流体力学课后习题解答2

参考答案

第二章

1.-6095.6pa

2.H=10cm,则作用在圆球上的总压力为0.069N

3.p=45.55KN0=75.5"

4.p,=?解p=0.6356yd29=51.87°

28

p=々/

Pxz〃=0.7327429=57.5"

o16

〃一工2

p=0.69871726=57.5°

o16

X=14=1.15加

7.=2.73m

5,33

8.P^-a-by,yD-..d

324

9.pr=68.25/CNPz=99.88KNp=120.97KNe=34.340

11.G=1875kg

15.〃=246.18AWyD=2.5m

16.p=76.38KN压力中心=3.11m

使闸门开启，必须TN118.77MV

17.左侧p=22.63KN压力中心力,=1.54加

右侧.〃=905.28N压力中心yD=0.308m

闸门在两力作用下绕。点开启，应满足：

22.63x(」——x—1.54)=0.905x(x——>^―+0.308)可解出x=0.746，〃

sin60°sin600

18.p=361.33A7V压力中心yo=2.02m

19.p=2221KN压力中心％=3.126/〃开启闸门必须TN31.41KN

第三章

10ydu1/22、

1.九=八=0九=5啜+豆）=5（7）

322,3

ax-xy=27ay=x>=9

2.u—ucos0—usin6———-(rx—y)

Kr0x+y

u=usin0+ucos0=-(ry4-x)

Yrex"+y7

2、COS〃八2、sinA

a=-(l+c2)-----%=—(1+c)-----

xaa

3.1)(3+4/)x=(1+2t)y+c

2），=。,过点（0,0）的流线y=3x

r=。,过点（0,1）的流线y=3x+l

rq过点（0,-1）的流线y=3x-l

3)x=t+t2y=3，+2产，为参数

4,.2x~2y=c

5.流线方程为：/+丁=/+〃2

.ykyk

ars\n-f==----z=tzrsin—7=---------

\la2+b2%yja2+b2%

2

222

6.ax=x+3xt=4m/5ax=2xt-y+3yt=6m/s

7.xy=l

2

8.流线x=y-^y迹线x=t——t3y=—t2

62

9.a=-88m/52a=-\0m/s2

xyaz=0

10.1)V_=-4z+/(x,y)+c

v

2应=00r=g/(x,y)coy

11.1)满足连续性方程2)满足连续性方程3)满足连续性方程

4）满足连续性方程5）满足连续性方程6）满足连续性方程

7）满足连续性方程8）满足连续性方程9）不满足连续性方程

10）不满足连续性方程

12.1)线变形ex=aey-aez--2a

剪切变形角速度八=0八=0九=0

体积膨胀率丝+"+强=0

dxdydz

2)cDx=cDy=co2=Q夕=；苏-az2

13.Q—

14.学+*+经=0满足连续性方程

dxdydz

2

15.V:=-2xz-2yz-z-z+f(x,y)

16.1）满足连续性方程，无旋2）满足连续性方程，无旋

3）不满足连续性方程4）满足连续性方程，无旋

17.1）满足连续性方程，有旋2）满足连续性方程，无旋

3）不满足连续性方程

3。1

18-%=5%—吨=一万

19.CD=—CD=—(

xX2Vy22

2121312

20.连续69.4=CO.>,=0,69_a=0(p=xy+-x--y--y

21.v=5m/s

(22

23.p=^-\n(x+y)

d(p_xe(p=y

v

dxx2+y2.dyx2+y2

第四章习题

纭立2gh

Io

7水

22

2.列1、2两断面的伯努利方程匕*Pl_眩*,2

2g/2g/

连续性方程匕片=岭片

Pl-〃2=（//一/）△〃

由上面3个式子联立求解可得Q=%A=彩4

3.丫=卜％.一，地）2g力

V7油

~（J\4一

-VT"

