甘肃省平凉市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

甘肃省平凉市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

姓名:班级:成绩:

亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

1.（1分）足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环（每两个队之间都踢一场）比赛，每组的前两

名可以出线.其积分方法为：每胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.当两个组的积分相同时，以净胜

球数（总进球数减去总失球数的差）的多少来定名次，净胜球多的队排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那

么这个队在小组赛中的积分是分.

2.（5分）三个连续偶数的和是54,这三个偶数分别是多少？

3.（5分）小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。太阳帽有三种颜色：红、

黄、蓝。他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。

他们蚊的分我救的不

别是什么族是红色的

色的帽子？

4.（5分）老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人

给了一本，结果全发错了.现在知道：

⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；

⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；

⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；

⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；

⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的.另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）.

问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？

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5.（10分）在一次数学竞赛中，A,B,C,D,E五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次

的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测：A说：“第二名是D,第三名是B”5说：“第二名是C,

第四名是E.”C说：“第一名是E,第五名是X.”D说：“第三名是C,第四名是A."E说：

“第二名是B,第五名是D.”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？

6.（5分）在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面

积不超过1平方米.

7.（5分）（2013•广州）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天色

很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带

去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：

哥哥一一1分钟；

爸爸----2分钟；

妈妈----5分钟；

爷爷----10分钟。

若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？

请写出你设计的方案：

第一步，与过桥，回来；

第二步，与过桥，回来；

第三步，与过桥，共耗时分钟

8.（10分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮

球和大皮球各需要多少元？

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9.（5分）A>B、C>D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘.到现在为止，一■!已

经赛4盘，8赛3盘，。赛2盘,。赛1盘.问：此时E同学赛了几盘？

10.（2分）用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同.

11.（5分）甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员.已

知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人.求这三人各自的籍贯和

职业.

12.（5分）甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长.一次

数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好.⑵甲和中队长的成绩不相同.⑶中队长比乙的成绩差.请

你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？

13.（5分）从A,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足

下列要求：

（1）A,B两种产品中至少选一■种；

（2）A,D两种产品不能同时入选；

（3）A,E,F三种产品中要选两种；

（4）B,C两种产品都入选或都不能入选；

（5）C,D两种产品中选一种；

（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。

问：哪几种产品被选中参展？

14.（5分）有三个小朋友在猜拳，，一个出剪刀，一个出石头，一个出布，请问三个人共有几根指头？

15.（5分）三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄.刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，

比李丽大1岁.”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁.”李丽说：“我比刘强年岁小,

刘强13岁，陈红比刘强大3岁.”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的.请你帮助班主任分析

出他们三人各是多少岁？

16.（5分）排课程表。

周四上午笑笑所在班级的四节课有语文、数学、英语、体育，语文老师9：00要参加会议，数学老师第三节要

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听课，体育老师前三节没有课。请排出周四上午笑笑所在班级的课程表。（画“J”）

语文数学英语体育

8：10-8：50弟一下

9：00-9：40弟一下

10：00-10：40弟二下

10：50-11：30第四节

17.（5分）甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙

第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”丙说：“丁第2名，我第3名。”成绩揭晓后，

发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

18.（5分）红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有」、B>

C、D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包.

X猜：第二包是紫的，第三包是黄的；B猜：第二包是蓝的，第四包是红的；

。猜：第一包是红的，第五包是白的；。猜：第三包是蓝的，第四包是白的；

E猜：第二包是黄的，第五包是紫的.

猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对.请你判断他们各猜对了其中的哪

一包？

19.（5分）老师在3个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么

颜色的球.

小明说：“1号箱中放的是黄色的,号箱中放的是黑色的,3号箱中放的是红色的.”

小亮说：“1号箱中放的是橙色的,号箱中放的是黑色的,3号箱中放的是绿色的."

小强说：“1号箱中放的是紫色的,2号箱中放的是黄色的,3号箱中放的是蓝色的.”

小佳说：“1号箱中放的是橙色的,2号箱中放的是绿色的,3号箱中放的是紫色的.”

老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个.”

那么3号箱子中放的是..色的球.

