而可判断AB,联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，结合弦长公式求解面积，即可判断C，根据基本不等式即可判断D.【详解】选项A，B：由题意得双曲线的一条渐近线的斜率为，又焦距为，所以得,因此双曲线的方程为，离心率，故选项A正确，选项B错误；选项C：设，易知双曲线的渐近线的方程为，则由，解得，不妨取，同理可得，则，，（另解：，）于是，由于点P在双曲线上，所以，因此，所以的面积，由于是定值，所以也为定值，故选项C正确；选项D：易知，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选项D错误．故选：AC19．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选题）如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（

）A．B．C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8D．点B到两条渐近线的距离的积为【答案】AD【分析】由，若结合已知可得，设且，应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标，写出直线求出坐标，进而判断各项的正误即可.【详解】由题设，若，则，，即，可得，若且，则，可得，故，所以，直线为，即，而渐近线为，所以，，则，又，可得（舍）或，故，所以，即，A正确；而，B错误；令，则，可得，故过垂直于x轴所得弦长为8，而过和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过的双曲线的最短弦为2，C错误；由到的距离为，到的距离为，所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.故选：AD20．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选题）已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l与C的上支交于点P，垂足为A，且，O为坐标原点，则（

）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．三角形的面积为 D．直线l被以为直径的圆截得的弦长为【答案】BC【分析】利用双曲线的定义、渐近线方程、离心率公式及平面几何的相关知识解决本题.【详解】设焦距为2c，不妨取C的一条渐近线，则直线，垂足为A，易知，，因为，由双曲线的定义可知，设线段的中点为E，则，所以，，在中，，即，得，故双曲线的渐近线方程为，A错误；，解得，B正确；，C正确；设直线l被以为直径的圆截得的弦为MN，易知点A即为MN中点，故，D错误．故选：BC．21．（2023·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，．【答案】【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可.【详解】

由题可知，．因为平分，所以到，的距离相等，设为，则．易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，过作于，易得，则，从而．故答案为：22．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆，，分别为其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，在第三象限交于点Q．若的面积为，则．【答案】/【分析】通过的位置关系可以判断出PQ为圆O的直径，由此易知四边形为矩形，将转化为焦点三角形的面积后即可判断出之间的关系，进行求解.【详解】如下图所示：由对称性知PQ为圆O的直径，所以．又因为，，所以四边形为矩形，所以．因为，，所以，，，则．故答案为：【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．23．（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知椭圆C：，左、右焦点分别为、，是椭圆C上位于第一象限内的点且满足，延长交椭圆C于点Q，则△的内切圆半径是．【答案】【详解】由椭圆的性质知，,．而直角△的内切圆半径是,在△中,，．因为，即，所以,可得，所以在△中,，可得，解得：，则的内切圆半径是．【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆基本量的计算问题，焦点三角形问题是椭圆中的常见题型，本题的切入口是利用面积和求内切圆的半径。此题属于中档题.24．（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考二模）已知，分别为其左右焦点，为上任意一点，为平分线与轴交点，过作垂线，垂足分别为，求的最大值．【答案】【解析】设，，，计算，化简得到，再计算最值得到答案.【详解】设，，，故，故，，故.当为上下顶点时，，，等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆内的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.25．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是.【答案】【分析】设，由的周长为，得到，再由双曲线的定义得到，联立解得m，n，然后在中，利用余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】解：设，因为双曲线：（）的离心率为3，所以，即，又的周长为，所以，由双曲线的定义得，解得，由余弦定理得，则，所以，故答案为：26．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为.【答案】【分析】根据双曲线的标准方程和几何关系即可求解.【详解】设半焦距为，由题意知，，所以，所以，双曲线.

