高三数学一轮复习讲义排列与组合二项式定理教师

课题：排列与组合、二项式定理知识点一、排列与组合1．排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从个不同元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．(3)排列数公式：这里并且(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘)．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定．2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从个不同元素中取出()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．(3)组合数的计算公式：，由于，所以．(4)组合数的性质：①；②；③．【典型例题】【例1】四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（）A．72B．96C．144D．240【答案】C试题分析：先从为男生中选为捆绑在一起，和剩余的为男生，插入到为女生所形成的空隙中，所以共有种不同的排法，故选C．【例2】某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）种A．30B．600C．720D．840【答案】C试题分析：总方法数有种，甲乙不参加的有种，故有．【例3】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24B．48C．60D．72【答案】D试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D．【例4】有4名优秀大学毕业生被某录用。该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（）A．120B．240C．360D．480【答案】C试题分析：先将四个大学生分成三份,共有种可能,再在五个科室在选三个,共有,所以共有种,故应选C．【例5】6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为（）A．72B．120C．144D．288【答案】D试题分析：先排甲，再排乙，，故选D．【例6】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【答案】B试题分析：先排星期五,从人中选人有,种,再从剩下的人中选人参加星期六、星期日,有种,故共有种,选B．【举一反三】1．从6名学生中，选出4个分别从事A、B、C、D项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作，则不同的选派方案共有（）A．96种B．180种C．240种D．280种【答案】C试题分析：取甲乙外的一个人从事工作有中方法，从剩余人中选人安排其余工作有种，所以不同的选派方案共有种，故选C．2．用1、2、3、4四个数字可以组成百位上不是3的无重复数字的三位数的个数是．【答案】18试题分析：先从1，2，4种选一个确定百位，其它位置的数的任意排，故有种3．6名志愿者选4人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（）A．60B．70C．80D．90【答案】A试题分析：若乙被选上，则乙不能去水立方，只能去鸟巢，共有种选派方法，若乙不被选上，共有种选派方法，所以共有种选派方法，故选A．4．计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】A试题分析：两种情况，第一种情况安排个场地，每个场地安排项比赛，方法数有种；第二种情况，一个场地安排两场，第二个场地安排一场，方法数有种；综上所述一共有种方案．5．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有_____________种不同选法．【答案】120试题分析：“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，故选人种数为=40+60+20=1206．把四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（）A．36种B．30种C．24种D．18种【答案】B试题分析：分两步进行分析:先计算把四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将件玩具分成组,其中组有件,剩余组各件,有种分组方法,再将这组对应三个小朋友,有种方法,则有种情况；计算两件玩具分给同一个人的分法数目,若两件玩具分给同一个人,则剩余的件玩具分给其他人,有种情况．综上可得,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有种,故选B．知识点二、二项式定理1．二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；．2．二项展开式形式上的特点(1)项数为．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为．(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．(4)二项式的系数从，，一直到，．3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，．(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，4．注意:（1）．分清是第项，而不是第项．(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解．(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系．(4)在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．【典型例题】【例1】的展开式中常数项为（）A．6B．2C．2D．6【答案】A展开式的通项为，令，则，∴的展开式中常数项为，【例2】的展开式中，的系数为（）A．15B．15C．60D．60【答案】C试题分析：依题意有，故系数为．【例3】若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（）A．－20B．－30C．15D．20【答案】A试题分析：由题意得，，所以展开式的通项为，令，所以展开式中的常数项为，故选A．【例4】的展开式中的系数为（）A．25B．5C．15D．20【答案】C试题分析：，含有项的构成为，所以展开式中的系数为15，故选C．【例5】展开式中常数项为（）A．B．C．D．【答案】B试题分析：因为，中含有的常数项为，中含有的常数项为，故展开式中常数项为，故选B．【例6】已知的二项展开式中含项的系数为，则的值是（）A．B．C．D．2【答案】C试题分析：，含的项为，因此，【举一反三】1．在二项式的展开式中，项的系数为（）A．B．C．D．【答案】A试题分析:因，，故项的系数为2．在的展开式中的常数项是（）A．B．C．D．【答案】A试题分析：由二项式定理可知展开式的通项公式为，令，常数项为3．已知展开式中各项系数和为625，则展开式中含项的系数为（）A．216B．224C．240D．250【答案】A试题分析：由题意得：，因此，由得，系数为选A．4．的展开式中含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：，项的系数为中、与的系数决定，即，故选D．5．展开式中的常数项为（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：∵，∴，令，即，∴常数项为,故选C．6．已知的展开式中含的项的系数为，则（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：根据所给二项式可得，展开式的通项为，展开式中含的项的系数为，所以，所以，所以，解得，故选C．【课堂巩固】1．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8 B．24 C．48 D．120答案C解析末位数字排法有Aeq\o\al(1,2)种，其他位置排法有Aeq\o\al(3,4)种，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48种．2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种 B．10种 C．18种 D．20种答案B解析方法一不同的赠送方法有eq\f(A\o\al(4,5),A\o\al(2,2)A\o\al(3,3))＝10种．方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有Ceq\o\al(1,4)＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有Ceq\o\al(2,4)＝6种赠送方法．因此共有4＋6＝10种赠送方法．3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24．4．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A．Ceq\o\al(2,7)Aeq\o\al(5,5)B．Ceq\o\al(2,7)Aeq\o\al(2,2)C．Ceq\o\al(2,7)Aeq\o\al(2,5)D．Ceq\o\al(2,7)Aeq\o\al(3,5)答案C解析首先从后排的7人中抽2人，有Ceq\o\al(2,7)种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有Aeq\o\al(2,5)种．由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是Ceq\o\al(2,7)Aeq\o\al(2,5)．5．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．106．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45B．55C．70D．807．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．A．9B．8C．7D．68．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6B．7C．8D．99．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．12010．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．7B．7C．28D．2811．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为________．