2023~2024学年5-3-2 命题、定理、证明 教案1

5.3.2命题、定理、证明教案一、教学内容分析本节课主要学习命题的概念，命题的分类:真命题和假命题，定理和证明的概念.学生以往在数学学习中学过的结论都是命题，在这里学习命题的定义及命题的结构为学习推理证明奠定基础,分清命题的题设和结论是进行几何证明的起点，定理、证明都是几何学习中的基本概念，证明中的每一步推理都要有依据，不能想当然，这些根据可以是已知条件、也可以是学过的定义、基本事实、定理等.培养学生推理论证的能力，为以后的学习做铺垫.二、教学目标1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.三、教学重难点重点：理解命题，定理及证明的概念.难点：会判断一个命题的真假，举出反例.四、教学方法启发法、演示法、讨论法、练习法.五、教学过程（一）新课导入下列语句在表述形式上，有什么共同特点？（1）对顶角相等；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）同位角相等；（4）两点之间线段最短；（5）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.设计意图：通过提出问题，观察思考，教师引导讲解，让学生了解命题的概念，知道命题是对事物作出判断的陈述句.（二）新课讲授1.命题的定义与结构（1）命题的概念通过对以上问题回答，进行总结命题的概念.像这样判断一件事情的语句，叫做命题.注意：只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.如：画线段AB=CD.例1判断下列四个语句中，哪个是命题，哪个不是命题？并说明理由：（1）对顶角相等吗？（2）画一条线段AB=2cm;（3）两条直线平行，同位角相等；（4）相等的两个角，一定是对顶角.解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.设计意图：师生共同总结命题概念，并强调定义中需要注意的问题.通过题目的练习，让学生加深对命题定义的理解，让学生理解只要对事情作出判断，无论对错都是命题.（2）命题的构成合作交流：教师展示一组命题，学生观察思考，回答问题.观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.发现：都是“如果……那么……”的形式总结：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.1.“如果”后接的部分是题设,2.“那么”后接的部分是结论.例命题：两数相乘，同号得正.改写为：如果同号两数相乘，那么它们的积是正数.注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更清楚.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项退出的事项.例命题：两直线平行，同位角相等.两直线平行是题设（条件），同位角相等是结论.设计意图：学生通过观察思考，了解命题的构成，能归纳出命题是由两部分组成的，培养学生观察分析总结问题的能力.练一练把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.1.对顶角相等；2.内错角相等；3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；4.同平行于同一条直线的两直线平行；5.两边分别平行的两个角相等.解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2.如果两个角是内错角，那么这两个角相等；3.如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；4.如果两条直线都同平行于一条直线，那么这两直线平行；5.如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等.设计意图：将命题改写成“如果”，“那么”的形式是为准确找出命题的题设和结论，是为进一步证明奠定基础，所以这一环节很重要.2.真命题与假命题观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”发现：命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.总结定义：正确的命题，就是说，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题，错误的命题，就是说，题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题.练一练判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×表示.（1）同旁内角互补（×）（2）一个角的补角大于这个角（×）（3）相等的两个角是对顶角（×）（4）两点可以确定一条直线（√）（5）两点之间线段最短（√）（6）同角的余角相等（√）（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（√）设计意图：通过练习让学生理解只要是对事情做出判断的句子都是命题，这个判断可以是正确的，也可以说是错误的，所以命题分真命题和假命题，并能准确判断命题的真假.3.证明与举反例（1）公理的概念数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.直线公理：两点确定一条直线.线段公理：两点间线段最短.平行线公理：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.（2）定理的概念有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.学过的定理：1.补角的性质：同角或等角的补角相等.2.余角的性质：同角或等角的余角相等.3.对顶角的性质：对顶角相等.4.垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.（3）证明的概念在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.abc12例2已知：b∥c，abc12求证：a⊥c．证明：∵a⊥b（已知）∴∠1=90°（垂直的定义）又b∥c（已知）∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）∴a⊥c（垂直的定义）.设计意图：让学生准确理解公理、定理、证明的概念，引导学生用准确的几何语言表述出证明过程，体会这种经过推理论证判断命题正确的过程就是证明.））））12AOCB思考：如何判定一个命题是假命题呢？例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.确定一个命题是假命题的方法：只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.设计意图：让学生通过具体实例知道可以通过举反例的方式，来判定一个命题是假命题.（三）课堂练习1.下列语句中，不是命题的是(D)A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角不相等D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线2.下列命题中，是真命题的是(D)A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0D.若a·b＝0，则a＝0或b＝03.举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.MP4.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，MPAB求证：PG∥HQ.ABGH证明：∵AB∥CD(已知)，GHQDC∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．QDC又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，N∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，N∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．设计意图：紧扣本节知识点，帮助学生更好地掌握本节所学内容.（四）课堂小结学生自己总结反思，进行交流，让学生谈谈自己的收获.1.命题的定义判断一件事情的句子.2.命题的组成题设和结论.3命题的分类真命题和假命题，真命题有公理（不需证明）和定理（由推理证实）；假命题需要举一个反例说明.设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的重难点.（五）作业布置完成配套作业六、板书设计5.3.2命题、定理、证明1.命题定义、构成和分类判断一件事情