【4J

4.h=---------------

2gp,

5.取1一2两截面间流体的占用体积为控制体，对其列x方向的动量方程：

T22

（Pi-。2）兀R”~w-2兀R-L=/?jjAudA-pv■兀片

由连续性方程J：a1rax（"在2兀rdr=%R2V可得v=^unm

2

0片'=J）k（l一金）]”2sd，=2g2m―2会+，dr=^Ru2M

pt~p2="%+—*x

i1xZ]2lilaA

6.平板所受射流冲击力

222

p-pvb（｝sina=pv/?sin90=1000x20x0.05x1=20（KN）方向向右

7.由动量定律，由于喷射流体对船体产生了作用力产

F=pv2-d2=1000x202x-x0.052=785(N)方向沿着曲方向

44

二保持船力的大小为785N,方向与尚方向相反

8.取坐标在艇上，取艇内射流所占体积为控制体，x正方向向右

设艇对流体作用力为R则x方向的动量定律:

宠=%(为-丫入)=%[18-(9+6.5)]=1000X0.15X2.5=375(2V)

9.应移至第十章

列1、2两个断面的伯努利方程（粘性流体，在十章）

222

马+豆+丁马+木丁金大豆

匕=Q/4V2=Q/A2

PI=一（7」/水）h

联立上面的式子求解可得阻力系数7

10.⑴对无穷远处B点至必点沿流线的伯努利方程：

22

外।L=外।vA

r2gr2g

PB=/?„+/h=1.01xl05+5x9800=1.5xl05（p„）

vA=1.5以=20.5333m/svR-50km/h-13.889m/s

PA=3.0X1（）4（P“）

（2）关系式VA'=1.5U'B仍成立，即已知PA=2.33AN/加飞绝对压强），求以'

I9,2

同理正+殳=2_+乜

y2gy2g

,PB-PAi—L1.5x10s-2.33X103—~y,、

=J2g〜一一.---=J2g----------------------=16(/〃/s)

6Vy1.52-1V98001.15

11.⑴开启状态下选控制体取正方向，如图所示，

R为圆柱体对流体的作用力，Q为流量，贝！lx方向的动量方程:

y■—x1.5x1一7•x0.6xl+/?=pQ(-----)

220.61.5

匕=R=0Q2_O.945方向向右

P_-y\-y-TTR-=y.--0.92=2.54/方向向上

⑵关闭状态：曲面静水压力问题

A=yx：-x0.9x1=0.4057方向向右

B=/V=y•万R2=2.54y方向向上

二两状态垂直分力相等，两种情况下合力不经过圆心

第五章

1.1)CD=—

x2

z—x=c]

2）*一'+2=1平面的单位法线〃=（1,一叠,美），0=（；，；，'

6y-n=(-,—,

226

百

J=(DFO=——xlO6m2/.v

6

Z=0平面的单位法线〃=(0,0,1),69=(—,—,—)

222

o〃=(m)(0,0」)=0•5

222

Q=2J=2b=lxl()-6加2/s

°111

2.co=—a)=—a)——

vx2v-272

z=x+qz=y+c2

3.(不作要求)

2点对1点的诱导速度：%=0匕=’2

44不

1点对2点的诱导速度：w2=0

4TTXQ

r_r

涡对1,2的涡旋惯性中心：玉=」一X=0

「1+「2

涡对相互作用引起的自身运动是涡旋惯性中心的旋转运动，且旋转角速度：

X。-X1

直线涡空的运动轨道：（龙一%）2+丁=（%一%）2

2r22r、22/2r、2

（2）（2）

x0-x.1=------=^x0x--------^-x0+y=------=^x0

口+「2r,+r20-r,+r2

直线涡「2的运动轨道：（工一七）2+/=（/+内）2

2F,/2「2\22Z2r.2

%+X=二％（X---------Xo）+y=（------—x0）

11+12r.+r2rl+r2

4.co、.=砥=0co_=—

xy2k

运用stokes定理：「=2/=2。-4=2・，•乃・S2=也

kk

k

或%=匕sin8-VyconO--匕.=-VvconO+Vvsin。=。

在圆周上径向速度为常数，r=<f匕由=生三

J'k

5.由stokes定理：

a,2a,

2加［7=0=2/•乃（a；0-a；0）co=V/.n=2a）=~―

a；_9a\-a~

-vVVV

C=2办=2（2左上2k」~,2k4）DxO=0即涡线与速度矢量同向。

V.V.V.