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20.（5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局.每局胜者得2分，平者各得1分，负者

得0分.已知甲、乙、丙三名同学得分分别为3分、4分、4分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有

平局，那么丁同学得分是多少？

二、染色与赋值问题（共13题；共70分）

21.（5分）烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟。5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什

么？

22.（5分）甲、乙、丙三人进行田径比赛，比赛项目有60米、100米、200米、跳高、跳远五项，已知每项

第一名、第二名、第三名各得5分、2分、1分。乙200米得第一名。比赛结束后，每人的总得分是：甲得22分，

乙、丙各得9分，想一想，这三人在五项比赛中各得到多少分？

23.（5分）给三个非常聪明的人各戴了一顶帽子.并且告诉他们，他们的帽子的颜色可能是红色的，也可能

是蓝色的，没有其他颜色.且三人中至少有一个人的帽子是红色的.三人互相看了看，没有人能很快地说出自己戴

的是什么颜色的帽子.三人又冥思苦想了一阵，几乎同时都猜到了自己戴了什么颜色的帽子.你知道他们三人各戴

了什么颜色的帽子吗？请说明理由.

24.（5分）在下表中填入三人的名字。

小明收集的邮票比小刚多一些，小刚收集的邮票比小兰少得多。

635枚595枚1003枚

25.（5分）从一写到一万，你会用多少时间？

26.（5分）在下面的方格中，每行、每列都有1〜4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。B、

C应该是几？

C4

B31

4

2A

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27.（5分）1根2米长的绳子将1只小狗拴在树干上，小狗虽贪婪地看着地上离它2.1米远的1根骨头，却

够不着，请问，小狗该用什么方法来抓骨头呢？

28.（5分）甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎.有一次谈到他们的职业.甲说：

“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师.”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠.”

丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察.”你知道谁总说谎吗？

29.（10分）从1〜10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

30.（5分）（2011•广州模拟）某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站

上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个

座位？

31.（5分）5只鸡，5天生了5个蛋。100天内要100个蛋，需要多少只鸡？

32.（5分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突

然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把同学们写好的纸条收

走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。”这时下面有个特别聪明的同学，

立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都

很佩服这个同学。那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？

33.（5分）4名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名.”乙说：“我不可能是第一名，

也不可能是最后一名.”丙说：“我绝对不会得最后一名.”丁说：“我肯定得第一名.”赛后，发现他们4人

的预测中只有一人是错误的.请问谁的预测是错误的？

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参考答案

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

1-K【第1空】2

解:54+3=1818-2=16

18+2=20

2-1、5：这三个儡数分S1I是16,1*020.

根壁分析可得：小明籁的是黄色的，小华戢的是红色的，小强戴的是蓝色的，涂色如下：

他们最的分我戢的不

是红色的我戴的不是

别是什么颜T?红色的,也不

色的帽子？g黄色的）

涂一涂°

小明小华小强

3T、

解：根据“全发错了”及条件（1）~（5）,可以得到下表：

小本小贝的本小丸子的本小海气的本小马虎

小胖XXX

小贝XXX

小丸子XXX

小淘气XXX

小马虎XXX

由表1看出，小海气的本被小丸子拿了.此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法.

由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是，J0虎的.先假设小胖拿了小丸子的本.于是得到下表.

表中小贝勒0虎的本，虎拿小贝的本.两人相互拿错，不合题意.

小胖的本小贝的本小丸子的本小沏气的本小马虎

小胖XXJXX

小贝XXXX7

小丸子XXXJX

小渴气/XXXX

小马虎X4XXX

再假设小胖拿40虎的本.于是又可得表，经检独，下表符合超息.

小胖的本小贝的本小丸子的本小洵气的本小马虎

小林XXXXJ

小贝XXXX

小丸子XXX4X

小淘气XJXXX

小马虎XX4XX

41、所以小丸子拿了小mas*：，小丸子的本械小马虎拿去了.

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5-1

解：假设a猫的第f是真的.月吆B猜的第二句是真的,即第四名是E，那么c猜的"E是第一名"是错的，a是第五

名，那么£>猜的c是第三名是对的，月％B就是第一名，从而E说的全是错的，所以假设不成立.所以A猜的第二句是真

的，即3是第三名,月弦D猜的第一句是密的，从而j是笫四名,所以c猜的第二句是错的，E是第一名，从而5猜的C

是第二名是对的.£猜的第五名是£>正确，所以，第一名是E.第二名是C.第三名是B，第四名是A，第五名是D.

