新人教版高中数学选择性必修第一册第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离

2.3.3点到直线的距离公式

2.3.4两条平行直线间的距离

学习指导核心素养

1.数学抽象、逻辑推理：点到直线的距

1.探索并掌握平面上点到直线的距离公

离公式的推导过程.

式.

2.数学运算：点到直线的距离、两平行

2会.求两条平行直线间的距离.

线间的距离的计算.

(必备知识工落实

知识点一点到直线的距离

1.定义：点尸到直线/的距离，就是从点尸到直线/的垂线段PQ的长度,

其中Q是垂足.

2.公式：点P(xo,")到直线/：Ax+By+C=0(A,8不同时为0)的距离d

lAxo+Byo+CI

\IA2+B2-

圈点拨------------------

(1)运用公式前首先应把直线方程化为一般式.

(2)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(次，”)代入直线方程的左

边得到的.当A=0或3=0时，上述公式仍然成立.

血口］求点痣(一1,2)到下列直线的距离.

(l)2x+y-10=0；(2)x+y=2；(3)^-1=0.

【解】(1)由点到直线的距离公式知

|2X(-1)+2-101io厂

d=一可一飞=26

(2)因为直线方程可化为x+y—2=0,

1-1+2-21也

所以d=­/,，-一.

-Jl2+122

|-1X0+2—11

(3)方法一：由点到直线的距离公式得d=—而存一

方法二：因为直线y—1=0与x轴平行,

所以由下图知d=|2—l|=l.

图题技巧---------------------------------

点到直线的距离的求解方法

⑴求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到

直线的距离公式求解即可.

（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b,求点尸（x（）,泗）到它们的

距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d=|xo-a|或d=\y0-

＜跟踪训练

1.原点到直线x+2y—5=0的距离为（）

A.1B.小

C.2D.小

10+2X0-51

解析：选D.d=

2.已知点（a,1）到直线x—y+l=0的距离为1,则a的值为（）

A.1B.-1

C.D.

|。一1+1|广1―

解析：选D.由题意，得I,,=1,即⑷=也，所以a=地.

（-1）‘

知识点二两条平行直线间的距离

1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的

长.

2.公式：两条平行直线/i：Ax+By+C=0与，2：Ax+By+C2=0（A,B不

IC1-C2I

同时为0,GWC2）之间的距离d=

^A2+B2~'

面点拨--------------------------------

使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式，二是两

直线方程中X,y的系数分别相同.

EH](1)直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0间的距离是.

(2)到直线2x+y+i=0的距离等于坐的直线方程为.

【解析】(l)6x+8y+6=0可化为3x+4y+3=0,所以直线3尤+4y—12=0

|—12-3|15

与3x+4y+3=0之间的距离4=勺歹了万=5=3.

(2)因为所求与直线2x+y+l=0的距离为V,

所以可得所求直线与已知直线平行，

设所求直线方程为2x+y+c=0(cWl),

|c-1|^

所以d=y22=5，解得c=。或c=2,

故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.

【答案】⑴3⑵2x+y=0或2x+y+2=0

[1题技巧------------------------------

求两平行直线间的距离有两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另

一条直线的距离.

(2)直接利用两平行线—+3)，+。=0与Ax+By+C2^Q间的距离公式.

。跟踪训练

1.若两条平行直线3x—4>+1=0与or—8y+c=0间的距离为3,则a=

解析：由题意得3X(—8)—(―4)Xa=0.所以。=6.

直线3x-4y+l=0,即6x—8y+2=0.

|2-c|

由平行线间的距离公式得*•+(-8)2=3

所以|2-c|=30,

即c=-28或32.

答案：6一28或32

2.(1)求与直线/：5x—12y+6=0平行且到/的距离为2的直线方程；

(2)两平行直线/2分别过Pi(l,0),P2(0,5),若一与吠的距离为5,求两

直线方程.

解：(1)设所求直线的方程为5x—12y+C=0(CW6),

由两平行直线间的距离公式，

|C-6|

得2=452+(—⑵2

解得C=32或C=-20,

故所求直线的方程为5x—12y+32=0或5x—12y—20=0.

(2)依题意得，两直线的斜率都存在,

设/i：y=k(x—1),kx—y—k=Q,

I2：y=fcr+5,即be—y+5=0.

因为/1与b的距离为5,

|一女一5|5

所以峦匚=5，解得％=0或五.

所以人和的方程分别为_y=0和y=5或5x—12j—5=0和5x—12y+60=

(关键能力三圈EJ]/

考点利用距离公式求最值

EH1两条互相平行的直线分别过点46,2)和8(—3,-1),并且各自绕

着点A,8同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，设两条平行直线间的距离为比

(1)求4的变化范围；

(2)当d取最大值时，求两条直线的方程.

