数学经典易错题会诊与高考试题预测14

高考数学经典易错题会诊(十四)

考点14

极限

哦学归纳法

啜列的极限

■函数的极限

嘀数的连续性

哪学归纳法在数列中的应用

啜列的极限

，函数的极限

崎数的连续性

经典易错题会诊

命题角度1

数学归纳法

1.(典型例题)已知a>0,数列出｝满足ai=a,an+i=a+L,n=l,2,….

an

(I)已知数列同｝极限存在且大于零，求A=lima”(将A用a表示)；

〃一>8

(H)设bn=an-A,n=l,2…，证明：bn+l=---换---;

A(bn+A)

(III)若|bn|W］，对n=l,2…都成立，求a的取值范围。

2”

［考场错解］(I)由liman,存在，且A=liman(A>0)，对aa+产a+-!-两边取极限得，A=a+：.

解得A="土，又A>0,；.A=£1£+!.

22

(II)由an+bn+A,an+i=a+—Wbn+i+A=a+—?—.

册%+A

...加产"4+'=」+'=--J

bn+AAbn+AA(bn+A)

即%+i=-,J".对n=l,2…都成立。

A(b〃+A)

(HI)\•对n=l,2,…|bn|W/,则取n=l时，|1区;，得|a-gm+J/+4区；

2

|—(7«+4-a)|<—.Ja?+4-a<lf解得a>—o

222

［专家把脉］第III问中以特值代替一般，而且不知｛6｝数列的增减性，更不能以g取代bn.

［对症下药］(I)(11)同上。

(HI)令|bi|Wg,得|a-；(〃++4)|<1,

••|—4a~+4-a区—.

22

+4-<1.解得o>—.

a2

现证明当〃拗寸，l”〃弓对叩1,2,…都成立。

⑴当n=l时结论成立(已验证)。

(ii)假设当n二k(kNl)时结论成立，即|加%；，那么叫+/=」外〔口“」

2IA(bk+A)|A\bk+A\2

—!—<1

故只须证明*以+AI2,即证人e1<+人］22对@》2成立

2

而当a22时，而当a22时.，+4-a<1,.\A>2.

22

・・|为+A|NA—|bj.2——A1,即A|bk+A|22.

故当a》,时’0+1区上点=六.

即n=k+1时结论成立。

根据(i)和(ii),可知结论对一切正整数都成立。

故Ibn|L对n=l,2,…都成立的a的取值范围为［］

2"2

2.(典型例题)已知数列｛&｝中,④=3,前n项和2满足条件S„=6-2a„4,.计算出、a3,a.,,然后猜

想a,的表达式。并证明你的结论。

［考场错解］当n>2时,a„=S„-S„-i=6-2a„»i-(6-2a„)=2a„-2a„ti,即ax'an.因为ai=3,所以

2

32-—31=—,33——82——74=—33-—.由止匕猜想Sn=j"("€N)

2224282"T

①当n=l时，21=吃=3,结论成立；

2|_|

②假设当n=k(k2l)时结论成立，即ak=£q■成立，则当n=k+l时，因为ak+i=；ak,所以

又ai=3,所以｛an｝是首项为3公比为;的等比数列。由此得ak+1=3<；产三,

这表明，当n=k+l时结论也成立。

由①、②可知，猜想对任意n£N*都成立。

［专家把脉］①应由ai=Si=6-2a2,求得a?：,再由an+i」an(n22)求得33二314二9,进而由此猜

2248

想an^^-tnGE*).

②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设纵=白，而是根据等比列的通项公式求得

ak+产W2HT•这种证明不属于数学归纳法。

［对症下药］由ai=Si=6-2a2,ai=3,Wa2=-1.当n22时，an=Sn-Sn-1=6-2^-(6-2an)=2an-2an+i,即

a*：an.将a2=|■代入得用二ga?二■|周二;a3=(,由此猜想an二三尸〃wN*).下面用数学归纳法

证明猜想成立。

①当n==l时，3尸一了=3,猜想成立；

②假设当n二k(kel)时结论成立，即ak=Sy成立，则当n=k+l时，因为ak+i=；ak，所以

何+k；・曰言=1~=2«：-i这表明，当n=k+l时结论也成立。

由①，②可知，猜想对n£N*都成立。

3.(典型例题)已知不等式'+』+…+!>_L［|og2nL其中n为大于2的整数，［logzn］表示不超

23n2

过log2n的最大整数。设数列｛an｝的各项为正，且满足ai=b(b>0),a”W卫i,n=2,3,4,….

