静力学平衡问题

静力学平衡问题第一节

平面力系的平衡条件和平衡方程一、平面一般力系的平衡条件

FR’=0，MO=0。

二、平面一般力系平衡方程的三种形式

1.一般形式平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。

目录第2页,共54页，2024年2月25日，星期天证明2.二力矩形式3.三力矩形式限制条件限制条件证明目录第3页,共54页，2024年2月25日，星期天三、特殊平面力系的平衡方程3.平面力偶系2.平面平行力系1.平面汇交力系在平面一般力系的平衡方程中去掉恒等式，可得各特殊平面力系的平衡方程。1.取研究对象；2.画受力图；3.建立坐标系；4.列平衡方程四、解题步骤目录第4页,共54页，2024年2月25日，星期天例题号题型例3-1解题格式示范例3-2平面汇交力系例3-3平面力偶系例3-4平面平行力系例3-5平面一般力系单个物体平衡例题导航目录第5页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-1xy解：取ABC为研究对象返回目录第6页,共54页，2024年2月25日，星期天FFBFAWRAOxyBαB

例3-2、磙子受力如图，已知W=20kN，R=0.6m，h=0.08m，求（1）水平力F至少为多大，可将磙子拉过障碍物？（2）F沿什么方向最省力？此时力为多大？hRAFWOBA解：取磙子为研究对象（一）求F（FA=0）解析法∑Fy=0,FBcosα-W=0FB=W/cosα∑Fx=0,FBsinα-F=0F=Wtanα=11.5kNFBFW2.几何法作封闭的力三角形βFminF=Wtanα=11.5kN返回目录第7页,共54页，2024年2月25日，星期天

(二)求FminFmin的方向未知，必须补充一个条件。由图可知，Fmin应和FB垂直，Fmin=Wsinα=10kNβ=α=21°FBFminFW返回目录第8页,共54页，2024年2月25日，星期天

例3-3、已知力偶的力偶矩为M，如图所示，试求铰链

A的约束反力和撑杆CD所受的力。

解：选取横梁AB为研究对象，梁受力偶系作用。返回目录第9页,共54页，2024年2月25日，星期天

例3-4

塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？

解：取起重机为研究对象，起重机受平行力系作用。（一）满载临界情况下，FA=0

返回目录第10页,共54页，2024年2月25日，星期天（二）空载

W2=0。临界情况，FB=0。

保证起重机不致翻到，平衡重W3的取值范围：返回目录第11页,共54页，2024年2月25日，星期天

例3-5平面刚架如图所示，已知F＝50kN，q＝10kN/m，M＝30kN·m，试求固定端A处的约束反力。解：取刚架为研究对象返回目录第12页,共54页，2024年2月25日，星期天二、求解物体系统平衡的一般思路第二节物体系统的平衡一、物体系统平衡由n个物体组成的物系，独立方程数≤3n紧扣待求量，取与之有关的物体为研究对象，建立足够数目的平衡方程。目录第13页,共54页，2024年2月25日，星期天例题号题型例3-6、3-7研究对象上未知数等于方程数

例3-8、3-9两铰共线例3-10一般问题物体系统平衡例题导航目录第14页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-6

冲压机构在图示位置保持平衡，已知：OA=R，AB=L，冲头所受的力为F，试求：作用于飞轮上的力偶，固定铰支座O处的反力，连杆AB所受的力，导轨对冲头的侧压力。解：（1）取冲头为研究对象，选取投影轴如图，列平衡方程：返回目录第15页,共54页，2024年2月25日，星期天（2）取飞轮为研究对象，列平衡方程：注意到FA=FB

，解题时，二力杆的受力图可略去不画。返回目录第16页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-7返回目录第17页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-8返回目录第18页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-9图示构架，重W＝1kN的重物B通过滑轮A用绳系于杆CD上。杆和滑轮的自重不计，试求铰链C、E处约束反力。

解：（1）取ACE以及滑轮加重物为研究对象,选取投影轴如图，建立平衡方程

xy返回目录第19页,共54页，2024年2月25日，星期天(2)取杆CD为研究对象，以点D为矩心，写力矩方程，(3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，

解得返回目录第20页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-10返回目录第21页,共54页，2024年2月25日，星期天第三节考虑摩擦的平衡问题两接触物体之间有相对运动或相对运动趋势时，接触面上产生阻碍称为摩擦。1.摩擦的两重性摩损；有用。2.摩擦的分类静摩擦与动摩擦；滑动摩擦滚动摩擦；干摩擦与湿摩擦。目录第22页,共54页，2024年2月25日，星期天一、滑动摩擦

两个表面粗糙相互接触的物体，发生相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力，一般以F表示。只有相对滑动趋势为静摩擦力；有相对滑动为动摩擦力。1、静滑动摩擦力

静摩擦力特点：0≤FS≤Fmax方向和相对滑动趋势方向相反目录第23页,共54页，2024年2月25日，星期天2．最大静滑动摩擦力

Fmax=fSFN

静滑动摩擦力最大时，物体临界平衡。f

S，静滑动摩擦因数，和物体的材料以及接触表面的状态有关。3．动摩擦力Fd＝fd

FN

fd，动摩擦因数，当vr不大时，可认为是常数。和物体的材料以及接触表面的状态有关。目录第24页,共54页，2024年2月25日，星期天二、摩擦角与自锁现象

支承面全约束力FR

＝FN＋FS1．摩擦角m

全约束力与法线夹角的最大值。FRm与fS都是表示材料摩擦性质的物理量。

目录第25页,共54页，2024年2月25日，星期天2．自锁现象FFR1FR物体依靠摩擦能保持平衡的现象称为自锁。

作用于物体的主动力合力FR的作用线在摩擦角范围之内时，

目录第26页,共54页，2024年2月25日，星期天根据摩擦角的概念，可测定静摩擦因数。将待测定摩擦因数的材料制成物块和平板，逐渐增加平板和水平线的夹角θ，使物块达到临界平衡状态，此时θ=m

