江苏省泰州市兴化市高三下学期4月模拟考试数学试卷

江苏省泰州市兴化市2022届高三下学期4月模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则＝（

）A． B． C． D．3．设均为非零向量，且，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（

）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种5．《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（

）A．3 B．4 C．8 D．96．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（

）A． B．C． D．7．已知双曲线的左、右顶点分别为，点(与点不重合)是双曲线右支上一点，若，则的值是（

）A． B． C． D．8．已知函数，，若函数在上的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．设一组样本的统计数据为：，其中n∈N*，．已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，x∈R．则下列说法正确的是（

）A．设b∈R，则的平均数为B．设a∈R，则的方差为C．当x＝时，函数有最小值D．10．数列满足，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．11．在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，，，其中，则（

）A．当时，平面平面B．当，，时，平面C．当，，时，点平面D．当，时，存在，使得平面平面12．已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（

）A．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D．存在非零实数，使得任意，三、填空题13．在的展开式中的系数是________．14．已知直线与圆交于A，B两点，则的值是________．15．等边△ABC的边长为6，直线l交边AC，AB分别于点D，E(异于△ABC的顶点)，将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，则四棱锥A－BCDE体积的最大值为________．16．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．四、解答题17．在①a＝2b；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列满足，，．(1)设，，求证：数列为等差数列；(2)求证：，．19．在三棱柱中，，，，，，是的中点，与交于．(1)求证：平面；(2)若与平面所成角为，求二面角的正弦值．20．设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：………·………………现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．(1)当n＝2时，求的联合分布列；(2)设且计算．21．在平面直角坐标系中，点，记动点P到直线l：的距离为d，且，设点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)直线m交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C．设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得恒为定值．22．已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；(2)讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．参考答案：1．B【解析】【分析】先求出集合，再求即可.【详解】，故.故选：B.2．C【解析】【分析】由复数的四则运算化简，再由模长公式得出.【详解】，故选：C3．C【解析】【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果.【详解】由得：，，，又，.故选：C.4．D【解析】【分析】先分成2，1，1的三组，再分配到3个检测点即可.【详解】先将4人分成2，1，1的三组，有种，再分配到3个核酸检测点有种，按照分步乘法计数原理，共有种.故选：D.5．D【解析】【分析】设循环次数为，由题意可得方程，利用指对数转化求解即可，需注意为符合条件下的最小整数.【详解】由题，设至少循环次，才能达到国家排放标准，则，即，两边同时取对数，可得，所以，所以至少要进行次循环，故选：D6．B【解析】【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.【详解】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为则故选：B7．A【解析】【分析】设，可求得，根据直线斜率与倾斜角的关系可构造关于的方程，解方程可求得结果.【详解】设，则，且，；由双曲线方程知：，，设，则，又，，，即，解得：或，又，，即.故选：A.8．B【解析】【分析】求导后，根据单调递增和存在最小值可知，使得，且在上单调递减，在上单调递增；可知；结合可解方程组求得的值.【详解】，又，在上单调递增，在上存在最小值，，使得，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，…①，由得：…②，②①得：，，，；①②得：；又，.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数在区间内的最值求解参数值的问题，解题关键是能够根据的单调性及存在最值确定存在零点，进而根据的零点和的最小值构造方程组，利用方程组推导得到参数值.9．AC【解析】【分析】A、B选项直接计算平均数和方差即可判断；C选项先化简得到，再结合得到，即可判断；由的最小值即可判断D选项.【详解】对于A，的平均数，的平均数为，正确；对于B，的方差，的平均数为，方差为，错误；对于C，，又，，故，故当x＝时，函数有最小值，正确；对于D，由上知，，错误.故选：AC.10．BC【解析】【分析】根据题意求得，得到的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，由，可判定A错误；求得为奇数和为偶数时，数列的通项公式，可判定B正确；根据为奇数和偶数，求得，可判定C正确；结合时，可判定D错误.