2023新教材高中数学第五章三角函数正切函数的性质与图象练习新人教A版必修第一册

5.4.3正切函数的性质与图象

知识对点练

知识点一正切函数的周期性、奇偶性及图象的应用

1.f(x)=tan(2x+彳)

的最小正周期为（）

JTJT

A.-B.-C.页D.2m

42

答案B

解析函数y=tan（ox+。）（<"¥0）的周期7=土,直接套用公式，可得「=十=]

tanx

2.函数f(x)=)

1+cosz

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

答案A

Ekn+—ASZ,it

解析要使f（x）有意义，必须满足J2即/4"十万，且

[1+cosxWO,

tan-x

xW（2什1）n（届Z）,・••函数/G）的定义域关于原点对称.又/'（—x）

1+cos-x

-久公"(x)=；anx是奇函数.

1十cosx1+cos%

3.函数y=3tan2x图象的对称中心为()

A.(容，O)(ACZ)B.(牛，O)(AWZ)

(kNJiA

C.I-D.(k",0)(A-eZ)

答案B

ajikjc

解析令2x=—(AGZ),得x=—(AEZ),则函数y=3tan2x图象的对称中心为

(牛,oj(AGZ)，故选B.

JlH

4.已知函数f（x）=tan3x（o>0）的图象的相邻两支截直线尸了所得线段长为了，则

格卜勺值是（）

A.0B.一半C.-1D.小

o

答案A

解析由题意，可知7=彳，所以3=刀=4,即F（x）=tan4x,所以（司=18“4义司

T

=tann=0,故选A.

31

5.已知函数尸加一2〃cosx（刀＞0）的最大值是不，最小值是一万,则函数y=tan（4/z?+2〃）x

的最小正周期为,图象的对称中心为.

JT（\

答案T（T，0）kez

（3

m+2n=-,

,2i

解析由已知，得J]解得/=〃=5.

in—2n=-

JTknkn

y=tan(4m+2ri)x=tan3%,其最小正周期7=刀,令3x=f,kGZ,得x=二-,keZ,

j乙o

即图象的对称中心为（等，0）,ASZ.

6.设函数fix）=tan（：­；）.

（1）求函数f（x）的最小正周期、对称中心;

（2）作出函数f（x）在一个周期内的简图.

解（1）；3=；,最小正周期7=4=一~=3".

O口1

3

令?一£=4（〃WZ）,得x=n+Kt（AWZ）,

,Ax）的对称中心是（卜十3%丁元，O、j（yteZ）.

，、•工元,xJin_5n

（2）令彳---=0,则x=贝；令A三一-,则犬=丁；

o«5JJ4乙

.xnJi,JI

令.一■看=-3,则x=一~丁，

JJ乙乙

（Ji5nA

从而得到函数y=Hx）在一个周期（一万，旬内的简图（如图）.

出外崎蹩）

7.观察正切曲线，写出满足下列条件的X的取值范围.

(1)tanx>l；

解（1）观察正切曲线（图略），可知tan?=L

在区间（一~p内，满足tanx>l的区间是仔，总.

又由正切函数的最小正周期为口，可知满足tanx>l的x的取值范围是

4n+宁，ku+yJ（/reZ）.

又由正切函数的最小正周期为“，可知满足一号<tan水镜的x的取值范围是

O

JIJT、

kTi——,An+—（A^Z）.

uoJ

知识点二正切函数的单调性及应用

8.己知函数尸1@113矛在（一p内是减函数，则（）

A.（KZlB.-1W3〈O

C.心1D.GW-1

答案B

（JTJlyJI

解析:•尸tan3x在l一万，句内是减函数，，3<0且7=一元，—1W3<0.

9.下列函数中，周期为人，且在（0,方上单调递增的是（）

A.y=tan|^r|B.y=|tan^rl

C.y=sin|x|D.y=\cos^rl

答案B

解析y=tan|x|,y=sin|划都不是周期函数（由图象可知），y=|cosx|在上单

调递减，故选B.

10.设z=log]tan70°,Z?=log^sin25°,c=^(，，s25,则有()

22

A.a<b<cB.

C.欣aD.a<c<b

答案D

解析Vtan70°>tan45°=1,5=logtan70°<0.又0<sin25°<sin30°=~,:.b

1/

2

=log]sin25°Mog】~=1,而c=g)"£(0,1),b>c>a.