n+an-i

(I)证明：an^—-------n=2,3,4,5,…；

2+讥log2川

(II)猜测数列EJ是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(III)试确定一个正整数N,使得当n>N时，对任意b>0,都有a*，

［考场错解］(1)利用数学归纳法证明不等式：.

1+/(〃)•〃

M3“2_3工3

1)当a=3时,—-——知不等式成立。

・3+“22+]-2+q+]l+/(3)・b

“22q

b

2)假设n=k(kW3)时,akW，贝lja<鬲瞿T芋，』而即『k+l时，

l+f(k)bM

不等式成立。

(II)有极限，且〃W〃an=0.

8

(Ill)V——-——<--—，令一--<

2+Z?[log2n\[log2/i][log2w]5

解得n>10=1024.取N=1024,有an<1.

［专家把脉］(1)在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式

放缩与转化，不能去拼凑。

［对症下药］(I)证法1：•..当n下2时，(KrW々，；.

n+an-1

2_2〃+即"+±即_;——LNL于是有

annan-1an-1nana„-1n

—-->1—--si——所有不等式两边相加可得-L--L2_L+」+...+L

〃22a3a23anan-1nanq23n

由已知不等式知，当n23时有，-->-［log2»j.

«„«i2

・・c1/L・11Lii2+/?[log2«]

.,.an<——-—

2+Z?[log2n]

证法2：设f(n)=g+；+…+J首先利用数学归纳法证不等式,/?;尢？11=3,4,5「“.

(i)当n=3时，由例v.=1—vQ—.知不等式成立。

3+02A+il+fL+i1+/(3)Z»

a22al

(ii)假设当n=k(k23)时，不等式成立，即

l+f(k)b

则ak+iW

(k+1)以_k+\<k4-1_(k+\)b_b_b

(k+D+秋=A1l+1-g7?=(k+l)+(k+l)f(k)b+b=i+[f(k)+J_]b=l+f(k+l)b

cikbk+\

即当n=k+l时，不等式也成立。

由(i)、(ii)知，a0W—-—n=3,4,5,….

1+f(n)b

又由已知不等式得

b2b

%<—j-------,n=3,4,5,

2+4〃og2〃l

l+-(log2n\b

(H)有极限，且lima”=0,

/I—>00

2b2

(III)V---------------<----------，令贝!l有Iog2n》[log2n]〉10,nn>2‘°=1024,故取

2+Z?[log2n][log2n][log2n]5

N=1024,可使当n>N时，都有a„<l

专家会诊

1.一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除

性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。

2.运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的

证明。

考场思维训练

1用数学归纳法证明"(n+1)(n+2)…(n+n)=2nT•3•5…(2nT)(nGN+)”时，从n=k到

n=k+l,给等式的左边需要增乘的代数式是()

A.2k+\

火+1

C(2«+IX21+2)

■mk+\

答案：c解析：略

2曲线C：xy=l(x〉0)与直线l:y=x相交于A1,作ABJ_1交x轴于氏，作13人〃1交曲线C于

犯…依此类推。

(1)求点二、Az、A3和氏、B2,B3的坐标;

答案：AK1,1)、A?(亚+1,石T)、As(石+五，石-五)、Bi(2,0)、B?(2收，0)、Bs

(273,0)

(2)猜想A”的坐标，并加以证明;

答案：A“(石+Jw-1),证明略.

(3)lim14网也!

"T8

答案：设A“(工,%),8“(%,O).