，tanθ=fS

。由此还可知，斜面的自锁条件为：目录问题：如何测定散粒体之间的摩擦因数？第27页,共54页，2024年2月25日，星期天三、考虑摩擦的平衡问题求解考虑摩擦的平衡问题：力系平衡方程加摩擦平衡条件。

摩擦平衡条件1、一般平衡：FS≤fSFN

或

≤m。2、临界平衡：FS=fSFN

或

=m。注意：1、只要解题时用摩擦平衡条件，FS的方向不可假设。2、考虑摩擦的平衡问题，解常为一个范围。3、可先考虑临界平衡状态，再对结果进行讨论。4、有几处存在摩擦，有几种可能的运动趋势时，应注意作逐一判别。目录第28页,共54页，2024年2月25日，星期天例题号题型例3-11判别物体是否平衡例3-12物体有几个可能的临界平衡状态例3-13求最大、最小值例3-11求单向变化范围例3-14求双向变化范围考虑摩擦物体平衡例题导航目录第29页,共54页，2024年2月25日，星期天返回目录例3-11

一物块重W=100N，受水平力F=500N作用，物块与墙面间的静摩擦因数为fs=0.3，动摩擦因数f=0.28。（1）问物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的静摩擦因数为fs为多大物块可平衡？解：（1）该问为判断物体是否平衡的问题。第30页,共54页，2024年2月25日，星期天（2）该问为求某量的单向变化范围问题。可用摩擦关系式求fs的取值范围。令：

解得：

第31页,共54页，2024年2月25日，星期天设B块相对于A块临界滑动设B块相对于A块临界倾倒设B块和A块相对于地面临界滑动比较知，不引起物块运动的最大水平力：Fmax=3kN例3-12返回目录第32页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-13

制动器的构造和主要尺寸如图所示，制动块和鼓轮表面之间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮所需的力F1的最小值。

解：本题属求最大、最小值问题，只需令物体处于临界平衡状态即可求解。此时所需力F1最小。与待求量有关的物体OAB的平衡，其上有五个未知量，平面一般力系有三个独立平衡方程，再加一个摩擦关系式，还缺一个方程，因此，应取鼓轮为研究对象，再建立一个平衡方程。返回目录第33页,共54页，2024年2月25日，星期天（1）取鼓轮为研究对象

解得解得返回目录第34页,共54页，2024年2月25日，星期天（2）取曲杆OAB为研究对象；

返回目录第35页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-14返回目录第36页,共54页，2024年2月25日，星期天返回(1)上滑临界状态WAFT1FNFS1Axy目录第37页,共54页，2024年2月25日，星期天返回(2)下滑临界状态WAFT1FNFS1AxyWAFT2FNFS2Axy解得：目录第38页,共54页，2024年2月25日，星期天第四节空间一般力系的平衡问题各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间一般力系。

一、空间一般力系的平衡条件1.各分力在x、y、z轴上投影的代数和为零；2.各分力对x、y、z轴之矩的代数和为零。

目录第39页,共54页，2024年2月25日，星期天二、空间一般力系的平衡方程：

空间一般力系有六个平衡方程，可用来求解六个未知数。

三、空间约束的类型根据约束可能限制的运动，可确定空间约束的约束反力与约束力偶。目录第40页,共54页，2024年2月25日，星期天

径向轴承球形铰推力轴承空间固定端第41页,共54页，2024年2月25日，星期天例3-15

电动机通过联轴器来带动皮带轮轴，已知转矩M=20N·m，带轮直径d=160mm，跨距a=200mm，皮带斜角a=30°,带轮两边拉力。试求A、B两轴承的约束反力。解：取轮轴为研究对象；画出其受力图，取投影轴如图，列出平衡方程：目录第42页,共54页，2024年2月25日，星期天

目录第43页,共54页，2024年2月25日，星期天一、平面力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0.

2.平面平行力系的平衡方程（1）一般式∑Fy=0,∑MO(F)=0；（2）二力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，

AB连线不平行于力线。3.平面力偶系平衡方程∑Mi=

0小结目录第44页,共54页，2024年2月25日，星期天3.平面一般力系平衡方程（1）一般式

∑Fx=0，∑Fy=0；∑MO(F)=0；

（2）二力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑Fx=0。AB连线不垂直于x轴。（3）三力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑MC(F)=0

。A、B、C三点不共线。目录第45页,共54页，2024年2月25日，星期天二、考虑摩擦的平衡问题4.摩擦平衡条件(1)一般平衡：FS≤fSFN

或

≤m。(2)临界平衡：FS=fSFN

或

=m。1．最大静滑动摩擦力

Fmax=fSFN

2．动摩擦力Fd＝fd

FN

3．摩擦角目录第46页,共54页，2024年2月25日，星期天三、空间一般力系的平衡方程：目录第47页,共54页，2024年2月25日，星期天讨论题1、平面力系的平衡条件是什么？什么是力系的平衡方程？2、各平面力系有几个独立的平衡方程