22

11.(多选)下列不等式中，正确的是()

4n3n

A.tan-^_<tan_^-

2n3n

4n3兀L2冗3n

解析对于A,tan—<0<tan—,A正确；对于B,tan亏〉0>tan《iB错误；对于C,

(13吟，吟九(15吟，吟“

tanJ=tanI-2n+—I=tan—,tanI——1=tanI-2冗+~I=tan—,

JIJInJIn(13吟，吟n(12n

->—>^~>0,/.tan—>tan—,C正确;对于D,tanl-I=tanl-~~l=-tan—,tanl---丁

，2元、2n「Ji2nJI2n一人一，

=tan----=-tan-SLtan—<tan-z-,/.-tan—>-tan-D正确.故选ACD.

\□/54545

12.函数尸log】tanx的单调递减区间为.

2

答案\kn,An+—,kUL

解析・・♦尸log]X在其定义域上为减函数，，求函数尸log]tanx的单调递减区间,

22

即为求函数y=tanx,且tanx>0的单调递增区间，故为左兀，4兀+丁，届Z.

13.(1)求函数y=tan2x—的单调区间;

小II13H17n,,,.

⑵比较tan丁与tan亏的大小.

解（1）由于正切函数尸tanx的单调递增区间是（一十+411，3+411）日,

,,nJiJI

故令A一万+女五<2x—与■〈万+女冗，AWZ,

,JI5n

^-y+^<2K—+^,旧,

nk%5nk%

即一行+.〈水才+于，AeZ.

I乙乙1.乙乙

(五、(nA-n5n〃JI、

故了=1@2”一7的单调递增区间是一行+.,而+亏，kez,无单调递减区间.

11\OJ.乙乙JL乙乙,

13n(n、n

(2)tan——=tan(3n+-l=tan-,

17”(「”I2n

tan—―=tanl3n~

因为尸tanx在(0,日内单调递增，

n23i13n17n

所以tan-<tan-即tan-:-<tan---.

4545

知识点三正切函数的定义域、值域

14.函数尸3tan（2x+jj的定义域是（

)

A.\x+—,kRZ

女冗।3冗

-+~r-,kQZ

Zo

衣JTIT

C.《x+~3~，keZ

/o

An

,keZ

答案c

JIJI,AJIJT,、

解析由2x+丁WAn+丁（〃£Z）,得XWF~+三~（A七Z）.

ZZo

15.函数尸tan（T―:WxW；■且丘0）的值域为（）

A.[-1,1]B.（-8,-1]u[1,4-o0）

C.（一8,1]D.[-1,+8）

答案B

解析：-运7且符0,二7〈一■一刀W?且一■一由正切函数的图象，得

T*—乙3乙乙

>1或W—1,即jW—l或y》l，故选B.

16'函数尸的值域是（

"x'tanx+2)

Au

B.(O,

_1

-

D.2

一

答案B

解析y=-;---―,~~TZT，Vtan^GR,（tan%—1）2+1^1,从而0<ZL

tan%—1+1

17.函数尸FTii^十寸高丽定义域为（）

A.1J24兀WK2AB十5，kRZ1

B.1x2攵兀<启24兀十方，kJZ|

fJI

C.jx24五Wx<2女兀十万，k^ZrU{x\x=2kTi+n,k^l\

\n

D.Jx2在冗Wx〈24n+万且xW2★冗+n,〃£Z

答案C

解析先找到在[0,2兀）内的定义域，再加上周期2元的整数倍，易知选C.

18.函数尸3tan偿一；）的定义域为.

答案[jxW一零一，AGZ|

HVJI4JT

解析由7■一~7^—+kTi,AeZ,得———4An,k《Z,即函数的定义域为

OZ1Z6

44五，kGZ

'nn"I

19.函数尸sinx+tanx,—彳，彳的值域为.

r_2+^2生©

口L2f2J

JIJI_1JI

解析・.,y=siiu^y=tanx两函数在一了，―上都是增函数，，户一彳时，如尸一

易错

易错点对正切曲线的对称中心理解不透彻致误

函数y=tan（2x+"）图象的一个对称中心为停，0）,若一：＜则0的值为

易错分析本题在解题过程中易认为正切函数图象的对称中心为（衣口，0）,kUL,从而

得到下面的解析：

因为函数尸tanx图象的对称中心为（An,0）,日,

点（；，。）是函数尸tan（2x+«）图象的一个对称中心，所以2义:+夕=4贝，keZ,

一2Ji

所以O=kn—7-,kGZ.

o

_,JIn一一...2"冗

因为一了＜?〈方，所以当左=1时，e=E--—=—

事实上，正切函数图象的对称中心为（牛，0）,ASZ.