由题图：A,(1,1),Bl(2,0)•；ai=l,bi=2且

,1

%=—+an

%

%=-----bn—1(*.,A〃在直线y=x—2_]上)

an

啊*,分子分母乘以(G+〃)(〃+g))

lim出二+"=lim网电lim

|Bn—1|〃-2an〃->COJ〃-一1

M+gw+

ZK,lim/—广=lim-/-------=1

ms+〃T8[+1+/

Vn

3设数列al,a2,…，an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=l-ban——!—，其中b是与n

(\+b)n

无关的常数，且bWT。

(1)求a和a-的关系式；

-_

答案：an=SnSn-i=b(a„-an-i)—————+---!——r=-b(an-a,.x)+——--(n>2)

(1+炉(l+“i(1+6)”

b

解得an=—+(n>2)

｝+bn(1+8严।

(2)猜想a”的表达式(用n和b表示);

b

答案：Va=Si=l_bai-——=

\+b(l+b)2

上[+

■,•an

n

l+b1+b(\+b)(1”严

,b、2b2+b

=E"+而罚

2

_.b,2.bb,b+b

=(T7?)1币味+/丽r"苗M

,b、2b+b2+b3

=(而)"-3+石行，…

由此猜想用白

把包=」弓代入上式得

(1+fe)2

b-bn

司("1)

b+b2+---+hn(1-6)(1+姨

a=---------：-

n(1+8

严6s=D

(3)当O〈b<l时，求极限limS„.

n—x®

]b-产]

(3).S„=1—ban—

(1+b)"(l-b)(l+b)"+'

[34严…

答案：=1-

(1+b)"

■.■0<b<1时,limb"=0,lim(—)n=0,.-.limS„=1.

n—>oo;j—>oc]+/?>oo

命题角度2

数列的极限

1.(典型例题)已知数列｛x„｝满足X2=¥，X产;(xnT+xn-2),n=3,4,….若limx”.=2,则xl=

22〃T8

()

B.3C.4D.5

［考场错解］C.・..xl=4.，x2=2,x3J(xl+x2)=3,x4」(2+3)=3,x5」(3+9)=Uv・・^nfoo,

222224

由趋势可知％-2,故选C

［专家把脉］通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。

［对症下药］B由Xn=;(Xn-1+Xn一2)可得2X3=X2+XL2X4=X3+X2,2X5=X4+X3,…,2Xn=Xn一l+Xn-2,两边相加得：

2Xn+Xn-l=2X2+Xi,两边取极限，2Xi=4+2,

xi=3.

2.(05,浙江高考卷)皿1+2+3厂-+"=()

〃T81

A.2B.4C.-D.0

2

［考场错解］Dlim'+~¥———~lim+-+—)=lim-!y4--+lim-=0.

z

«-><»77T8/In"->8yr♦­«>n〃->8n

［专家把脉］无穷数列的和的极限不能求极限的和。

［对症下药］limg%=lim"1=1.

3.(典型例题)已知数列{logz(an-l)}(nWN*)为等差数列，且a1=3,a?=5,则

lim(——!——十——!——+…+--!----)=()

“TOOa2-aya3-a2an+x-an

A.2B.-C.1D.-

22

=-=—===

［考场错解］DV3i—3,&25.log2(al1)1.Iog2(d21)2.•••Ein-i2n.an2an+i.:.

「1

lim--------------

M—>OO_Cl・

达「1、

roclim/（-----1-----F---------+…+-----1----）=-----1----=—1

〃T8/一。］〃3一。2做一2

［专家把脉］无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限，不能求极限的和。

［对症下药］CVai=3,a2=5..\log2（ai-l）=l,log2（a2-l）=2.

••an-l~2n,an=2n+1.

111

22-212-222,,+|-2n

111;。-(;力

—+r+…+_------§-

2222〃!_1

2

I)

Alim(-

〃一>00〃2-a\。3-a2an+\-an

二lim-------2_二］

1-1

2

4(典型例题)计算：四QH+I*

［考场错解］lim=1

fo3〃+2〃+I〃->00

［专家把脉］0,而不是lo

3A+1_

［对症下药］lim二lim33=3

〃->83”+fo+z

33

5(典型例题)已知u产ajlb+an-2b2+…+abn-i+bn(nWN*,a>O,b>O).

(I)当a=b时,求数列｛uj的前项n项和Sn.)

