考点14 三角恒等变换-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点帮

考点14三角恒等变换三角函数公式，即同角基本关系式、诱导公式以及两角和与差的三角函数公式常结合三角函数性质一起考查，但也要注意单独考查的求值问题，对此，必须首先掌握公式的熟练应用，具体要求如下：1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：3．公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）辅助角公式：，其中，二、简单的三角恒等变换1．半角公式（1）；（2）；（3）.【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：；；；.（2）和差化积公式：；；；.考向一三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1化简：sinα+β【解析】原式=sin【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．（3）在化简时要注意角的取值范围.1．化简求值：（1）；（2）.考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4．常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，，，，，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2求下列各式的值：（1）cos+cos-2sincos;（2）sin138°-cos12°+sin54°.【解析】（1）cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.（2）sin138°-cos12°+sin54°=sin42°-cos12°+sin54°=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=====.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.典例3已知tan(α−β)=，tanβ=，且α，β∈(0,π)，则2α−β=A． B．C． D．或【答案】C【解析】因为tan2(α−β)=，所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]==1.又tanα=tan[(α−β)+β]=，又α∈(0,π)，所以0<α<.又<β<π，所以−π<2α−β<0，所以2α−β=.故选C．【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.典例4在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α+π4的终边经过点（1）求cosα（2）求cos(【解析】（1）由于角α+π4的终边经过点所以cos(α+π4∴cos（2）sinα=则sin2α=2sinαcosα=故cos(【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号.这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.2．设，若，且，则（）A． B．C． D．3．已知，，、，则的值为（）A． B．C． D．4．已知，，且、.（1）求的值；（2）求的值.考向三三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5已知函数f(x)=43（1）求函数f(x)的对称中心及最小正周期；（2）的外接圆直径为33，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若f(π6)=23【解析】（1）.由，得最小正周期为π.令，得，故对称中心为（k∈Z）.（2）∵f(π6)=2=2∵asinA=2R，2R=33∵acosB+bsinB=c又∵A+B+C=π，∴sin即sinAcosB+sin∵B∈(0 ， π∴sinB=∵sinB>0，∴cosA>0，∴∴sinB=5．已知中，内角，，的对边分别为，，.（1）若且，求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，，求面积的取值范围.1．已知为锐角，，则（）A． B．C． D．2．计算：（）A． B．C． D．3．已知，则（）A． B．C． D．4．已知，则的值是（）A． B．C． D．5．已知，是方程的两根，且，则的值为（）A． B．C． D．6．设满足，，则（）A． B．C． D．17．在中，若，那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形8．已知，，则（）A． B．C． D．9．设，，则的值是（）A． B．C． D．10．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（）A． B．C． D．11．设，则（）A． B．C． D．12．在中，内角所对的边分别为，且，则（）A． B．C． D．13．计算________.14．设当时，函数取得最大值，则________.15．已知.（1）求的值；（2）若，求的值.16．在中，，.（1）求的值；（2）设的面积，求边上的高.17．已知函数，(，，)的部分图像如图所示.（1）求的解析式；（2）若，求的值.1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知，则A． B．C． D．2．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）tan255°=A．−2− B．−2+C．2− D．2+3．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B． C． D．4．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B．C． D．5．（2018新课标全国Ⅲ文科）若，则A． B．C． D．6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若，则__________．7．【2020年高考江苏】已知=，则的值是▲．8．【2020年高考北京】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．9．【2020年高考浙江】已知，则_______，_______．10．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知，则__________．11．（2019年高考江苏卷）已知，则的值是▲.12．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．13．【2020年高考天津】在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．14．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．15．【2019年高考浙江卷】设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域．16．【2018浙江】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．17．【2018江苏】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．变式拓展变式拓展1．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦、余弦、正切公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系及诱导公式以及两角和的正弦公式计算可得；【详解】（1）.（2）.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.2．【答案】A【解析】【分析】先化简已知得，进一步分析得到得解.【详解】由得,,因为,,所以,,由，得,所以.故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式，考查差角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．【答案】A【解析】【分析】根据平方关系求出，的值，再由结合两角差的余弦公式计算即可.