近世代数基本概念

近世代数基本概念第一章基本概念

近世代数的主要内容是研究所谓代数系统,即带有运算的集合。近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近半个世纪以来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。为了完整起见,有些不得不有所重复。

第2页,共22页，2024年2月25日，星期天§1.集合§2.映射§3.代数运算§4.结合律§5.交换律§6.分配律§7.一一映射、变换§8.同态§9.同构、自同构§10.等价关系与集合的分类第一章基本概念第3页,共22页，2024年2月25日，星期天§1.集合集合:若干个固定事物的全体.它用大写字母

A,B,C,…来表示。元素:组成一个集合的事物.它用小写字母

a,b,c,…来表示。如A={a,b,c,…}集合与元素的关系：若a是A的一个元素，则说a属于A，或说Ａ包含a，记为;若a不属于A,或说A不包含a,记为.空集合:一个没有元素的集合.子集:若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是A的子集.记为;否则,B不是A的子集.第4页,共22页，2024年2月25日，星期天空集合是任何集合的子集.真子集:若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B,则说B是A的真子集;否则,B不是A的真子集.集合相等:若,则说a是A和B共同元:A和B的交集:§1.集合第5页,共22页，2024年2月25日，星期天并集集合的积例1,则

,则空集合.§1.集合第6页,共22页，2024年2月25日，星期天§2.映射映射:第7页,共22页，2024年2月25日，星期天例1

例2A={东,南},B={南},D={高,低}.

例3A=D=R.§2.映射第8页,共22页，2024年2月25日，星期天映射定义要注意以下几点:1.集合可以相同;

的次序不能掉换;映射一定要替每一个元规定一个象;一个元只能有惟一的象;所有的象都必须是D的元.相同映射:§2.映射第9页,共22页，2024年2月25日，星期天§3.代数运算一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算.代数运算是一种特殊的映射,用○表示.例1.A={所有整数},B={所有不等于整数},D={所有有理数}第10页,共22页，2024年2月25日，星期天注意:当A=B的时候,A×B=B×A,但不是在A和B都是有限集的时候,一个A×B到D的代数运算常用一个表来表示.例

1212aaba§3.代数运算第11页,共22页，2024年2月25日，星期天§4.结合律一个集合A的代数运算适合结合律,假如如果对于A的n(n≥2)个固定的元所有的都相等,我们把这个惟一的结果用第12页,共22页，2024年2月25日，星期天§5.交换律一个A×A到D的代数运算适合交换律,如果○如果集合A的代数运算○同时适合结合律与交换律,则在里,元的次序可以交换.第13页,共22页，2024年2月25日，星期天⊙是一个B×A到A的代数运算,⊕是一个A的代数运算.若⊙,⊕对于B的任何b,A的任何,都有则说⊙,⊕适合第一分配律.类似地可定义第二分配律.如果⊕适合结合律,⊙,⊕适合第一分配律,则§6.分配律第14页,共22页，2024年2月25日，星期天§7.一一映射、变换映射则一个A到

有

叫做一个单射,

如果一个既是满射又是单射的映射叫做一一映射.一个一一映射有一个也是一一映射的逆映射.一个A到A的映射叫做A的一个变换.相应地,有满射变换、单射变换和一一变换的概念。第15页,共22页，2024年2月25日，星期天如果对于代数运算有一个A到的满射的同态映射存在,则说这个映射是一个同态满射,并说,A与同态.§8.同态第16页,共22页，2024年2月25日，星期天如果对于代数,A和同态,则⑴若适合结合律,也适合结合律,⑵若适合交换律,也适合交换律设§8.同态第17页,共22页，2024年2月25日，星期天§9.同构、自同构若两个集合同构，抽象地来看，没有本质的区别，只是命名上的不同。若一集合有一个只与这个集合的代数运算有关的性质，则另一个集合有一个完全类似的性质。第18页,共22页，2024年2月25日，星期天对于○与○来说的一个A与A间的同构映射叫做一个对于○的A的自同构。例A={1，2，3}.代数运算○由下表给定:○123123

33333333则是一个对于○的A的自同构.§9.同构、自同构第19页,共22页，2024年2月25日，星期天§10.等价关系与集合的分类一个A×A到D={对,错}的映射R叫做A的元间的一个关系.若R(a,b)=对,则a与b符合关系R,记为aRb.若R(a,b)=错,则a与b不符合关系R.集合A的元间的一个关系R满足:Ⅰ.反射律:Ⅱ.对称律:Ⅲ.推移律:则称R是一个等价关系,记为～.若a～b,则说a与b等价.第20页,共22页，2024年2月25日，星期天若把一集合A分成若干个叫做类的子集,使得A的每一个元属于且只属于一个类,则这些类的全体叫做A的一个分类.集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系,反之也成立.一个集合的一个类中的任何一个元叫做这个类的一个代表.刚好由每一类的一个代表作成的集合叫做一个全体代表团.§10.等价关系与集合的分类第21页,共22页，2024年2月25日，星期天例A为整数