2020-2021学年新教材高中数学单元素养评价四新人教A版必修第一册

单元素养评价(四)

(第五章)

(120分钟150分)

一、单选题(每小题5分，共40分)

1,若集合M={X|X=45°+k•90°,keZ},N={x|x=90°+k•45°,keZ},则

()

A.M=NB.M坛N

C.M桂ND.MAN=0

【解析】选C.M={x|x=45°+k-90°,keZ}={x|x=(2k+l)«45°,keZ},N={x|x=90°+k-45°,

kez}={x|x=(k+2)-45°,keZ}.因为kez,所以k+2ez,且2k+l为奇数，所以M殳N.

2.已知点P(tana,cosQ)在第三象限，则角c।的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】选B.由tana<0,cosa<0,所以角a的终边在第二象限.

3.已知cos二—g，且&是第四象限角,则cos(-3JI+a)=()

4344

A.-B.-C.±-D.—

5555

【解析】选D.因为cos^—+a)=sina,

3

所以sina=--.

5

又a为第四象限角，

所以cosa=J1-sin2a=g

4

所以cos(一3兀+a)=COS(兀一a)二一cosa二一一.

5

、V29

4.设—(sin17°+cos17°),b=2cos13°-1,c=sin37°,sin670+sin53°sin23°,

2

则（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

【解析】选A.a=cos450sin170+sin45°cos17°=sin62°,b=cos26°=sin64°，c=sin

37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°，故c<a<b.

3〉。，。《小J的图象（部分）如图所示，则3和6的取值

5.若函数f(x)=sin(sx+6)

是（）

71

6=—

33

1n1n

C.3二一,力二一D.3=-,巾

2626

,n\2元1

【解析】选c.由题中图象知,T=4+-1=4兀=一，所以3二一.

(T0）2

2元

又当x二一时，y=l,

3

所以sinQX271,\nn

一+e=2kn+-,kez,

32

n

当k=0时，@=".

6

y/2

6.（2020•内江高一检测）已知a,B为锐角,角a的终边过点（3,4）,sin（a+B）二一,则

2

cosB=()

3、泛y/2

A.——B.一

1010

7427、他

c.—以二或1-

101010

43

【解析】选B.a,8为锐角，角a的终边过点(3,4),所以sina=",cosa=-,

55

sin(a+0)=—<sina,所以a+p为钝角，

2

所以cos(a+s)=_Jl_sin2(a+份=S

则cosB=cos[+伊-a]

=cos(a+P)cosa+sin(a+P)sina

V23V2472

=——X-+—x-=—.

252510

(itn\

7.函数y=2sin(-%"(0WxW9)的最大值与最小值之和为()

A.2-V3B.0

C.-lD.-1-V3

【解析】选A.因为0WxW9,

nnTi7n

所以—W-x—W—，

3636

\[3(nn\

—Wsin(—―)Wl,

2\637

所以-J5w2sin(w%"&)W2.

所以函数y=2sin(0WxW9)的最大值与最小值之和为2-V3.

8.(2020•荆州高一检测)设f(x)=asin2x+bcos2x(a,b£R,abWO),若f(x)W，(&)卜寸

一切xGR恒成立，给出以下结论:

①f隐)0；

巾偌叶(颔

TT57T

③f(x)的单调递增区间是krr+—>krrT——(kez)；

36J

④函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数；

⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交•其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解析】选C.因为f(x)=asin2x+bcos+b^sin(2x+0),由f(x)W/(三)卜寸一

切x£R恒成立，可得为函数f(x)的最大值或最小值，

nTt

所以2X-+0=kn+-(k£Z),

32

n

所以。=k兀—(k£Z),

6

所以令f(x)=asin2x+bcos2x

=V(12+b2sin(2x--),

6

或f(x)=Va2+b2sin(2%+g)

经计算验证①②正确.