7.（不作要求）即要求A、B两点的诱导速度。

(1)先考虑一个圆形线涡对圆心0点的诱导速度

任意一微元ds对圆心0点的诱导速度

dv=£吧夕空，速度垂直于r和ds所在的圆平面，即沿着Z轴正向。

47r广

而任意一微元ds对应的。=90",r=a,且方向相同，则

小口j“、金口、土七亚rsin90rrsin90_「

圆形线涡对圆心0点的诱导速度为v=----------dts=----------2万。=—

4/raJ'4/ra2a

(2)再考虑圆形线涡对z轴上某一点P的诱导速度

任意一微元ds对P点的诱导速度

小=乌叱半，速度垂直于r和ds所在的平面,

4万广

而任意一微元ds对应的6=90°,r2=a2+z2,dv的方向不同，但dv与z轴的夹角。都

a

相同。cosa=

V«2+z2

将dv分解为径向与铅直分量，径向速度相互抵消，铅直方向速度叠加得圆形线涡对Z轴上

点P的诱导速度

r,fFsin0div「sin8r,「a2一打”「人

v=avcosa=----------cosa=------丁cosaas=---------------,万向沿z轴正向。

JJ4"r4万/J2/22/

(a+z)

(3)z轴上方一点A的诱导速度:方向向上

22a2(1+〃2)%

Z轴下方一点B的诱导速度：匕=匚+匚方向向上

z2a2（4+力2）%

rrr

8.点（0,0）的诱导速度：Vz=------1------=-----方向垂直纸面向外

〜4加4加2加

rr

点（0,a）的诱导速度：匕=------=——方向垂直纸面向外

4万•2a8的

rr

点（0,-a）的诱导速度：匕=------=—方向垂直纸面向外

“4万-2a8加

9.参考题7

、r

10.线段MN对某点产生诱导速度u=——（cos^-cos^）

4兀R1-

取8与=BB2=CC[=CC2=O.bM

贝I」%=DB]=712+(A^-0.1)2=1.941m

DC、=7（^）2+O.l2=1.7349/n

8不对。点的诱导速度：

匕=工（-叵3+电）=0.133〃z/s方向垂直纸面向里

14万41.9142

8月对。点的诱导速度：

%=—j=（---——）=0.172z«/.y方向垂直纸面向里

24万21.914

对。点的诱导速度：

「01

匕=----产（―——0）=0.333方向垂直纸面向里

4万•由1.7349

处对。点的诱导速度为0

中心处的诱导速度

v=2n+2匕]8=2----^—7^（g+；）+2-]（-y-+等）=9237m/s

4乃---4万；

22

方向为垂直纸面向里

11.中心处速度丫=4以8=4、一^（也+也）=迪工，垂直纸面向外

4万工22兀L

2

12.参考题7

()o

13.⑴在涡核的半径处，旋涡内外速度相等，EP10/?=—；.R=0.3m

R

(2)旋涡旋转速度。=10

旋涡中心坐标由p=Po+号-r-parR--pgz

令r=0得：Z=-P"•,=-009凄1°.=-0.92机即下陷0.92/〃

g9.8

14.由题意可知：

耐，叱=0,叼=°色=跖，有旋

r>a,a)x=0,a)y=0@=0,无旋

旋涡内部vr=0v0=rcor<a

r_2a)7ra2_69a2

旋涡外部v=0r>a

r17ir?7irr

1生111

<5zz有旋

矶+

r一l=(=

-一-\-x--

2《255

5y

r>5

x+y，x+y

lf5(x2+/)-5x-2x5(x2+/)-(-530-2y

(jjz--2----------1----------(--x----2---+-----/----)-----2-------------------------------------，----------+-----V-----)--2-------------------

11Q

H=3圆周的速度环量是T=2x—xaR?=—7i

55

R=5圆周的速度环量是T=2x^x/rx52=10〃

R=10圆周的速度环量是r=2xlx^-x52+0=10^

16.由速度环定义可得：r>a圆周线的速度环量是

f8(l+%)sine+(\rde

修「/]

=Ir”(l+r)cose+攵6=2Z"

Jo/

吗，(组一生)=0

17.匕=x，

X2dydz

1dvdv

Vy=-A%=-l——^)=0

2dzdx

1/Sv122\122\12

匕CD_=—(------------)=—(-y—冗一)=——z(X+y")=——r

=52dxdy22)2

由sr。心s定理得圆f+),2=1的速度环是:

r=2jj■色Z=2j；『(-产)公曲=-/

负号说明为顺时针方向

18.vx=3yvy-2xvz=-4

椭圆工+匕=1而A=7rx3x2=6;r

94

其速度环是r=2J=2.(--)-6^=-67r负号说明顺时针方向

2

19.(不作要求)