【详解】，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用两角差的余弦公式求三角函数值，属于中档题.4．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）原式除以，分子分母再同时除以即可得解；（2）由及二倍角公式求出、，再由求出、，代入的展开式即可得解.【详解】（1）原式；（2）且，，则，，，，，，，又，，.【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值，属于中档题.5．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据正弦定理化简得，再代入条件化简得，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得面积为，再根据锐角三角形确定B角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围.【详解】（1）由于，由正弦定可得，即，，，故，，又，所以，即由于，所以，由于是三角形的内角，故.（2）由，所以，，所以面积为由于为锐角三角形，所以，即，解得，所以，，所以.即面积的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.考点冲关考点冲关1．【答案】C【解析】【分析】根据范围，求出，然后计算即可.【详解】由题可知：，所以，由，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查计算能力以及观察能力，属基础题.2．【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式结合诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.3．【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及倍角公式变形求解即可．【详解】解：，则，．故选：A．【点睛】本题考查诱导公式及倍角公式的应用计算，是基础题．4．【答案】B【解析】，∴cosα−sinα=，cosα−sinα=，∴=sinαcos+cosαsin=sinα−cosα=−.故选：B.5．【答案】C【解析】【分析】由，是方程的两根，可得，然后结合两角和的正切公式及角的范围可求.【详解】，是方程的两根可得故故故故选：C.【点睛】本题主要考查了根据正切两角和公式求两角和，解题关键是掌握正切两角和公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6．【答案】A【解析】【分析】解法1：使用诱导公式可得，然后根据两角和的正切公式进行计算可得结果；解法2：根据条件计算，然后根据两角和的正切公式计算即可.解法3：依据，按公式直接计算即可.【详解】解法1：，解法2：由，解得，，解得，，解法3：，故选：A【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，重在识记公式，考查观察能力以及计算能力，属基础题.7．【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和和差角的正弦公式化简即得，即得三角形的形状.【详解】因为，所以所以所以所以,所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．【答案】A【解析】【分析】根据题意，将两边平方化简得：，由得出，，结合同角三角函数的平方关系得出和，最后再运用二倍角的余弦公式，即可求出.【详解】解：，，两边平方后得：，即，，，，，则.故选：A．【点睛】本题考查三角函数化简求值，运用了二倍角的余弦公式以及同角三角函数的平方关系.9．【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，先求得的值，进而求得，从而求得、的值.【详解】由，，得，所以，则，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.10．【答案】D【解析】【分析】由题知，又，代入计算可得.【详解】由题知，又.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.11．【答案】A【解析】【分析】先对式子进行化简,分子分母同时除以,再利用正切的和角公式求解可得,原式,根据诱导公式可得,进而利用倍角公式求解即可【详解】,因为,所以,故故选：A【点睛】本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题12．【答案】C【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【详解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵0＜C＜π，sinC≠0．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故选C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．13．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；【详解】原式，故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.14．【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案。【详解】；当时，函数取得最大值；，；．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题。15．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）首先利用两角和与差的三角函数公式以及降幂公式将原函数式化为，将代入即可得结果；（2）由可得，利用三角恒等式可得，结合两角和正弦公式即可得结果.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）由，得，即，故.当时，；同理，当时，.【点睛】本题主要考查了通过两角和与差的正弦公式化简求值，考查了降幂公式的应用，将函数式化为一般形式是解题的关键，属于中档题.16．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求解，（2）先根据正弦定理以及三角形面积公式求，再利用三角形面积公式求高.【详解】解：（1），为钝角，，为钝角为锐角，，..（2），设，，，边上的高为则，，，.边上的高为.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.17．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由图像即可求得和，进而得，得到函数的解析式，将最高点代入解析式，即可求得的值，即可求得函数的解析式；（2）将代入解析式，即可得，利用正弦的差角公式变形即可求得的值.【详解】（1）由函数图象可知，，即，所以，从而函数将代入解析式得，，又，故，所以函数解析式为；（2）因为，所以,于是,即或.【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法，正弦差角公式的简单应用，属于简单题目.直通高考直通高考1．【答案】B【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【答案】D【解析】=故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【答案】B【解析】，，，又，，又，.故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．4．【答案】B【解析】根据条件，可知O,A,B三点共线，从而得到b=2a，因为cos2α=2cos2α−1=2⋅(1a2+1故选B.5．【答案】B【解析】cos2α6．【答案】【解析】.故答案.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.7．【答案】【解析】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8．【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.9．【答案】；【解析】，，故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【答案】3【解析】，解方程得tanα=311．【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二