答案30解析分两类：男1女2或男2女1，各有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)和Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)种方法，所以选法种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝12＋18＝30．也可用间接法Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,3)＝30．12．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________．答案60解析从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)＝90．重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(2,5)＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60．13．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90种分派方法．14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共Aeq\o\al(3,4)种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种分法．总获奖情况共有Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60种．15．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有Ceq\o\al(1,16)种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有Ceq\o\al(2,19)种不同取法，共有Ceq\o\al(1,16)×Ceq\o\al(2,19)＝2736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有Ceq\o\al(1,16)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,16)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(3,16)＝1136种．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：Ceq\o\al(3,20)－Ceq\o\al(3,4)＝1136种．答案113616．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．答案1560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560条毕业留言．17．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有Aeq\o\al(4,4)种方法，而A，B可交换位置，所以有2Aeq\o\al(4,4)＝48种摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2Aeq\o\al(3,3)＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种．18．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________．19．已知(1＋x＋x2)的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，n=．20．在的二项展开式中，x11的系数是_____．21．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端．解(1)∵两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,2)＝1440种站法．(2)∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144种站法．(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有Aeq\o\al(6,6)＝720种站法，当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有Aeq\o\al(5,5)×5×5＝3000种站法．根据分类加法计数原理知共有720＋3000＝3720种站法．22．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．23．已知的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【课后练习】正确率：________1．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个．小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）A．96种B．120种C．480种D．720种【答案】C试题分析：梨子的不同分法共有,选C．2．某班某学习小组共7名同学站在一排照相，要求同学甲和乙必须相邻，同学丙和丁不能相邻，则不同的站法共有（）种．A．B．C．D．【答案】A试题分析：根据题意，分步进行分析，①因为甲和乙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有种情况，②将除去甲、乙、丙、丁剩下的个人和整体看成，有种情况，③元素不相邻利用“插空法”；则共有种情况，故选：A．3．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法A．B．C．D．【答案】A试题分析：由题意得，个人之间形成个空，插入个座位，可得不同的坐法共有种，故选A．4．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200B．2400C．3000D．3600【答案】B试题分析：若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为．考点：1．分类计数原理与分步计数原理；2．排列与组合．【名师点睛】本题考查分类计数原理与分步计数原理、排列与组合，属中档题；排列组合是高中数学的重要内容，也是高考命题的一个热点，利用排列组合解决相邻问题用捆绑法，相间问题用插空法，如有特殊元素（位置）可优先安排，如是多元问题分类安排．5．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种B．48种C．64种D．72种【答案】D试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点的涂色方法，有种方法，若点与不同色，则、点只有种涂色的方法，有种涂法，若点与同色，则点有种涂色的方法，共种涂法，所以不同的涂法共有种．法二：用种颜色涂色时，即同色，共有种涂色的方法，用种颜色时，有和同色种情况，共有，故共有种,故选D．6．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A．36B．48C．52D．54【答案】B试题分析：第一类，当从，，中取一个数字，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；第二类，当从，，中取一个数字不是，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个，综上所有不同的三位数的个数是，故选B．7．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与18，则展开式所有项系数之和为（）A．1B．1C．32D．64【答案】D，展开式通项为，所以，解得或，所以展开式中各项系数和为或＝64，故选D．8．的展开式中，的系数为（）A．30B．120C．240D．420【答案】B试题分析：展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B．9．二项式展开式中的系数为（）A．5B．16C．80D．80【答案】C试题分析：根据二项式定理其通项公式为：，则当时，其展开式中的的系数为：，选C．10．设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）A．B．C．D．【答案】A．试题分析：由二项展开的通项公式，令，故的系数是，故选A．11．的展开式中常数项为（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：利用二项式定理的通项公式，，令，，12．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（）项．A．5B．4C．4或5D．5或6【答案】A试题分析：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，,第项系数为时最大,故展开式中系数最大的项为第项．故选A．13．展开式中常数项为（）A．252B．－252C．160D．－160【答案】A试题分析：．展开式通项公式令当且仅当时，为常数项．故A正确．14．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）【答案】30试题分析：由题意得，从7个人中不讲顺序的挑3个人，共有种，除掉不符合题意的事件有：3名全部是女生的有种，3名全部是男生的有种，所以符合题意的选法共有30种15．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为．【答案】60试题分析：①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种．②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有种．故所有的出场顺序的排法种数为36+24=6016．六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为。【答案】试题分析：当所取四位数字不含时，不同的四位奇数的个数为；当所取四位数字含时，不同的四位奇数的个数为,所以不同的四位奇数共有个．17．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中，共选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有_________（用数字作答）．【答案】18【解析】试题分析：．18．在的展开式中，若第四项的系数为84，则实数的值为__________．【答案】，即，解得．19．在的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．【答案】120；原式等于，中含有的项为，中含有的项为