【详解】由题意，数列满足，可得，因为，可得，所以，所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，对于A中，可得，所以A错误；对于B中，若为奇数时，可数列的通项公式为；若为偶数时，可数列的通项公式为，当为奇数时，，，此时，当为偶数时，，，此时，综上可得：，所以B正确；对于C中，数列为，可得构成首项为，公比为的等比数列，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，所以C正确；对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误.故选：BC.11．ABD【解析】【分析】根据平行线分线段成比例和线面平行的判定可证得平面，平面，由面面平行的判定可知A正确；连接交于点，根据三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可知B正确；假设平面，可知平面与平面重合，显然不成立，知C错误；由线面垂直的判定可知平面，取中点，由平行关系可得平面，则平面与交点满足题意，知D正确.【详解】对于A，当时，，，，又平面，平面，平面；同理可得：平面；，平面，平面平面，A正确；对于B，当，，时，与重合，与重合，为中点，连接，交于点，连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，，又平面，平面，平面，即平面，B正确；对于C，连接，假设平面，又平面，平面，平面，平面，平面即为平面，显然不成立，C错误；对于D，取中点，连接，交于点，连接，四边形为正方形，，为正方形的中心，平面，又平面，，又，平面，平面，分别为中点，，平面；过作，交于，则平面，平面平面，D正确.故选：ABD.12．ABD【解析】【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.【详解】对于A，令，则，即，又，；令得：，，，，则由可知：当时，，A正确；对于B，令，则，即，，由A的推导过程知：，，B正确；对于C，为上的增函数，当时，，则；当时，，则，不存在非零实数，使得任意，，C错误；对于D，当时，；由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；当时，为上的增函数，，，，；由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.13．【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可知当时得的系数，代入即可得到结果.【详解】展开式通项为：，令，解得：，展开式中的系数为.故答案为：.14．【解析】【分析】先求出弦长，再由余弦定理即可求解.【详解】由题意知：圆心，半径，圆心到直线的距离为，故，故.故答案为：.15．【解析】【分析】令，过作，垂足为，由结合重要不等式得出，利用换元法结合导数得出四棱锥A－BCDE体积的最大值.【详解】令，过作，垂足为，令令在上单调递增，在上单调递减，故答案为：16．【解析】【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；当，即时，，，；当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.17．存在，面积为.【解析】【分析】若选①，由正弦定理得，结合，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可；若选②，先由余弦定理得到，再借助正弦定理化简得到，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可；若选③，由可得，化简得，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可.【详解】若选①，由正弦定理得，又，故，即，化简得，即，又，故，，，，解得，故该三角形的面积为；若选②，由，又余弦定理可得，故，化简得，由正弦定理可得，又，故，即，又，故，又，解得，，，解得，故该三角形的面积为；若选③，由得，，由可得，又，故，整理得，又，故，故，，，这样的三角形存在.又，，解得，故该三角形的面积为.18．(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由整理得，进而得，由等差数列定义得证；（2）先求出，进而得到，，按照裂项相消求和求出即可得证.(1)由得，，即，又，故数列是以4为首项，2为公差的等差数列；(2)由（1）知：，化简得，故，.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明出，可得出，利用线面垂直的判定和性质可得出，再结合以及线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）利用线面角的定义可得出，可求得的长，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.(1)证明：在三棱柱中，且，，所以，四边形为矩形，因为，，为的中点，所以，，因为，，所以，，所以，，所以，，所以，，，，平面，平面，，，，平面.(2)解：在中，，，，则，，由等面积法可得，，，，，因为平面，所以，直线与平面所成的角为，因为，则为等腰直角三角形，且，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，，所以，，因此，二面角的正弦值为.20．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意知：可取0，1，2，可取0，1，2，直接计算概率，列出的联合分布列即可；（2）直接计算得，结合二项分布的期望公式求出即可.(1)可取0，1，2，可取0，1，2，则，，，，，，，故的联合分布列为：012012·(2)当时，，故，所以，设服从二项分布，由二项分布的期望公式可得.21．(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）由到定点的距离与到直线的距离相等结合抛物线的定义得出曲线的方程；（2）设直线的方程为，由韦达定理以及导数得出切线的方程，并联立得出点坐标以及，由三角形面积公式得出，进而存在定点使得.(1)由题意可知到定点的距离与到直线的距离相等的轨迹是抛物线且，曲线的方程为(2)设直线的方程为，切线的方程为①方程为②联立①②得，即设的中点为轴，存在定点使得【点睛】关键点睛：在第二问中，首先联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及三角形面积公式得出与，与的关系，进而得出定点.22．(1)(2)当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求出斜率，根据切点的