【解】(1)如图所示，显然有0<dW|A阴，

而|AB|=、(6+3)2+(2+1)2=3710,

故d的变化范围为(0,3®].

(2)当4取最大值时，两条平行直线都垂直于

所以〃=一卷=-2-(-1)=-3,

6—(—3)

故所求直线方程分别为＞一2=—3。-6),y+l=-3(x+3),

即3x+y—20=0和3x+y+10=0.

图题技巧------------------------------

应用数形结合思想求最值

(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，

从而利用图形的直观性加以解决.

(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运

动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.

《跟踪训练动点P(x,y)在直线x+y—4=0上，O为原点，求|OP|最小时

点P的坐标.

解：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时。尸垂直

于已知直线，则2OP=1,

所以OP所在的直线方程为y=x.

y=x,x=2,

由＜解得,0

[x+y—4=0,[y=2.

所以点P的坐标为(2,2).

«课堂巩固三自1测

1.点(1,2)到直线y=2x+l的距离为()

R妪

B-5

C.小D.2小

|2X1—2+11

解析：选A.由点到直线的距离公式4=厂一,,、，

y)22+(-1)2

2.两条平行直线x+y~\=0与2x+2y+1=0之间的距离是()

3也B・乎

A.4

C.2D.1

解析：选A.2x+2y+1=0可化为x+y+；=0,由平行直线间的距离公式,

2+1

得仁~4

3.若点P(3,①到直线x+小y—4=0的距离为1,则a的值为.

-4|ly/3ci—11f-f—

解析：由题意得~-=---2=1，即。一1|=2,解得。=小

或a=—3.

答案：小或一乎

4.已知直线/经过点(一2,3),且原点到直线/的距离等于2,求直线/的

方程.

解：当直线/的斜率不存在时，直线的方程为x=-2,符合原点到直线/的

距离等于2.

当直线/的斜率存在时，

设所求直线I的方程为y—3=Z(x+2),

即kx—y+2攵+3=0,

|0—0+2%+3]

由d=/=2

得％=一4,即直线/的方程为5x+12y—26=0.

综上，直线/的方程为x=-2或5x+12y—26=0.

课后达标口检［测

［A基础达标］

1.点P（5,—3）到直线无+2=0的距离等于（）

A.7B.5

C.3D.2

解析：选A.因为直线x+2=0与x轴垂直，所以点P到它的距离d=|5—（一

2）1=7.

2.两直线3x+4y—2=0与6尤+8y—5=0间的距离等于（）

A7

B.

D.1

C-

2

解析：选C.3x+4y—2=0变为6x+8y—4=0,则两平行线间的距离为1=

|一4一(-5)|__1_

y/62+82-10-

3.已知点P在直线3尤十丁-5=0上，且点尸到直线九一）-1=0的距离为也，

则点尸的坐标为（）

A.(1,2)或(2,-1)B.(3,-4)

C.(2,-1)D.(1,2)

\ci—（5—3〃）一11广

解析：选A.设点尸的坐标为3,5—3〃），由题意得一/-7-z—=也，

yi+（―1）

解得。=1或。=2,所以点尸的坐标为（1,2）或（2,-1）.

4.（2022•山东省实验中学高二期中）两条平行直线2x—y+3=0和ax~3y+4

=0间的距离为d,则（）

B.a=~6,1=乎

A.a=6,d岩

D.。=6,4=坐

C.ci=-6,

解析：选D.根据两条平行直线2x—y+3=0和内-3y+4=0,可得?=二:

4

Wg,可得a=6,可得两条平行直线为6x—3y+9=0和6x—3y+4=0,故它们

Il=亚

间的距离d=

[36+9—3

5.（2022•合肥高二月考）点P（x,>）在直线x+y=4上，。是坐标原点，则10Pl

的最小值是（）

A.小B.乖

C.26D.小

解析：选C.直线x+y=4即x+y—4=0,|。尸|的最小值即原点O到直线光

|0+0-4|4r

+>—4=0的距离，为在+「=啦=2啦.故选C.

6.（多选）已知直线/：小x—y+l=0,则下列结论正确的是（）

A.直线/的倾斜角是会

B.若直线〃?：x—4y+l=0,则

C.点（小，0）到直线/的距离是2

D.过（2小,2）与直线/平行的直线方程是小x—y—4=0

解析：选CD.对于A,直线/:小x—y+l=0的斜率%=小，故直线/的

倾斜角是60。，故A错误；

巧

对于B,因为直线加：x—小y+1=0的斜率左'=3，夙'=1W—1,故直

线/与直线机不垂直，故B错误；

广173X^3-0+11

对于C,点（小，0）到直线/的距离d=1~丁,；=2,故C正

7（小）2+（-1）2

确；

对于D,过点（2小，2）与直线/平行的直线方程是3；-2=小（x—2小）,

整理得小x—y—4=0,故D正确.