6-1、

解：将大正方形分成9个边长为保的小正方形，则沁小正方形为.抽底，有：28-9=3-1,则必有一个小正方形里

（上）至少有3+1=4（个）点，者这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点,另峪以这4个点为顶点的四边形的面积为1平

方米：若有一个点落在正方形的内部或边上,则面积将小于1平方米.综上所述,不论怎么放,必定有四个点，以它们为顶点的

四边形的面积不超过1平方米.

【笫1空】哥哥

【第2空】芭芭

【第3空】€9

【第4空】妈妈

【第5空】苍苍

【第6空】爸爸

【第7空】哥哥

【第8空】爸爸

7-1、【第9编17

解：第一层&个小个大皮球,第二S4个小皮球3个中皮球,第三层I个大皮球扑J、"1个中皮球.

对比第一层和第三层可得2个小皮球=1个中皮球.

20x2=40（元）

对比笫一层和第二层3个中皮球=2个小皮球+1个大皮球

40、3=2><20+1个;*^«,^S»=80（元）

8-1、若：中安球40元，大皮球80元.

9-1、

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解：画5个点表示五位同学，两点之间迩一条线段表示赛一场.

根密题京，A已经赛4盘，说明＜与B、C'D-E各套一盘，X应与B-C-D-E点相连./）赛1盘，是与一

点相连的.5赛3盘，是与X、C、E点相连的.C赛2盘，是与.八B点相连的.从圉上E点的连线条数可知,£

同学春了2盘.

10-1、

解：五种颜色最多只能涂5个不同籁色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个

面涂成点种颜色,都会和前面育一个面酸色相同,这样就有两个面会横涂上相同的颜色.

11-1

解：田堡意可画出下面三个表：

辽宁n§山东工人演员包宇广西山东

甲X甲

乙X乙X工人

西丙X

表1表2表3

将表3补至为表4.由表4知，工A是辽宁人，而乙不是工人,所以乙不是辽宁人，由此可格表1补至为表5.

S广勘山东辽宁广西山东

敏邦X4X甲X4X

工人4XX乙XXq

缙艮

XX丙XX

所以,甲是广西人，职业是敦师；乙是山东人，职业是演员;丙是辽宁人，职业是工人.

方法二：将能判断的条件先列入图表中,广西人是教师,但是乙不是广西人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演

员.在对应的地方打上7,对应的行列均打-X-.但是辽宁人不是演员,所以乙不是辽宁人，乙就是山东人,所以甲是广

西人,职业是教师;乙是山东人，职业是演员;丙是辽宁人，职业是工人.

辽宁广西山东工人演员

XVX甲7XX

XXtXX/

XX丙XX

12-1

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解：根相条件（2胞3）.甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差,可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙

是中队长了（也可以列表确定中队长）.甲和乙两人谁是大队长昵？由（1师⑸，丙比大队长的成绩好,中队长比乙的成绩差,

可以推断出按成绩高低排列的话，乙的蝴比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成缴好.这样，乙、丙就都不是大

队长，耳陷i,大队长肯定是甲.

13-1、

解：用线设法.从条件（1）开始，有三种情况：

①©设选A不B选，田（2）知D不能入选，用由（5）知C入选，再由（4）推知C,B同时入选,与前面假设不选B矛盾.假设不

嫄设选B不选A，由（3）知选E,F,由（6）知D入选，再由（5）知（:不入选，再由（4）推知B,（:都不入选,与假设选B矛

盾.假设不成立.

①K设A,B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也不入选，再由（3）知F入选，由（4）知C入选.符合题意.因此,

A,B,C.F选中舂展.

14-1、癣：三个人丈有60根指头.

15-1、

解：先保设刘强说的第一句话"我12岁"为真,那么李丽说的第二句话“刘强13岁”就为隹,因此李丽的身外两句话就应诙是

真话，从“陈红比刘强大3岁”就推出陈红是15岁；又从.我比刘强年岁小”推出李SB小于12岁.可是这样一来，除红说的三

句话中，"李丽和我差3岁"和"李BB15岁-这两句话都不能成立，这与本费中的要求（”每人说的三句话中,都有F）是福

的”,即三句话中有两句话是真的）相矛者.因此，刘强说的"我12岁"这句话是假的.由于刘强说的第一句话是假的,所以

后两句话就是其的.因此，李丽说的第三句话~陈江比刘强大3岁”就是隹的，所以,李BB说的第二句话“刘强13岁”就是其

的.于是就可以推出：李丽12岁，陈红15岁，刘强13岁.

