基本初等函数的导数（原卷版）

第五章《一元函数的导数及其应用》基本初等函数的导数[核心素养·学习目标]课程标准课标解读1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.课前预习课前预习1.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)知识讲解知识讲解导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特别地(lnx)′＝eq\f(1,x)【大招总结】大招1初等函数求导【方法总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.（3）要特别注意“1x与Inx”，“ax’与logax”，“sinx与cosx”的导数区别大招2求切线方程【方法总结】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解。大招3在一点的切线方程【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤大招4过一点的切线方程【方法总结】过点“P”处的切线：(1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．(2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤①设切点为Q(x0，y0)；②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．典型例题典型例题【例1】函数在处的导数为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】，所求导数为.故选：C.【例2】给出下列结论：①；②；③若，则；④其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】由于，，，，即运算正确的为：②④,故选：C.【例3】已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，解得．故选：C．【例4】已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，令得，，故选D.【例5】求曲线在点处的切线方程.【答案】【详解】设，则，所以，所以切线方程为，即.【例6】已知在上连续可导，为其导函数，且，则在处的切线方程为________________【答案】【详解】由题意，，所以，因此，所以，易知切线为故答案为：【例7】已知是曲线上的两点．求过点的曲线的切线方程；【答案】（1）；【详解】（1）；过点，的切线斜率分别为，4；过点的切线方程为：；即；过点的切线方程为：；即；【例8】已知函数．过点作曲线的切线，求此切线的方程．【答案】或【详解】（2），设切点坐标为，则切线方程为，∵切线过点，∴，化简得，∴或．∴切线的方程：或．强化训练强化训练一、单选题1．下列求导运算正确的是（

）．A． B．（为常数）C． D．2．函数在处的导数等于A．1 B．2 C．3 D．43．已知，则等于A．0 B．C． D．4．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．5．已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为()A．B．或C．或D．以上均不对8．已知函数的导数，且的图像过点，当函数取得极大值5时，x的值应为（

）A．1 B．0 C．1 D．二、多选题9．下列选项正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则10．已知函数若，则实数的值可为（

）A．2 B． C． D．411．关于切线，下列结论正确的是（

）A．过点且与圆相切的直线方程为B．过点且与抛物线相切的直线方程为C．过点且与曲线相切的直线l的方程为D．曲线在点处的切线方程为12．定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（

）A． B． C． D．三、填空题13．已知函数，则=.14．已知是函数f（x）的导函数，，则=.15．已知是的导函数（），，则.16．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为．四、解答题17．已知函数（且）在处的导数为，求底数a的值．18．求下列函数的导数：(1)S(t)＝；(2)h(