最优化应用题的函数模型

最优化应用题的函数模型函数应用题涉及的题型比拟多，下面谈谈最优化应用题的几种函数模型：一、一次函数模型例1：假设你方案买一部，而你的朋友给你推荐消费有三种可供选择，如下表：类别月租费每分钟通话费联通卡12.00元0.36元神州行无0.60元都市卡24.00元0.20元从经济角度考虑，哪一种卡更为适宜？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．xyxyo24125075Y=0.6xY=12+0.36xY=24+0.2x连通卡：〔神州卡：都市卡：由解得：由解得：由解得：由图可知：①当时，选用神州行卡；②当时，选用神州行卡或连通卡更为经济适宜；③当时，选用连通卡更为经济适宜；④当时，选用都市卡或连通卡；⑤当时选用都市卡更为经济适宜．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，假设每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；假设每团人数多于30人，那么给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．〔1〕写出飞机票的价格关于人数的函数；〔2〕每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：〔1〕设旅行团人数为人，由题得飞机票价格为元，那么即〔2〕设旅行社获利元那么即故当时，旅行设可获得最大利润．评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比拟多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植本钱与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．〔I〕写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援种植本钱与时间的函数关系式Q=g(t)；

〔II〕认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

〔注：市场售价和种植本钱的单位：元/10，时间单位：天〕分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：〔1〕由图可得市场售价与时间的函数关系为：f〔t〕＝由图2可得种植本钱与时间的函数关系为：g〔t〕＝〔t－150〕2＋100，0≤t≤300．〔2〕设t时刻的纯收益为h〔t〕，那么由题意得h〔t〕＝f〔t〕－g〔t〕，即h〔t〕＝当0≤t≤200时，配方整理得h〔t〕＝－〔t－50〕2＋100，所以，当t＝50时，h〔t〕取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h〔t〕＝－〔t－350〕2＋100，所以，当t＝300时，h〔t〕取得区间〔200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h〔t〕在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求此题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比拟．四、函数模型这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v〔千米／时〕匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.汽车每小时的运输本钱〔单位:元〕由可变局部和固定局部组成：固定局部为64元；可变局部与速度v的平方成正比，比例系数为0.01.(1)求汽车每小时的运输本钱w(元)(2)把全程运输本钱y〔元〕表示为速度v〔千米／时〕的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大速度行驶？分析：此题可以先根据题意写出全程的运输本钱，观察函数式的特点可以知道结合根本不等式来求解．解：〔〔1〕分析可以得到；(2)全程运输本钱y〔元〕表示为速度v〔千米／时〕的函数关系式是：，其中函数的定义域是；(3)整理函数有,根据根本不等式，，当且仅当时，取等