(II)求liin»

n23n0

［考场错解］(I)当a+b时，rn=(n+l)a./.Sn=2a+3a+4a++na^(n+Oa.则

234nn+1

aSn=2a+3a+4a+••,+na+(n+1)a.两式相减：

n+I2

(n+l)a"+2-(rt+2)a-a+2a

(1-a)2

S+l)a"

(II)lim""-lim=lim如+D=a.

n—>30Un_\n—>ooa

［专家把脉］(I)问运用错位相减时忽视a=l的情况。

(II)a=b是(I)的条件，当a#b时，极限显然不一定是a.

［对症下药］(I)当a症时,Un=(n+l)an.这时数列｛uj的前n项和

Sn=2a+3a2+4a3+,•,+nan-1+(n+1)a".①

①式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+***+nan+(n+1)a'141②

①式减去②式，得(l—a)Sn=2a+a2+a3+,,,+a,-(n+1)a

若aWl,(l-a)sn="1")_(n+l)a"i+a

1-a

a(l-an)a-(an+\)an+］

Sn=^k一~

_(“+l)a"+2(“+2)"+la2+2a

(1-a)2

*>,

若a=l/Sn=2+3++n+(n+l)=

(H)由(I),当a二b时，Un=(n+l)a“则lim二lim@当1=|im"S2

当aWb时，u=an+an-1b+,••+abn1+bn=an[1+—+(—)2+•••+(—)n]

naaa

..n11।w+i

=」一(a"+l-Z/川)此时,4=-~

a-han-bn

或a>b>0,

a(-)n-h

若b>a>0,lim二lim-------=b.

n->8n8(马"_।

专家会诊

L充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限①limC=C.(C为常数).②lim1=0.

/：->00〃一〃

③limqn=0,|q|<1.

zi—>00

2.对于艺型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。

00

3.运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无

限个。

考场思维训练

1若q为二项式*的展开式的常数项，则lim-^^L=.

答案：1/7解析：可求得q=7,lim口L=

7-17

2已知点A(0,2)、B(0,--)、C(4+2,0)其中n为正整数，设S”为三角形ABC外接

nnn

圆的面积，则limSn=.

答案：4n解析；设外接圆的半径为则(工)2+(4+2-Rn)2=R„2,/.

nn

R0=T—+1+2所以limRn=2,所以limS„=4乃

2n+n〃m8/TOO

3已知等比数列｛〃｝的各项为不等于1的正数，数至!)｛%｝满足yn=21ogaXn(a>0,aWl),设

Y4=17,y7=ll.

(1)求数列｛外｝的前多少项最大，最大为多少？

答案：由已知得，数列为关数列，％=17~7=11,

公差d=LL§卫=-2,.*.yn=>4+（〃-4）d=25-2n,:.当1W〃W12时，/>0,当〃>13时，/<0,.\数列｛»?｝

的前12项最大，最大为144.

（2）设bn=2yn,sn=bl+b2+…+bn,求lim之■的值。

答案：Vbn=2yn,Sn=bl+b2+-bn,/.｛bn｝为等比数列.

且公比为q=L.・.］imS产旦=<=空

4w->oc1-q3

4

・「S〃1

•・lim.

82253

12n

4设an=l+q+q2+,・・+q'E（n£N+,q#土），An=Cnai+Cna+•••+Cnan

（1）用q和n表示A„;

答案：Vq^l,.♦.an=」l

i-q

\-q1-q1-q

~Kc'i++”,+仁；）-（£+q2C„+…+q"C；；）］

l--7

=7—1（^+C：+…+C：）-（C：+qC\+qY…+q"C；：）］

1-g

=」一［2"-。+扪（#1）

1-4

⑵当・3<q<l时，求lim劣■的值;

2“

答案：条匕-等人

*1*A〃1

.・hm—=-----

工―oo2n1-q

命题角度3

函数的极限

b

1.(典型例题)若lim(土-占…,则常数a,b的值为)

Xfl

A.a=-2,b=4B.a=2,b=-4

C.a=-l,b=-4D.a=2,b=4

a(\+x)-bax+a-b

［考场错解］AVlimhm----1-.-故---能----约去(1-x),Aa=-2,b=4.

