微积分在力学中的应用

PAGEPAGE10微积分在力学中的应用1序言物理学是研究物质的基本结构、基本相互作用及基本运动规律的科学.物理学领域的一系列新成果,不仅是对物理学本身,而且对其他学科的发展有极大的促进.同时物理学是一门以数学为基础，利用数学工具对物理问题进行科学抽象思维和推理的学科.运用数学定义物理概念、表达物理规律具有简洁性、精确性、深刻性.从数学的角度归纳总结各个类似的物理公式的一般性,找出这些物理公式的共性,用数学的思想和方法来解决物理一些重点和难点,并用一些简单的实例来阐述,有助于形成运用数学知识表达物理知识、用数学理论解决物理问题的能力.2背景介绍2.1微积分的基本概念微积分学是数学中的基础分支，内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分，主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.联系微分学和积分学的基本公式是：若在上连续,是的原函数，则,通常称之为牛顿-莱布尼兹公式.2.2力学中微积分的建立微积分在大学物理学习中应用非常广泛，在力学中较为突出，也是初学大学物理课程时遇到的一个困难．要用好微积分这个数学工具，首先应在思想上认识到物体在运动过程中，反映其运动特征的物理量是随时空的变化而变化的．为了精确描述这一变化过程，牛顿采用“微元”处理来分析物理现象，创立了微机分学，并在后来的发展中得到广泛应用.应用定积分理论解决力学实际问题的第一步是将实际问题数学化,这一步往往比较困难,而微元法恰是解决这一困难,实现这种转化的有力工具.设求解实际问题可化为在区间[]上的某个量,如果我们在具有代表的任一小区间[]上，以“匀代不匀”或“不变代变”找到这个量的微分,根据微分基本定理,这个量就可以应用定积分计算.显然，解决问题的关键是在微小的局部上进行数量分析，寻找并列出正确的微分式，故而这种方法称为微元法.能够应用微元法求解的物理量应该具备下列条件：（i）它是一个与变量的变化区间有关的量；（ii）它对于区间具有可加性，即如果把区间分成若干个小区间，则它能相应地分成若干个对应的部分量，且该量等于所有部分量之和；（iii）部分量的近似值可表示为,这样就可以定积分来表示这个量.将满足上述条件的量写成可运算的积分表达式的步骤可归纳为：（i）根据问题的具体情况，选取一个变量（例如）作为积分变量并确定它的变化区间；（ii）将区间分成若干个小区间，取其中任一小区间并记作，求出相应于这个小区间的部分量的近似值，如果能近似地表示为的一个连续函数与的乘积（这里与相差一个比高阶的无穷小）,就可以将它记作为,即=；（iii）以所求量的微元为被积表达式,在区间上作定积分得:结果即作为所求的实际量,根据所求问题的不同,它可以是一个具体的数值,也可以是一个函数.综上所述,微元法把确定的研究对象分割为无限多个无限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通过对所抽取的这一部分的研究，就可以认为是整体或全过程的性质和规律，它实质上是“从复合到单一，从单一到复合”的分析与综合思维方法.3微积分在求速度,加速度,变力做功方面的应用在数学发展史上微积分是基于解决物理问题而产生的.为了解决速度，加速度问题，许多数学家曾采用极限思想来分析这一问题，他们把整个运动过程抽象成许多微小的简单运动过程，如以下分析速度,加速度,变力做功这一过程.3.1速度加速度定义1把趋于零时的平均速度的极限定义为质点在时刻的瞬时速度或质点的位移和相应时间的比,即=速度是位置矢量对时间的一阶导数；定义2把趋于零时的平均加速度的极限定义为瞬时加速度，简称加速度，即==瞬时加速度是速度的一阶导数，是位置矢量的二阶导数.加速度既反映速度大小的变化，又反映速度方向的变化.例1已知一电子在平面内运动,其运动方程为 (1)式中,和是常数,均大于零.求电子运动轨迹、速度和加速度.解由(1)式可知，电子的直角坐标系为cYcYxoy图1消去时间，得电子的轨迹方程可见电子作半径为的圆周运动(图1).电子的速度为速度的大小为因和都是常数,故电子作圆周运动的速率是恒定的.因为所以与垂直，即电子的速度总是沿着圆周的切线方向.电子的加速度为即加速度的大小等于r，而方向始终指向圆心，这样的加速度称为向心加速度.可见，当质点作速率恒定的圆周运动时，其加速度是向心加速度.例2一汽艇以速率沿直线行驶.发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度成正比且方向相反的加速度=-,式中为大于零的常数.求发动机关闭后，（i）在任意时刻汽艇的速度；（ii）汽艇能滑行的距离.解（i）这是一维情况，矢量的方向可用正负号表示.故=- (2)分离变量和，并积分可得=-故在发动机关闭后时刻，汽艇的速度为 (3)（ii）注意到并代入(2)式，得变量分离和，并积分,故发动机关闭后汽艇能滑行的距离为这个结果也可以根据由(3)式积分得到.