点(1,0)的速度由(0,1),(0,-1),(-1,0)处的点涡诱导产生的：

rV2rrV2_r

点(0,1)对其诱导速度：匕=

2兀・叵2'2兀24%・

rV2_rrV2r

点(0,-1)对其诱导速度：匕

2兀24%.，2乃•夜241・

八

点(-L0)对其诱导速度：匕=0v=r=r

v2〃•2•4〃

3r

.•.点(1,0)的速度为%=°n八，=丁方向向上

4万

3r

同理得：点(0,1)处速度：0

匕2=4F乃U，2=

3r

点(—1,0)处匕3=。n%=工

3r

点(0,-1)处:V=­V—0

x4万,

四个点涡的涡旋惯性中心为:

（i+o-i+o）r八（o+i+o-i）r八

x--------------=0y---------------0

（°｝4rn°4r

3T

四个点涡绕（0,0）点做半径为1的圆周运动，其角速度为也=三

14〃

第六章

1.(a)w=kxyv=-=kx,v==-ky,w.=-(---)=0无旋有势

xdy5dx2dxdy

22

(b}i//=x-yvv=—=-2y,v=-^-=-2x,=0无旋有势

v'dyydx2dxdy

dy/2kdy/k

(c)夕=k\nxy2=一，匕，=一~-=—,

dyyoxx

1/55Vx\\(k2k

、有旋无势

22axay2x2y2

=/sin。

vr=^-=Z：(l-^-)cos0,ve=_"^=_%sin8(1+g

rdOrdrr

皿一生，无旋有势

22rdrrdO

2.(p=x2-y2+x

由于Vx=g=^^=2x+l积分/=2个+>+/(彳)n=2y+f*(x)

oxdydx

v、=*=-*=-2y/'(x)=0=>/(x)=c

dyox

二〃=2盯+y+c

3.vv=xy+yvv=x—yxv2=0

也+也=2孙-2町=0平面不可压

dxdy

迫)^[2x-y2-(x2+2y)]w0有旋无势

69.=砥=0CD：

2dxdy

：.存在流函数而不存在速度势

新”"/积分右产小卜+了⑴

^=xy2+/'(x)=-V=盯2_*2

dx,

无3

/⑴=-X2,=>/(X)=-y

「213/

^=2xy+§y一可

4.q.=%.=0公=』（—^~一?^）=0,无旋，存在速度势

2dxdy

夕=尤2y+-1x2--1y3--1y2+c

5.速度分布：v=—=yv=—=x

xdxydy

*=-x积分〃=一:x2+/(y)算=.(),)=匕=),/(y)=#+c

dx2dy

5,5,

(1)y/=2y--y~+—x-3x+c

无旋，有势流

(2)y/=x+x2-y2

无旋，有势流

,CCOS0

7.(/)=--------

dd)ccosG1dii/csinS「/、

匕=»=一丁=;而=〃=一二+/⑺，

e甲csin。、

+/(r)

（。csinB

__d/>_csin⑺⑺

Y广痴=一丁/=0n./"=cw=-------

/

8.〃=尤+x2-y2

J=-2y积分勿=-2冲+/(y)_?=_2x+空^曾2l=-]/(^)=-y+c

oxoxdyoy

=-lx-1.,.(p=-2xy-y+c

力

点(-2⑷处速度-=jY+y：=J(-2X4)2+[—2X(—2)—1『=73

点(3,5)皿度W=v/+Y=(—2x5)2+(—2x3—Ip=149

由伯努利方程：P[+—PV2|=P2+—PV2

1221

v

•■•Pi-P2=-P(2―匕)=-/?xl6=38p(p„)

9.

(采用镜像法)，在(a,0)的对称位置虚设一个等强度的点涡，则可形成y轴处的固壁。

(1)位于(-。,0)点的点涡诱导流函数为%=-一二E5^+0+4一顺时针)

2万

位于(a,0)点的点涡诱导流函数为w，=匚也小尸+与一々了(逆时针)

2〃

流函数为

W=—In"y2+*+q)2-----Inyjy2+(x-a)2

2»2乃

=A]In[(x+a)?+丫?p_in[(x-a)?+y2Pl.

