2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题01集合学生版

专题01集合一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.【考点预测】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.【常用结论】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).【方法技巧】1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.4.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.5.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.6.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.二、【题型归类】【题型一】集合的含义与表示【典例1】已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6【典例2】若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.【典例3】已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，则集合A中的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6【题型二】集合的基本关系【典例1】已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．AB B．BAC．A⊆B D．B＝A【典例2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4【典例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．【题型三】集合的运算【典例1】(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是()A．P∪Q＝RB．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}D．P∩Q的真子集有3个【典例2】A．M∩N＝∅ B．M＝NC．M⊆N D．N⊆M【典例3】已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－eq\r(5)<x<5}，则()A．A∩B＝∅ B．A⊆BC．B⊆A D．A∪B＝R【题型四】利用集合的运算求参数【典例1】已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______________________．【典例2】已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<1B．a≤1C．a>2D．a≥2【典例3】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．(1)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；(2)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；(3)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数m的取值范围．【题型五】Venn图及其应用【典例1】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)等于()A．P B．M∩P C．M∪P D．M【典例2】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．【典例3】已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则右图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}【题型六】集合的新定义问题【典例1】定义集合的商集运算为eq\f(A,B)＝{x|x＝eq\f(m,n)，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝eq\f(k,2)－1，k∈A}，则集合eq\f(B,A)∪B中的元素个数为()A．6 B．7C．8 D．9【典例2】如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．三、【培优训练】【训练一】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.【训练二】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________.【训练三】对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．【训练四】已知集合A＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)<0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2a,x－（a2＋1）)＜0)).(1)当a＝2时，求A∩B；(2)求使B⊆A时实数a的取值范围．【训练五】已知集合A＝x,yx24+y22=1，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，【训练六】(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素四、【强化测试】【单选题】1.若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A中的元素个数为()A.3 B.4 C.5 D.62.已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝()A.{x|0≤x<1} B.{x|－1<x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1}3.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝()A.{0} B.{0，1，3，5}C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}4.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．95.设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝eq\r(7x－x2－6)}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A．3 B．4 C．7 D．86.已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B＝{1,2,3,5}，则(∁UA)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}7.已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)8.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【多选题】9.已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是()A.A∩B＝∅B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}C.A∪∁RB＝{x|x≤－1或x＞2}D.A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}10.已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为()A．{2,3,4} B．{3,4,5}C．{4,5,6} D．{3,5,6}11.已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是()A．A∩B＝∅ B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A12.若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))，则下列结论正确的是()A.A∪B＝B B.∁RB⊆∁RAC.A∩B＝∅ D.∁RA⊆∁RB【填空题】13.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝__________.14.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为15.若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．16.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为【解答题】17.已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，求a的值．18.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)＝eq\r(x2－x－2)的定义域集合是A，函数g(x)＝lg[(x－a)(x－a－1)]的定义域集合是B.(1)求集合