11(l+x)(l-x)

［专家把脉］(ax+a-b)中有在式(1-x)的求解中，注意a、b的符号。

a(\+x)-h_,.ax+a-b

［对症下药］CVlim=lim----------------=1t.

A-*lA--»l(1+X)(1-X)

故ax+a-b中必有因式(1-x),且极限为lo故a=-2,b=-4.

2.(典型例题)若lim△口1,贝Ilim—~—=()

A—>1X-1A/(2-2x)

A.-1B.1

C.D.

22

x-11

［考场错解］Dlim——=1,贝！Jlim-----=lim/[2(x-l)]=2

A-->1X-\X-»lf(2-2x)ATI

［考场把脉］错误理解极限存在的条件。函数f(x)中必有因式(X-l)o

［对症下药］C：lim以5=1,故f(x-D=x-l.

x->\X-1

；.f(x)=x.lim上-=」

x—>12-2x2

2

3.(典型例题)lim()()

Xflx~—3x+2/—4x+3

AB.}_cD.

-42-46

1-x

［考场错解］B原式二lim--------------------二lim2

A->I(x-l)(x-2)(x-3).v->i(x-2)(x-3)2

［专家把脉］在运算中注意符号的变化。

一=1而1-x1

[对症下药]Alim土一匕处二"lim------=——

(x-l)(x-2Xx-3)x->l(x-l)(x-2)(x-3)A->1(x-2)(x-3)2

4.(典型例题)，鸣岩)

AB.0C.D

-46-1

［考场错解］B当x-3x+3=。,故的岩二。。

［专家把脉］求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。

［对诊下药］Alim-----=——

A,—>—3x-36

专家会诊

1.求函数的极限时，如果X-XO即X。是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(xo)

的值。就是函数的极限值。

2.当f(x)在X。处不连续时，即x=xo代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意

义时再求f(xo)的值，即为极限值。

3.已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。

考场思维训练

1设f(x)在Xo处可导，f(Xo)=O则limnf设0」)=

n

答案：-fz(Xo)解析：limnf(XQ-—)

“t—n

/(与一沁)

=-lim-----%----------=-f(x).

X—>400IQ

2lim---—=()

E2X2-X-］

A.-B.-C.0D.2

23

答案：B.解析：略

3已知limf+岂'+2=%且函数y=alr?x+2+c在［1,e］上存在反函数，贝()

x->2X-2X

A.bG(-oo,0)

B.bG(2e,+°°)

C.be(-oo,o)U(2e,+8)

D.bG(O,2e)

答案：c.解析：略

4设f(x)是X的三次多项式，已知12上曳=lim上曳=1,试求lim工”的值。(a为非零

Xf2ax-2aXf4aX—4。x->3aX-3a

常数).

答案：解：由于lim上曳=1,可知f(2a)=0①

x->2ax-2a

同理f(4a)=0②

①②可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)有因式，

由于

f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里A、C均为选定的常数,

由lim-^-=1,即lim4X-2")(X-4")(X-C)=limA(x-4a)(x-C)=1,得(2a-4a)(2a-C)=1,即

x—>2aX—2ax—>2aX—2ax—>2a

4a2A-2aCA=-l③

同理，由于lim上至=1,得A(4“-2a)(4“-C)=L

XT4ax-4a

即8a2A-2Aca=l(4)

由③④得C=3a,A=JY，因而/(x)=—r(x-2a)(x-4a)(x-3。),

...f(x)..\..1/、1

・・lim-------=lim——-(x-2a)(wx-4a)x=——-•a*{-a)=——

3ax-3ax->3a2a2/2

命题角度4

函数的连续性

1.(典型例题)极限lim£々)存在是函数£6)在点杆右处连续的()

0

A.充分而不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

［考场错解］Climf(x)存在0f(x)在点x=xo处连续。

［专家把脉］limf(x)Wf(Xo)时，则f(X)在点X=Xo处不连续。

［对症下药］BVlim£&)不一定等于函数值£«。)，而f(x)在点x=x。处连续。则有

limf(x)=f(Xo)