注意积分时，时间的上、下限分别取为和.图2例3有一长为的细绳,一段固定在点，另一端系一质量为的小球.今使小球在铅直平面内绕点作圆周运动.小球的角位置从绳铅直下垂处算起.当时，小球的速度为.求在任意角度处小球的速度和绳的张力.图2解小球受到重力和绳的拉力的作用（图2）.根据牛顿第二运动定律，列出法向和切向方程(4)(5)即将此式代入(5)式，并积分得，将上式代入(4)式得 (6)小球恰可通过最高点时，代入(6)式，得这是使小球恰可完成圆周运动所需的最小初速度.3.2功的计算功是能量转换的量度，一般情况下质点在运动过程中所受的力，其大小和方向都在变，在这种情况下不能直接运用直接将功计算出来，只能将整段曲线分成段(一般取)，先计算质点经过任一段曲线时外力对其所作的功（即微功），然后利用积分求出质点经历整段曲线时外力的功.例4如图3所示,设有质量分别为和的两个质点,求在质点从位置沿任一路径运动到的过程中,万有引力的功.图3解取定与质点相固结的参照系，设相对于质量的径图3矢为，将分成许多小段，取其中任一小段（如图），其元功为：则从到点引力作用的功：例5一个质点的质量为，沿轴方向运动，其加速度与速度成正比（比例系数为），方向相反.设该质点运动的初速度为.（i）试写出该质点在轴方向运动的受力表示式.（ii）该质点在轴方向运动的全过程中所受的力做了多少功？解（i）根据题意质点的加速度所以，质点在轴方向的运动受力的表示式为由此可知该力是阻力.（ii）上述力所的功为 (7)由可得，代入(7)式得4微积分在求引力、动量定理、转动惯量方面的应用4.1引力例6设有一均匀细杆,长为,质量为,另有一质量为的质点位于细杆的垂直平分线上距杆为处.求细杆对质点的引力.图4解由于细杆不能当作质点，因此不能直接用万有引力定律求解，但我们可以把细杆看作无数质点的组合，且整个细杆的质量是连续分布的，这样就可用微元法求解.图4解题步骤为：在细杆上处取长为的细杆作为微元（如图4），该微元的质量为，其到质点的距离为，根据万有引力定律，该微元对质点的引力为：力的方向沿和的连线并指向.经过分析可知，构成细杆的各微元对质点的引力的方向的分量互相抵消,方向的分量方向相同,因此各微元对质点的引力之和实际上是这些引力的方向分量之和,从图可得,在方向的分量为负号表示力的方向与坐标轴的方向相反.细杆对质点的引力即利用积分公式并代入上下限求解得所以，细杆对质点的万有引力的大小为方向沿细杆的中垂线并指向细杆.4.2冲量动量定理冲量定义为从时刻到时刻这段时间里力作用在质点上的冲量.动量定理在一段时间内，质点所受的合外力的冲量等于在这段时间内质点动量的增量.积分形式微分形式例7如图5所示，在光滑平面上，一质量为的质点以角速度沿半径为的圆周作匀速圆周运动.试分别根据冲量的定义和动量定理，求出在从变到的过程中外力的冲量.解根据题意可设质点所受到的合外力为图5图5根据冲量的定义按动量定理求合力的冲量4.3转动惯量的计算转动惯量是描述刚体转动惯性的物理量,同一刚体对不同的转轴有不同的转动惯量.利用微元法先求本刚体上任一小部分质量（可以是线状、面状、体状）对指定轴的转动惯量,然后利用积分可算出整个刚体对指定轴的转动惯量.例8计算质量为，半径为的均匀薄板绕它的一条直径转动惯量.图6解取圆板的圆心为坐标原点，转轴为轴的直线坐标系.（如图6）图6在圆板上距圆心处取宽为的窄条作为微元，其长度为，质量为，所以，该小条对转轴的转动惯量为各小条的转动惯量之和即为刚体对已知转轴的转动惯量，即令得例9计算球体对通过球心的轴的转动惯量.解设圆球的半径为，如图7所示.将圆球分成一系列与转轴垂直的极薄的圆板，其中任意一圆板距球心的高度为，圆板的厚度为.可得圆板的半径为图7图7所以任一薄圆板的体积以代表单位体积的质量,则圆板的质量为注意:圆板的厚度为无穷小,所以这一圆板的转动惯量为所以,整个球体的转动惯量为因为所以转动惯量是描述刚体转动特性的一个重要物理量，转动惯量的大小与转轴的位置，刚体的质量和质量分布有着密切的关系，因此在计算刚体的转动惯量时，一般首先要求出组成刚体各质点对已知转轴的转动惯量，再通过加和运算求出整个刚体对已知转轴的转动惯量，也就是说，转动惯量的计算可以归结为一种和的极限计算.5小结综上所述,微积分在力学中的应用可以重点归结为以下几点:第一,根据实际问题性质确定积分变量及其变化区间;第二,将变量的变化区间划分为若干个小区间,求出每个小区间内待求量表达式,这就是所谓的“化整为零”；第三,待求量在变量的变化区间内具有可加性，利用求和的方法将对应于每一小区间的待求量的部分量相加，这又是所谓的“集零为整”得到待求量的近似值；第四,当每一个小区间的原宽度趋于零时，即可得到待求量的极限，也就是待求量的准确值.利用这个数学知识点,今后在处理这类含有变化物理量的问题时学会使用这个