答案一白吟

63

正解因为函数尸tanx图象的对称中心为（等，0）,KZ,点仁，0）是函数尸tan（2x

+。）图象的一个对称中心，所以2乂2+«=等，kH,所以。=等一3，AGZ,

JIJ［一,JI,JI

因为一"7〈水下，所以当"=1时，8=一-当左=2时，.所以o=——^―.

乙乙O,JOO

课时综合练

一、单项选择题

1.函数尸tariff"一，的定义域是()

A.卜x£R

B.\x杼一~7，x£R

4

[n

C.\xxWAn+1，〃0Z,x£R

3n

D.\xxWAnkGLx£R‘

4

答案D

,Jin,3n

解析由x-女n+万，kRZ,得x#左兀+%-,k

ez.

2.函数f(x)=tan(ox--?与函数g(x)=sin(T2q的最小正周期相同，则。=

()

A.±1B.1C.±2D.2

答案A

解析由题意可得告==7p解得|句=1,即。=±1.

3.方程x—tanx=O的实根有()

A.1个B.2个C.3个D.无穷多个

答案D

解析画出图象利用数形结合思想处理，画出正切曲线和直线尸x,它们有无数个交点,

所以方程*=1@似有无穷多个解，即方程x-tanx=O的实根有无穷多个，故选D.

4.函数F(x)=tan(x+1，的单调增区间是()

A.(左冗一4兀+方)，kRZ

B.(衣n,An+n),AeZ

(3n।吟

C.\k^——y女冗+彳｝k^l

(五3哈

D.IA-31——,在几+―j-J,AeZ

答案C

nJI,3兀JI一

解析由一万+4兀Vx+q~V万+4n,kGZ,得一VxV1+〃n，kG"L,故

(3nnA

f(x)的单调增区间是(一丁+An，Y+AHJ,AGZ.

5.函数尸tanx+7^—()

tanx

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

答案A

解析函数的定义域是,x丘]左口，kGZ，，且tan(—+~----------=—tanx一

ztan—x

7^—=—ftanx+——所以函数y=tanx+一一是奇函数.

tanxttan^ytanx

6.观察正切曲线，满足条件|tanx|〈l的x的范围是()

A.2k式一■p24兀+宁(AeZ)

n"

B.kx,2k只+—(AGZ)

C.攵“一(，An+^-(AGZ)

「五3n]

D."+~p4"+—p(A£Z)

答案C

JlJT]

解析V|tan%|^1,「・一KtanxWL4冗―+~(4£Z).

7.在下列函数中，同时满足：①在(0,高上单调递增；②以2n为周期；③是奇函数

的是()

x

A.y=tan-B.y=cosx

J

cx

C.y=tan~D.y=­tanx

答案c

y

解析选项A,y=tan1的最小正周期为3叮，不满足②；选项B,尸cosx为偶函数，不

满足③；选项D,尸一tanx不满足①；选项C,①②③均满足，故选C.

,,(JT3人、

8.函数尸tanx+sinx—|tanx-sinx|在区间(万，内的图象是()

答案D

解析当A-e—>31时,sinx>0,tanKO,y=tanx+sinx—(sinx-tanx)=2tanx；

当，智)时，

sinXO,tanx〉O,y=tanx+sinx——(tanx—sinA)=2sinx.当x=冗时,

尸=0,故选D.

二、多项选择题

9.下列各式中正确的是()

A.tan7350<tan800°B.tanl<tan2

5n4冗9Jin

C.tan-y^^tan-D.tan-r-<tan-

oI

答案AD

解析tan735°=tan(180°X4+15°)=tanl5°，tan800°=tan(180°X4+800)

JI

=tan80°,又tanl50<tan80°,故tan735°<tan800°,A正确；因为1<—<2<n,所以

兀4冗5兀4兀5n

tanl>0,tan2<0,tanl>tan2,B错误；因为万(一yX^-<”,所以tarry<tarry,C错误;

9n(H、nJT

tan-z-=tan-+n=tan—<tan-,D正确.故选AD.

o\o)oI

10.关于函数/'(Mntan，*—」；)，以下命题正确的为()

A.函数f(x)的周期是方

一k五JI

B.函数F(x)的定义域是*£R且£kGZ

zo

C.y=F(x)是奇函数

D.y=F(x)的一个单调递增区间为(一氤，等)

答案AD

解析F(x)=tan(2x-的周期T=彳,故A正确；f(x)的定义域为

An3

x卜GR且JTAGZ,故B不正确；F(x)是非奇非偶函数，故C不正确；f{x)

(kNnkn3n\

的单调递增区间为十一k，.+=，MZ,令k=0,得y=F(x)的一个单调递增区间为

\ZoZo/

I3吟

「一6一八故D正确.故选AD.