X—O

2.(典型例题)已知函数f(x)=lim—±,试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，

〃T84—xn

求出其不连续点。

［考场错解］V4-nx^O,.,.xn#4,xW-2....f(x)的定义域为(-°°,-2)U(-2,+°°),,

当x=0时,f(x)=O,f(O)=O.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。

［专家把脉］错把函数f(x)=hm—二二当作函数f(x)=一《一.

n"4-xn4-xn

［对症下药］(1)当|x|<l时，f(x)=lim—匕一=0;

“fr4-xn

(2)当x=T时,f(x)=lim——不存在；

n—>oo4—xn

(3)当x>l时，f(x)=lim——=-.

n—>oc4—Xn3

(4)当x=l时f(x)=lim----=-lo

〃T84—xn

0

，/3)=<X=1

3

-1Xv-1或x>1

，f(x)的定义域为(-8,-1)U(-1,+8)。

而在定域内，x=l时。

limf(x)=0.limf(x)=_1.limf(x)不存在。

X-»l+11,

故f(x)在x=l处不连续。，f(x)在定义域内不连续。

专家会诊

1.在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即limf(x)=f(x。).前提是f(x)在X。

处的极限要存在.

2.在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往

只须考虑定义域内的不连续部分。

考场思维训练

1f(x)在x=l处连续，且lim&=2,则f(l)等于()

X->1X-1

A.-1B.0C.1D.2

答案：B.解析：略

)..—ln(2—x)_

2hm----------------------.

4-14arctanx

答案：-解析：利用函数的连续性，即limf(x)=/(3),

71X<-XQ

22

|.mx-sin(2-x)=l-sin(2-l)]_

xfxl4arctanI4arctan17t

X0<x<l

3设f(x)=，x=l则f(x)的连续区间为()

2

11<x<2

A.(0,2)B.(0,1)

C.(0,1)U(1,2)D.(1,2)

答案：C.解析：limf(x)=liml=1

XT1+XT1+

limf(x)=lim=1,

X->1-X->1-

lim/(x)=l*/(1)=

x->i2

即f(x)Dx=l点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续。

X(X<1)

4求函数f(x)=1的不连续点和连续区间

1og2(x--)(x>1)

答案：解：不连续点是X=l,连续区间是(-8,1)U(1+8).

探究开放题预测

预测角度1

数学归纳法在数列中的应用

1.已知数列｛an｝满足条件(n-1)a“+i=(n+l)(a“T)且a?=6,设b“=a“+n(nGN*),

(1)求｛bj的通项公式；

［解题思路］(1)运用归纳一猜想一证明。(2)裂项法先求数列的和，再求和的极限。

［解答)1.⑴当n=l时，代入己知式子中，得ai=l,当n=2时，得a3=6,同理可得a&=28,

再代入bn=an+n,得bi=2,b2=8,b3=18,...猜想bn=2M,用数学归纳法证明：1°当n=l时，

bi=ai+l=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2°假设n=k(k22)时命题成立，即bk=2k2,即

ak+k=2k2,ak=2k2-k,WJn=k+l时,

bi=ak+l+k+l=—(a-1)+k+l=—(2k2-k-l)+k+l=(k+l)(2k+l)+(k+l)=(k+l)(2l<+2)=2(k+l)2

k+左一1kk-\

.•・当口=1<+1时，结论成立。

由1°、2°可知bn=2n2.

(2)原式二lim(—+—+•••+-7——)

〃-6162/r-2

lim-[---+----+-----------1=-limI-(1--1------1-----1-…-I----------)1=一

»oo21x32x4(〃-1)(〃+1)2“TOO232435n—\n+\4

lim(1H----------------------)=­.

n—>oo2nn+\8

2.设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)|证明：对所有正整数k有

m

£|f(2k)-f(2j)|WKf.

i=\

［解题思路］运用数学归纳法证明。

［解答］1°当k=l时，左=0=右，命题成立。2。假设k=n时，不等式成立，即

£If(2k)-f(2')|<如ill,则k=n+l时，力|f(2ktl)-f(21)|=

/=1/=!