匕=皆=E[[(X+a)2+y2Pq[(x+4)2+y2p.[2y]—[(x-a)2+y2P-i[(x-a)2

⑵

「y__________y

In(x+a)2+y2(x-a)2+y2

dy/_rx-ax+a

dx17C_(x-tz)24-y2(x+a)2+V

当x=O0寸，匕=0v=---------j-方向向下，证明y轴为一固体壁面

’乃（八优）

由伯努利方程：Ps+0=P+g夕（无穷远处速度为0）

令p,=0,则P=/，1

2兀（y-+a-y

10.

流场中任意点p（x,y）的速度势采用均匀流、源汇速度势累加而得:

。

（P一

Q酎

(x+a)2+y2

In-=uax+°In

五

(x—a)2+y2

r24乃

QQyy

同样,流函数〃〃0y+丁(4-&)=〃oy+丁(arcts------Qrctg)

2〃2〃x+ax-a

为得到物向方程，令区=0,得:

'=J-(4-4)=詈-arctg~T

2叫)2万〃()xJ+?y-a

tge「tgO\x-ax+a=2ay

其中rglg-q)

i+tg&ga1,yy~x2+y2-a2

x-ax+a

此方程称点根体，这样的外形近似代表桥墩，水下枝干，飞艇的外形

求驻点的位置:

_的_Qx-\-ax-a

“dx"。27r(x+a)2—y2(x-a)2+y2

v♦__________y]

dy27r[(x^-a)2+y2。一〃尸+尸，

令匕=0vy=0解得：

为斓I上长轴上对称的两点

y.7t0

11.if/-r/asin——

a

/、d(p1dll/1y7107171£-l7l6

(1)v=—1-=-----=-r/acos-------=—racos—

rdrr80raaaa

d(pdll/7t--1.7107V-.7T0

rvn=-i-=一厂---=-r—rasin——=-----yasin——

dOdraaaa

.d(p71J710工r八兀ey“八、

由,=—cos——积分0=cos——r/a+f(0)

draaa

所以—=—•(-sin—)+f'(&)=--yasin—

dOaaaa

/3)=0=于(e)=c

y71O

:.(p-r/acos——

a

(2)当°二刀时，流函数.=rsin。

流线方程为rsin0=const,即y=const为一般平行直线流动

(3)a=微时”=/sin26

流线方程/sin20=constxy=const为一组双曲线

令何=0得：x=O,y=O,即内轴为壁面，即表示由轴围成的扪的流动

15题和16题题意完全一样，重复

16.

流动的速度势/=v^x+—lnr=vxx+—In旧+彷

2乃2万

流函数〃=3+袅。=“+

2开2乃x

(1)流场速度分布：

一四〜+&xv=竺=_0.21

工dxx271x2+y1ydy2TTX24-y2

(2)令匕=0vy=0

解得X=--y=(»寸，解出〃=0

2万匕o

所以过该点的流线方程为：七丁+二火12=0为头部为半圆形的物体

27x

(3)由伯努利方程

171/22x

p+-pvp+-p(v+v)

x22xv

P=Ac+；P一,一；P^+v\.)=p-2

22xx2万(勺x+y、)(l4万)

19.

流场速势9=

流函数沙=3+0

27T]2TC2

=旦…y

匕+2arctg+arctg------

2万62万x-a

上+-y

Qx+ax-aQ2xy

—arctg—2~~2

2乃x+y—ci

i一

X+Q)(X-Q)

竺x+ax-a

(1)速度分布巳==一_2_H-------------2：

dx2〃|_(x+a)2+;/(x-a)2+y

2x(x222

Q+y-a

2〃[(x+a)2+y2][(%—〃)2+y2]

y02+)2+/)

yQ

v经二旦

ydy2〃_(x+a)2+y2(x-6z)2-by,2冗[U+a)2+y2][U-a)2+/]