答:李丽12岁，陈红15岁,刘强13岁.

语文教学英语体育

8：10-8：50第一节V

9：00-9：40第一”

10：00-10：40第三节V

10：50-11：30第四节V

16-K

17-1

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解：我们以~他们每人只说对了一半”作为前提,进行逻辑推理.

假设中说的第一句话"丙第1名”是对的，第二句话-我第3名"是错的.由此推知乙说的.我第1名"是错的,1•丁第4

是对的；丙说的“丁第2名"是错的，"丙第3名”是对的•这与假设"丙第1名是对的“矛盾，所以假设不成立.

再假设甲的第二句话~我第3名"是对的，那么丙说的第二句~我第3名"是镒的.从而丙说的第一句话"丁第2名"是对

的；由此推出乙说的•1丁第4名”是错的，"我第1名”是对的•至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、

丙第4名.

18-1、

解：方法一：题目要求a、B、C、D、E五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只转对了一包每包只有一

人猜对，所以观崇五包珠子中第一包只有c猜，所以C猜对了第一包，又根踞每人只猜对了一种,所以C猜第五包是白的，

SStST：第五包只有c、E两人猜，所以E猜第五包是紫的，猜对了：目以E转第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只

有.小E两人猜，那么j猜第二包是票的,猜错了；第二包有A'B<E三人猜，其中.4，E都猜错了，所以B猜第二

包是蓝的,猜对了；月眩B猜第四包是红的，5SS7；所以D猜对的是第四包，是白的.D瘠第三包是瞌的,也S楠了；所

以j猜对的是第三包，是黄的；

总结以上推理判断，」猜对了第三包是黄的，B猜对了第二包是蓝的,c猜对了第一包是红的，D猜对了第四包是白的，

E猜对了第五包是紫的.

方法二：分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上第四包不为红色，第四包为

白色，白色不能为第五包，第五笆就为紫色,同理可知其余各包颜色.

红色黄色蓝色白色紫色

—XXXX

XXXX

—XWXXX

四XXX4X

五XXXX4

19-1、【第1空】盟

20-1、

解：个同学共赛4>3+2=6（局），结合条件"丙同学无平局,甲同学有胜局,乙同学有平局"，分装三名同学分数配比：

甲：3=1x2+!（一胜T-ft）；乙：4=1X2+2X1（一胜二平）或（二ttfi）；丙：4=2x2（二）；观

察可知有四胜二负，所以丁同学负了二场，又因为有三平，所以丁同孚平了一场.则丁同学得：1x1=1（分）

二、染色与赋值问题（共13题；共70分）

21-K解：用里氏抽耳太多了空泣了.

22-1、

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6冰10冰200米跳跳总

高远分

甲5525522

乙115119

丙221229

S:甲60*5分,100*5分,20睐5分,百2分,;乙60*、100*.朝、分，200*5分；丙60米、

100米、跳高、跳远都是2分，200米1分.

解：都是红色（1）不可能三人戴的都是蓝幅子.（2）不可能两蓝,一红.如果三人所载帽子是两蓝,一红，则耽I帽子的人看到

的是两顶蓝帽子，立刻就能判断出自己籁的是红帽子.现在没有人能立刻判断出自己藏的是什么颜色的帽子，所以不可能是两

延一红.⑶不可能是一盟、两红.如果是瘟错子，两人戴红帽子，月以喝I帽子的人很快就差猜出自己触的是红帽子.

因为血帽子的人看到的是一蓝一江，他会这科想：如果我戴的是蓝帽子，另一个藏红帽子的人应该立刻判断出目己藏的是红

帽子,说明我戴的一定是红帽子.这样,在一蓝两红的情况下,戴红帽子的人影比较容易地猜出自己籁的是红帽子.（4）现在三

人经过冥思苦想才猜到自己戴的是什么颜色的帽子，说明以上三种情况均不可鸵.因此,三人戴的帽子只能都是红色•

仅月小刚

635枚595枚1003枚

24-1、

25-1、解:最多5秒，10000.

26-1.答：B是4,C是2

27T、解：小狗可以转过身用后睡来抓骨头.

解：甲.如果甲从不说谎,那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出

矛盾.

第12页共13页

解：根据第大小，将和大于10的取法分为演：

第一个叙第二个强育儿科

«1臭1101逸绎合丑的分矣方式是；、

第2吴210s92

用加*原现的关健.好的分

«3具310.9、S3