£|f(2k")-f(21)+f(2n)-f(2i)I|f(2k")-f(2,)|+*T),=2|f(2k+2n)-f(21)I+

/=l/=1z=l

“5-1)n(n-\)_n(n+\)

222

故当k=n+l时，命题也成立。

由1。，2。可知原不等式成立。

预测角度2

数列的极限

1.已知(x4-‘)”的展开式的第五项等于“，则lim(x-l+x-2+***+x-n)等于

X2"TOO

A.0B.1C.2D.-1

［解题思路］利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。

115

41

［解答］BT5=C6(X-)4(x2)2=15x-l=y

/.—limim(-+—+-+•••+—)=—2—=1.

22482〃［1-1-

2

.•.选B

2.设xn=4(〃7T-向,求数列公｝的极限。

［解题思路］由于〃，而T）的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数

列。

［解答］因为Xn=〃（G-向=M（而1香斤+向=/厂用、除分子和分母,

v1+«+1

由1+i得知I1+—t1（/?fco）,再应用除法运算，即求得limxn=lim1】——=—.

V〃〃T8/I2

nhr1

n+\»/»+!

*3.己知a、b是不相等的正数，若lim=2,则b的取值范围是（）

nn

a+b

A.0<bW2B.0<b<2

C.be2D.b>2

［解题思路］B讨论a与b的大小后，分子、分母同除以『用或后再求由极限值求范围。

［解答］当a>b时,

A0<b<2.

(-)n_[

当a<b时,lim--------------=lim-------^-二一仅。不可能为2,故a〈b不成立。

an+bnn—c

bbb

Ab的范围是(0,2)。故选B

预测角度3

函数的极限

3

彳sin'x-2sinx+l2

1.lim----------------------lim(sinx+sinx-l)-1

」兀

n—>—sinx-1n—>—

22

2.求lim正逢

〃一>4x-4

［解题思路］将分子有理化，使分子分母极限存在。

［解答］1淅=^^lim叵次色&=lim—^4=1=1

x->4X—414(x-4)(Jx+2)14(x-4)3+2)Jx+24

预测角度4

函数的连续性

1.函数f(x)在Xo处有定义是lim(fx)存在的()

Xf0

A.充分不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解题思路］利用极限在某点存在性判断

［解答JD•.•函数在X。处有定义，但在此点处极限不一定存在，反

之也不一定，如图(1)(2)。

2.设f(x)=a取何值时，函数f(x)是连续的？

［解题思路］利用连续的存在性的充要条件，即lim(x)=f(x),以及连续的定义。

jr»o0

［解答］Yx”连续,x>0连续，只须判断，当x=0时，函数也连续时，从而求a的值。

Of(x)在x=0处有定义，且limf(x)=-limf(x)=a.

X-0+2x->0-

；•只有当a='时。limf(x)才存在，且值为工。

22

又•.•f(O)=a.•.当a=；时。f(x)是连续函数。

专家会诊

1.深刻理解函数f(x)在X。处连续的概念，叩函数f(x)在X0处有定义。f(x)在X0处有极限。

limf(x)=f(xo).函数f(x)在Xo处连续反映在图像上是f(x)在Xo处是不间断的。

2.由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则lim

f(x)=f(xo),只要求出函数值f(xO)即可。

考点高分解题综合训练

1已知f(n)=(2n+7)•3n+9,存在自然数m,使得对任意nWN,都能使m整除f(n),则最大的m

的值为()

A.30B.26C.36D.6

答案：C.解析:Vf(1)=36,f(2)=108=3x36,f(3)=360=10x36.\f(l)f(2)、f⑶能被36

整除，猜想f(n)能被36整流器除。

证明:n=l、2时，由上得证，设n=k(kl22)时，f(k)=(2k+7)必+9能被36整除,则n=k+l

时，f(k+l)-f(k)=(2k+9)-3w-(2k+7)-3k

=(6k+27)-3k-(2k+7)-3=(4k+20)-3k=36(k+5)•3"(k22)=>/(4+1)能被36整除

不能被大于36的