③f(x)的单调性分情况讨论知③错误；

④显然f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故④正确；

⑤因为7dz+b2,yja2+b2<b<v(z2+b2,所以不存在经过

点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错误.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分）

9.有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为y=sin（21+：）的图象的

是（）

17T

A.横坐标变为原来的一,再向左平移一个单位长度

24

171

B.横坐标变为原来的一,再向左平移一个单位长度

28

n1

C.向左平移一个单位长度，再将横坐标变为原来的一个单位长度

42

n1

D.向左平移一个单位长度，再将横坐标变为原来的一个单位长度

82

171

【解析】选BC.A.y=sinx横坐标变为原来的再向左平移一个单位长度，得

24

y=sin[2^x+-）]=sin（21+7）,故A不正确；B.y二sinx横坐标变为原来的;，再向左平

移%个单位长度，得打sin2（%+§卜in（2%+3故B正确;

C.y=sinx向左平移3个单位长度，再将横坐标变为原来的点得尸sin（2%+?）,故C正

确；D.y二sinx向左平移g个单位长度，再将横坐标变为原来的金，得y二sin（2%+^）,故D

不正确.

（71n

10.已知函数f（X）=COS（3x+巾）\3>0,|〈一1在x二-一时取最大值,与之最近的最小值在X一

263

时取到，则以下各式可能成立的是（）

【解析】选AC.设函数f(%)的周期为T,则(=；-(一£)712元

I二一，所以T二一二兀，即3二2.

23

又f(一£)=c°s2x(-g+w

n\iI7i7i

-----F9)二1，|0卜一，所以6二一,

(3J23

即f(x)=cos(2%+三),

1

所以f(0)=7f

f(?)=?故选人心

11.已知函数f(x)=sin(：X-g),那么下列式子恒成立的是()

A.f(x+2兀)=f(x—2兀)B.=f(x)

|=f(x)D.-X)=-f(x)

【解析】选AB.因为函数f(x)=sin所以f(x+2)sinLfi

(x4n\(x27r\

sim,故A成立.

/107T\/57TX71\

所以

nxxn\

：-sinisin故B成立•

32

又f/(5T"TR=\sin后/5TT-x-»n\

=sinWf(x),故C不成立.

又/5江\(/5至7TxnX

f(&R=sin|=COS-T£f(x),故D不成立.

23

,,，〜…1

12.右函数g(x)=asinxcosx(a>0)的取大值为一,则函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对

2

称轴方程为()

3元

A.x=0B.x=-----

4

Tt57r

C.x二—D.x=—

44

a1

【解析】选BD.g(x)二-sin2x(a>0)的最大值为一,所以a二1,

22

E(7T\TCTtTT

故f(x)=sinx+cosx:-V2sin|XH------),令x+一二一+k兀，k£Z得x二一+k兀，k£Z.

k47424

三、填空题(每小题5分，共20分)

n

13.(2020•上海高一检测)已知扇形的半径为6,圆心角为一，则扇形的面积为

3

n

【解析】根据扇形的弧长公式可得1=ar=-X6=2兀，根据扇形的面积公式可得

3

11

S="lr=~•2兀•6=6兀.

22

答案：6五

1—+a)cosTt

14.已知a满足sina=",那么cos—a的值为.

34

Tt

【解析】因为COS1+a

7Tn=sinQ-Crj,

COS

L21a

Tl

所以cosY-a

£+a\4

二sin(：-Q)cos(W-Q)W-sinQ-2cr^

11

二一cos2a="(l-2sin2a)

22

=-[1-2x(-)2]=-

2V3718

答案：—

18

15.设x£(0,Ji),则f(x)二=cos2x+sinx的最大值是_______

【解析】因为f（x）=cos'x+sinx

=-sin2x+sinx+1

（.1\25

=-（S171X--j又因为rx£（0,兀），

所以0<sinxWL

1，…一5

所以当sinx=一时，f（x）的取大值是一.

