专题03 求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围（讲义）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题03求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围1、椭圆中的最值问题：2、.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，（P为椭圆上一点）3、焦点三角形：4、点差法：5、通径以及通径的推广：

(一)借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例1】、（1）已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值（2）．（2021·江苏省如皋中学）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】根据三角形的面积建立有关的关系，得到，即可求出离心率.【详解】由题意，如图：由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，，所以，故椭圆离心率．故答案为：.（3）．（2023上·江苏常州·高二校联考期中）(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（

）A．点的横坐标为 B．的周长为16C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为【答案】BCD【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案.【详解】由题意知，，，则，.对于A选项，因为，解得，又，则，，故A错误；对于B选项，的周长为，故B正确；对于C选项，设的内切圆的半径，则，又，，解得，故C正确；对于D选项，在中，由，解得，又，即，整理得：，即，即，又，解得，设的外接圆的半径为，由正弦定理知：，即，解得，故D正确.故选：BCD.【小试牛刀】（1）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故选：C（2）．（2021·湖南永州·高三）已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，连接､，是的内心，可得､分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线､的距离相等，所以，同理可得，，由比例关系性质可知.又因为，所以椭圆的离心率.故选：A.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.（3）．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为．【答案】【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得，，代入上式，即可求解.【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＋＝0.(*)因为△ABF1的重心为G，所以故代入(*)式得，所以＝＝，即a2＝3b2，所以椭圆C的离心率e＝.故答案为：(二)借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】、（1）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.（2）已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，关于原点对称，设，，，故选A.（3）．（2023上·吉林四平·高二统考期中）（多选题）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为 B．的面积的最大值为2C．若，则的最小值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.【详解】选项A，由椭圆方程可知，，所以的周长，故A正确；选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以，所以的面积，当，即时，即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确；选项C，由，点，且，因为，当时，取最小值，且最小值为，故C错误；选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为，由得，，解得，如图，当直线与椭圆C相切时，，所以的最小值为.故D正确.故选：ABD.

【小试牛刀】．（1）设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】设左焦点为，根据椭圆定义，可得，设，则由可得，整理得，根据可求.【详解】为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，则也在椭圆上，设左焦点为，则根据椭圆定义，又，，是的斜边中点，，设，则，，，，即，，，，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的性质，解题的关键是将离心率表示为关于的函数.（2）．（2021·全国高二单元测试）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，，设，代入椭圆的方程，可得，则，即，即.又因为，所以.故选：A.（3）．（2023·江西鹰潭·统考一模），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.【答案】【分析】根据，得到，且是的角平分线，再结合和角平分线定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为，所以，则是的角平分线，所以，又因为，所以，设，由椭圆定义得，即，解得，则，则，所以，则，故答案为：(三)借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】、（1）（2021·广东广州市第二中学高二月考）已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先设直线，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得，与根与系数的关系联立消元可得，求得椭圆的离心率.【详解】设直线方程为，设，，与椭圆方程联立得，，①，，得②，由①②联立可得，即，得，椭圆的离心率.故选：D【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.（2）．（2021·浙江高一期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别是，，点C在椭圆上，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到，得出，代入椭圆的方程，求得，即可求解.【详解】由题意，可得，设，因为，则，可得，即，因为C在椭圆上，所以，即，所以离心率为.故选：B.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.（3）、（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）（多选题）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（

）A． B．的面积等于C．直线的斜率为 D．的离心率等于【答案】ABD【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.【详解】由可知，不妨设，又，可得；利用椭圆定义可知，所以可得；即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：

由，可知满足，所以；即A正确；所以为等腰直角三角形，且，因此的面积为，即B正确；此时可得直线的斜率，所以C错误；在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确；故选：ABD【小试牛刀】．（1）（2021·合肥百花中学（理））已知椭圆的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则C的离心率为_________．【答案】【分析】根据题意画出示意图，得到，两边平方，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得右焦点为，因为过点作圆的切线，可得，则，即，即，可得，所以.故答案为：.(2)．（2022·浙江高三专题练习）设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率【详解】设，则，，，.，在中，由余弦定理得，，，化简可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，椭圆的离心率，故答案为：.【点睛】题目考察比较综合，需要根据图形列出各边之间的关系式，找到关于之间的关系，进而求解离心率，涉及到了以下考点：（1）椭圆的第一定义（2）三角形的余弦定理（3）离心率的计算(四)根据椭圆自身的性质或基本不等式求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.例4．（1）（2022·江苏高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，在△中，，∴，可得，即，则，∴椭圆的离心率，故选：C．（2）、【2020届河北省正定中学高三上第五次月考】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值．（3）、（2023·山西吕梁·统考二模）（多选题）已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（

）A．离心率的取值范围为B．不存在点，使得C．当时，的最大值为D．的最小值为1【答案】ABC【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【详解】对于A，由已知可得，，所以，则，故A正确；对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；对于C，由已知，，所以，．又，则．根据椭圆的定义可得，所以，由图可知，，

所以当且仅当，，三点共线时，取得等号．故的最大值为，故C正确；对于D，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为，故D错误．故选：ABC【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.【小试牛刀】（1）已知分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8,则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题以双曲线为素材,综合考查双曲线的离心率和函数的