Q2/y_Q1

在曲线x?+y2=a2上，代入上式，匕=0,V

'7i2ay2nay

可见每一点的速度都与y轴平行，且大小与y成反比

(2)在y轴上x=0匕=0v=&J।

令…

：.y轴上速度极值为Vy111ax=Q号=旦，在（0,土a）处

7i2a17ia

(3)y轴上x=0,代入夕=g~“rcfg?~y=0

2TTX~+y~_a~

y轴是一条流线

26.圆柱体的运动方程，由牛顿第二定律得：

(m+2)—=F+G

dt

m---"GN-20.02(Zg)

g9.8

X==1000*3]4x0/2=3」4伙

G+/=196.2+392.4=588.6N

—=588.6/51.42=11.447/77/?

dt

v=11.447^+qt=0时v=0q=0

z/c

速度：一=-11.4471

dt

2

5=1.11.447r+c2r=0时§=0"2=0

运动方程s=5.723/

第七章习题

1.h=10m,a=lm,k=0.21

⑴L=2%=2%2i=29.9加

乜=W=，为中等水深水波

L303

C=J咳tanh@=6733mls

\27TL

cr==1.414(1/m)

2%

T=—=4.441(5)

(2)波面方程〃=acos(kx-at)=cos(0.21x-1.414z)

(3)Xo=O,Zo=-5相处

tzcoshk(z+h)asinhk(z+h)

a=------------0------=0.399(〃?)B--------------0------=0.312(加)

sinhkhsinhkh

J।(Z+5>

质点轨迹方程为:

0.39920.3122

2.海洋波为深水波，则C=J①,C=10/n/s

V27c

波长：L=2兀C4=64.08(/??)

周期:T=%=和。％=6.4(5)

3.T=—min=45

15

a=2%=1.57(%)

=025

L=2%=24.968(/72)

c=%=6.28(m/s)

4.(不作要求)为有势流动，速度势°满足的方程及边界条件有:

⑴遢+々=0整个流域

OXOZ

⑵底部条件"=0z=-以

dz

(3).无穷远处条件v=%x------>±<x)h2Vz<0

(4).物面条件尊=0,V+&+%y=/上

on

⑸・波动液面条件

运动学边界条件学=-L姿(Z=0)

dzgdr

动力学边界条件〃=」竺&=0)

gdt

砍coshZ(z+/i)八、

5.(p-------------------cos(kx-at)

(Jcoshkh

由77=---(z=0)

g次

1Qgcoshk(z+/l).、/、/八、

=-----------------------sin(AZJx-crO-(-cr)(z=0)

gcrcoshkh

=asin(Ax-o7)

即自由面的波形表达式为：/]=asm(kx-at)

6.⑴C=%

・

vx=理=咀声•ZCOS(AX-O7)v.=罢=咀浸.k・sin(kx-bf)

dxadza

在波峰处，由波形知cos(Ax-crr)=Lsin(Ax-o7)=0

.♦.匕=丝.人*匕=0

(T

7.由题有：(c-v)xl6.5=90

/.,27rc2

(c-v)x6=£=------

8

联立两式解得：L=7.15(m),u=1.7(m/s)

8.深水波波高=a,*攵=2%=2%]4=2液面波高=。・滑。

由题意成立=。•屋二解得z=’In，=—0.346m

22z

即深度0.346血处波高减小一半

9.由于自由面形状为r/=acoskxcos6,则液面速度势0(z=0):

1丽/八、丽/八、7

7=--------(z=0)——(z=0)=-gi]=-agcoskxcosat

gdtdt

(p---cosAxsino?(z=0)

(J

故此，可令。=/(z)cos辰sincr”弋入拉普拉斯方程：

驾+驾=0可得"一二/=0,其通解为/(z)=A*+3e%

dxdzdz

(p=(A*+Be~kz)cos依sinat

无限水深处包=A(A/+Be-Az)cosAxsinat=0(z=-oo)

dz

4""°°-廿=0,解得8=0

z.(p=Aek:cos版sinat

d1d(p(7人》.aA,

乂〃=----=———Aecoskxcosat=-......coskfxcosat-acoskxcoscr

gStgg

比较可得A=-"%

:.(p=———ek-zcosAixsi.nat

(7

10.rj-asin(3x-o7)可得％=3

波长L=2%=2.09(⑼-=—^―>—深水波

/kL2.092

k疯=79.8x3=5.422

7=2%=1.16。)

11.浅水波，已知〃=asin(Ax-o?)