综上所述，正确的选项为CD.

故选CD.

7.点P(m,6)到直线3x—4y—2=0的距离不大于4,则m的取值范围是

|3机-4X6-21

解析：依题意可知，,“、三W4,

声+(-4)2

46

解得.

答案：[2,y

8.经过点P(—3,4),且与原点的距离等于3的直线/的方程为.

解析：当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为％=-3,原点到直线/:x

=-3的距离等于3,满足题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁一4=攵。+3),即H-y+3Z+4

|3%+4|7

=0.由原点到直线/的距离d=口—/、,=3,解得k=-57.所以直线I

7公+(-1)/小

的方程为7x+24y—75=0.综上，直线/的方程为尤=-3或7x+24y—75=0.

答案:%=-3或7x+24y—75=0

9.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(—l,3),次一3,0),C(l,2),则

△ABC的面积为.

-y—0x+3

解析：8C所在直线的方程为丁二=T—T,即x-2y+3=0.

z-U1十J

由两点间的距离公式得

IBQ^y/(-3-1)2+(0-2)2=2小，点A到直线BC的距离d=

|-1-2X3+3|4V5114J5

-r,—=平，所以5=不\BC\-d=^X2小rX比二=4,即△ABC的

yl1+(—2)]乙乙J

面积为4.

答案：4

10.已知直线/i：2x+y+2=0；b：〃优+4y+〃=0.

(1)若】J_/2,求机的值；

(2)若且它们间的距离为小，求〃?，〃的值.

vn

解：设直线/l,/2的斜率分别为Z1,攵2,则上1=—2,%2=一

m

⑴若/1_L，2,则匕攵2=5=—1,所以机=—2.

m

⑵若人〃/2,则一2=—a,所以加=8.

17

所以直线/2的方程可以化简为2x+y+i=0,

所以直线/i与h间的距离为

所以〃=28或〃=—12.

[B能力提升]

11.已知点A（—l,2）,B（l,4）,若直线/过原点，且A,8两点到直线/

的距离相等，则直线/的方程为（）

A.y=x或x=0B.y=x或y=0

C.y=x或y=_4xD.y=x或尸;x

解析：选A.当直线/的斜率不存在时，直线的方程为x=0,经验证满足条

\~k—2\

件.当直线I的斜率存在时，设其方程为y=kx,即kx—y^Q,则

W+庐

UI

I/,解得％=1,则直线/的方程为〉=x.故选A.

yi+z

12.（多选）（2022•济宁实验中学高二月考）已知直线/|：2x+3y-l=o和Z2：

4x+6y-9=0,若直线I到直线人的距离与到直线12的距离之比为1:2,则直线

I的方程为（）

A.2x+3y-8=0B.4无+6y+5=0

C.6x+9y—10=0D.12x4-18^-13=0

解析：选BD.设直线/:4x+6y+〃?=0,加工一2且加工—9,直线/到直线

|flt+2|

/l和到直线42的距离分别为4,Cl2,则dl=

^16+36

12|m+2|\m+9\13

5，所以-/.：金=1，即2依+2|=|加+9]，解得〃2=5或加=一胃,

乙\\16+36A/16+36o

所以直线I的方程为4光+6y+5=0或12x+18>—13=0.故选BD.

13.已知直线/过点&-1,2).若直线/与直线4x—3y+b=0平行，且两条

平行线间的距离为2,则直线/的方程为,实数。的值为.

解析：因为直线/与直线4x—3y+匕=0平行，

所以可设直线/的方程为4x—3y+n=0.

因为直线/过点A(—1,2),所以一4-6+“=0,解得〃=10.

所以直线/的方程为4x-3y+10=0.

因为直线I与直线4x—3y+Z?=0间的距离为2,

所以一一=2，解得匕=0或20.

答案：4x-3>+10=00或20

14.已知△ABC三边所在直线的方程分别为IAB：3x—2y+6=0,ZAC：2X+

3y—22=0,IBC：3x+4y—"2=0(〃zGR,〃2W3O).

⑴判断△ABC的形状；

(2)当BC边上的高为1时，求实数机的值.

32

解：(1)直线A3的斜率为ZAB=^，直线AC的斜率为攵AC=—g，所以ZAB・ZAC

=一1,所以直线AB与AC互相垂直，因此△ABC为直角三角形.

]3x—2y+6=0,2,

⑵由「即A点