记的内切圆与边，，分别相切于点，则横坐标相等，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，同理内心的横坐标也为，则轴.设直线的倾斜角为，则，在中，，由于直线与的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，可得，即，可得的范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据双曲线的定义结合三角形内切圆的性质得到的表达式，然后结合三角函数的性质即得.27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为.【答案】4【分析】由双曲线定义可得，分析可得为的中位线，结合、的周长关系可得，AB为双曲线的通径即，联立上式可得，则可由均值不等式求二次商式最大值.【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.为的中点，，则为的中位线，故，又的周长为，则的周长为①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，当且仅当即时取等号.故答案为：428．（2022·陕西·统考二模）已知椭圆，双曲线的离心率互为倒数，，为双曲线的左、右焦点，设点M为的渐近线上的一点，若（O为坐标原点），的面积为16，则的方程为.【答案】【分析】根据椭圆的离心率求得双曲线的离心率，从而求得双曲线渐近线的方程，根据以及的面积列方程，化简求得，从而求得的方程.【详解】椭圆的离心率为，所以双曲线的离心率为，不妨设在直线上，设，则，设，，则，∵，∴.整理得①，依题意：，即：②，①②联立得.∴，，，∴的方程为：.故答案为：29．（2021·上海徐汇·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则.【答案】【分析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值.【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示：在双曲线中，，，则，即点、，因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且，因为，故、、三点共线，所以，，故，由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、，联立，可得，所以，，可得，由韦达定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案为：.30．（2023·天津·统考一模）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则.【答案】【详解】试题分析：有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..考点：双曲线与抛物线的几何性质.31．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知椭圆的左焦点为，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)为定值．【分析】（1）由椭圆所过的点及焦点坐标求椭圆参数，即可得方程；（2）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，写出直线的方程，进而求纵坐标，同理求纵坐标，由化简即可得结果.【详解】（1）由题知，椭圆的右焦点为，且过点，结合椭圆定义，所以，所以．又，所以，则的标准方程为．（2）设直线的方程为，，，由，得，易知，所以，，直线的方程为，令得，，同理可得，所以，为定值．.32．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若，求的大小；(3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知；（2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知；（3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在.【详解】（1）由题意可知：，解得，所以双曲线的方程为：；（2）因为，所以，且，所以，所以的大小为；（3）假设存在满足要求，当的斜率不存在时，，由解得，所以，所以不垂直，故不满足要求；当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，设，，联立可得，且，即，所以，所以，所以，所以，所以也不满足要求，故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算.33．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的标准方程；(2)过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用抛物线定义即可求得曲线的标准方程；（2）先求得的表达式，再利用均值定理即可求得其最大值.【详解】（1）过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则，则点到直线和定点距离相等，则的轨迹为以为焦点以直线为准线的抛物线，则曲线的方程为：（2）设A，，，坐标分别为，，，，因为

令直线：，，：，，由得：，由得：所以

令：，与联立得：，所以，，，则所以，代入得：

又因为，所以，当且仅当，时取等号所以与面积之比的最大值为34．（2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在平面直角坐标系内，已知定点，定直线，动点P到点F和直线l的距离的比值为，记动点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程．(2)以曲线E上一动点M为切点作E的切线，若直线与直线l交于点N，试探究以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．【答案】(1)(2)定点，理由见解析【分析】（1）设点是所求轨迹上的任意一点，根据题意，列出方程，即可求解；（2）设的方程为，联立方程组，根据，求得，得到，求得，再联立两直线，求得，设，结合恒成立，化简得到恒成立，求得的值，即可求解.【详解】（1）解：设点是所求轨迹上的任意一点，因为定点，定直线l：，动点P到点F和直线l的距离的比值为，可得，化简得，所以曲线的方程为.（2）解：因为直线与相交，所以的斜率存在，可设的方程为，联立方程组，整理得，则，可得，即且，所以，即，所以，则，所以，联立方程组，解得，即，假设以线段为直径的圆过轴上一定点，设为，则，所以恒成立，即，可得，即，整理得，即，即恒成立，要使得恒成立，则，所以恒过定点，即以线段为直径的圆过轴上一定点.【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

35．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.36．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．37．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.38．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.39．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.40．（2019·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为.【答案】【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.【详解】由已知可得，又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．41．（2009·重庆·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．42．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.43．（2019·全国·高考真题）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.【答案】(1)；（2），a的取值范围为.【分析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，于是，故椭圆C的离心率为；（2）[方法一]【椭圆的定义+基本不等式】由题意可知，且，所以．因为，所以．又因为，且，所以，从而，故，所以，a的取值范围为．[方法二]【最优解：椭圆的定义+余弦定理】由题意有则，即，当且仅当时，等号成立．此时P为短轴端点，，且满足．即当时，存在点P，使得，且的面积等于16．故，a的取值范围为．[方法三]【余弦定理+面积公式】设，对椭圆上任一点P，设，由余弦定理有，所以，即．则．又，即．由于，则以O为