高三高考数学复习练习982范围最值问题

9821．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2，2]C．[－1，1] D．[－4，4]【解析】Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.【答案】C2．已知P为双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上的点，点M满足|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝0，则当|eq\o(PM,\s\up6(→))|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.eq\f(9,5) B.eq\f(12,5)C．4 D．5【解析】由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝eq\f(12,5)，故选B.【答案】B3．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(2，3]C．(1，3] D．(1，2]【解析】由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以eq\f(|PF2|2,|PF1|)＝|PF1|＋eq\f(4a2,|PF1|)＋4a＝8a，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，所以e＝eq\f(c,a)≤3.又e>1，所以1<e≤3.故选C.【答案】C4．(2018·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．【解析】依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形(图略)可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.【答案】55．(2018·郑州质检)已知椭圆C1：eq\f(x2,m＋2)－eq\f(y2,n)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．【解析】∵椭圆C1：eq\f(x2,m＋2)－eq\f(y2,n)＝1，∴aeq\o\al(2,1)＝m＋2，beq\o\al(2,1)＝－n，ceq\o\al(2,1)＝m＋2＋n，eeq\o\al(2,1)＝eq\f(m＋2＋n,m＋2)＝1＋eq\f(n,m＋2).∵双曲线C2：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，∴aeq\o\al(2,2)＝m，beq\o\al(2,2)＝－n，ceq\o\al(2,2)＝m－n，∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，∴eeq\o\al(2,1)＝1－eq\f(1,m＋2).由m>0得m＋2>2，eq\f(1,m＋2)<eq\f(1,2)，－eq\f(1,m＋2)>－eq\f(1,2)，∴1－eq\f(1,m＋2)>eq\f(1,2)，即eeq\o\al(2,1)>eq\f(1,2)，而0<e1<1，∴eq\f(\r(2),2)<e1<1.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))6．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1，2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|＋|DG|的最小值．【解析】(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，半焦距c＝2，所以其虚半轴长b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3).又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为M(2，1)为AB的中点，所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝6，故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.(3)由已知，得|DF1|－|DF2|＝2，即|DF1|＝|DF2|＋2，所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号，因为|GF2|＝eq\r(（1－2）2＋22)＝eq\r(5)，所以|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2＝eq\r(5)＋2，故|DF1|＋|DG|的最小值为eq\r(5)＋2.7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(eq\r(3)，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．【解析】(1)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝eq\r(3)，c＝2，又a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，可得m2>3k2－1且k2≠eq\f(1,3)，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝eq\f(6km,1－3k2)，∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3km,1－3k2)，∴y0＝kx0＋m＝eq\f(m,1－3k2).由题意，AB⊥MN，∴kAB＝eq\f(\f(m,1－3k2)＋1,\f(3km,1－3k2))＝－eq\f(1,k)(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1，②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－eq\f(1,4).∴m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪(4，＋∞).8．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0，2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→)).(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．【解析】(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝eq\r(2)，所以椭圆方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，所以－x1＝