11.下列四个命题中正确的为()

A.若f(x)=atanx+6cosx是偶函数，则a=0

B.当X=2〃B+B，时，y=cos(x—2)取得最大值

/o

(5nAn

C.函数y=4cos(2x—的图象关于直线才=一冠对称

D.函数尸2tar(—2x+：)+l的图象的对称中心为仁+甘，1),k&l

答案AC

解析F(x)=atanx+Aosx为偶函数，则有F(—x)=_f(x),即atan(—x)+Aos(—x)

=atanx+Acosx,即2atanx=0,故a=0,A正确；当x=2An+万，kGZ时，y=

An\/3」n

cos(2An+—JT——JI=cos—=-^-,显然不是最大值，B不正确；当x=—y^时，y=

\zo7bz1Z

"(TIY5n_1JI

4cos2X(一同一丁=4cos(—n)=—4,显然取到最小值，故x=一记是该函数图象的一

条对称轴,C正确；令一2x+5=-pA-eZ,得,MZ,故对称中心为后一一-111,

k&l,D不正确.故选AC.

12.关于函数F(*)=|tanx|的性质，下列叙述正确的是()

A./1(X)的最小正周期为方

B.f(x)是偶函数

k冗

C.f(x)的图象关于直线x=£-(aez)对称

D./"(X)在每一个区间0n,衣n+』aGZ)内单调递增

答案BCD

解析由题意得，f(x)=|tanx|

JI

tanx,k五Wx〈k工+~kGZ

H

一tanx,A兀--MZ

根据正切函数的特点作出函数F(x)=|tanx|的简图，如图所示.

由函数f(x)=Itanx|的图象知，_f(x)的最小正周期为兀，故A不正确；函数/1(x)的图

kn

象关于y轴对称，所以/Xx)是偶函数，故B正确；函数f(x)的图象关于直线

对称，故C正确；由/'(*)的图象知，以才)在每一个区间卜天，An+司(A2Z)内单调递增,

故D正确.故选BCD.

三、填空题

tadY)

13.比较大小：tan

答案V

又尸tanx在(万，冗)内单调递增，

5n4

所以tan^r-<tan—

7z

14.满足tan(x+1

[I2nn

答案jxa冗一〈左兀+苗~,kGZ

解析把x+1■看作一个整体，利用正切函数的图象可得"一^一十全左元十方,

2nn

YZ,..."一了6"+瓦，旧.

15.函数尸targ+宁），xG0,yjU,n的值域为—

令

乙o

"nnA（JI5n-

由y=tanf,tw彳，~JU,—的图象（如图所示）可得，所求函数的值域为

—8,一建U[y/3f+0°）.

O

16.已知函数Hx）=/ftan（Qx+0）（。>0,|。|y=f（x）的部分图象如图所示,

答案2#

Qjlji9jlj[j[

解析由图象可知，此函数的半个周期等于土一行=q一=二，故周期为内，所以3=

oooZ

.（3兀、（3冗、3兀

2.又图象过点0I,所以0=4tan（2X-^^+0）即丁+0=在冗（4£Z）,所以6=k不

一牛（々£Z）,又。|<5，所以0=?.再由图象过点（0,1）可知力=1.综上，F（x）=

（2x+§故倡）=tan（：nJI\

tan2X24+Trtan'

四、解答题

17.求函数尸tant-j的定义域、最小正周期、单调区间和图象的对称中心.

解①由弓—1金左兀+—,Aez,

LtO/

,5n

得不产24几+~^-,AEZ.

O

...函数的定义域为卜［丘2"+*,AGZ

②7=：=2”，

2

函数的最小正周期为2n.

③由左几一万<5一可〈女冗+万，A&Z，

解得24兀一+萼~,kGZ.

O<J

(n5元、

.,•函数的单调递增区间为［24兀一彳，2>tn+—J,kGZ,无单调递减区间.

,xnAn-2n

④由5—-2=~,AGZ，得户4”+可，AGZ.

.•.函数图象的对称中心是,贝+等，0),ASZ.

18.有两个函数f{x}=asin，x+1，,g(*)^bla^kx-J(%>0),它们的周期之和为掾

且+1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间.

解根据题意，得

a=l,

解得〈

1

故f(x)=sin(2x+'~

g(x)=-tan

当kR+T(A£Z)时g(x)单调递增，

乙j乙

lrJ［兀"JI5JI

即〒一G＜x＜亏+行，左ez时，函数g(x)单调递增.

乙•1.乙乙JL乙

(k英n5nA

所以