24

_5

答案：一

4

137r

16.已知cos（兀+a）=一—,—<a<2n,则cosa=_______,sin（2n-a）=______.

32

,1/11371

【解析】由cos（兀+a）二一一,得一cosa=一一，贝！Jcosa二一；又一<a<2n,

3332

所以sin（2n-a）=-sina=JlpOS2境、「（步竽

生生12在

答案：―---

33

四、解答题（共70分）

17.（10分）已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P的坐标是（-1,

2).

⑴求sina，tana.

2sm

⑵求，

sinc2n^a)+cos(7r+a)

..rp22\15

【解析】⑴因为角a的终边过点P(T,2),所以|0P|=V5.则sina=—=---,tana=~2.

V55

2sin-sin瑞-a)

⑵

sm(27r-a，+cos(7r+a)

2sina^cosa

^sina^cosa

2tana^l-5

-----=-=-5.

-tana^l1

13

18.（12分）已知a,6为锐角,sina二一，cos(a+8)=-.

75

(1)求sin(a+z)的值;

(2)求cosB的值.

1

【解析】（1）因为a为锐角，sina=-,

7

所以cosa二l-s山2a二手,

所以sin(Q+£)=sinTtTt1y/347315遍

acos"+cosasin—X—+---X-----,

66727214

（2）因为a,B为锐角,所以a+8e(0,Ji),

3

由cos(a+B)二一,

5

得sin(a+B)=11-COS2m+伊A

所以cosB=cos卜a+仪-a]

cos(a+0)cosa+sin(a+B)sina

3414+12百

=-X——+-X-=------------.

575735

19.（12分）已知函数y=3sin

n7n

⑴用“五点法”在坐标系中作出上述函数在一2—上的图象.

166

（请先列表,再描点,图中每个小矩形的宽度为卷）

（2）请描述上述函数图象可以由函数尸sinx怎样变换而来?

…一」，「九77r

【解析】（1）因为x£—>—

166.

7T

所以[0?2/r].

列表如下:

7T5TT27rUTT77r

X

612T126

n7T37r

2x-0Jl2n

32T

y=3sin(2%-

030-30

描点、连线，得出所要求作的图象如图:

(2)第一步：把y=sinx的图象向右平移3个单位，可得y=sin(1一的图象;

第二步：把所得图象的横坐标变为原来吟纵坐标不变，可得尸in

的图象;

第三步：把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得y=3sin的图象.

(答案不唯一)

20.(12分)已知函数f(x)V^cos（2%”工）,x£R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心;

nn

⑵求函数f(x)在区间一->一上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

82」

【解析】(1)因为f(x)=>/2cos(2x-；

,2n

所以函数f(X)的取小正周期为T=—=3T.

2

n11

由2x—="+k兀，k£Z,

42

311

所以2x=—+k兀，k£Z,

4

-311k

所以x二一+-Ti,kFZ,

82

所以函数f(x)的对称中心为(q—F-TC>0),k£Z.

n][u

⑵因为f(x)=V2cos(2x-在区间-上单调递增，在区间一-上单调递减,

8j1821

f(；)=>/2cos(Tri2cosz=T,所以函数f(x)在区间一；,；上的最大值为

此时x=—；最小值为T,此时x=—

82

21.(12分)港口一天内的水深y(单位：米)是时间t(0WtW24,单位：时)的函数，下面是水

深数据：

t/时03691215182124

y/米10139.97101310.1710

根据表中数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asin

cot+B(A>0,3>0)的图象.

⑴试根据数据和曲线，求出y=Asinat+B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船

底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它

在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

【解析】(1)从拟合的曲线可知，函数y=Asin3t+B的一个周期为12小时，因止匕3=2=二

T6

=

又因为ymin=7,ymax13,

所以A=一(ymax-ymin)=3,B=~(ymax+ymin)=10.

22

所以函数的解析式为y=3sin-t+10(0WtW24).

6

(2)由题意知,水深y24