专训1-用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关问题

阶段方法技巧训练（一）专训1用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关问题习题课反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．反比例函数的比例系数k与面积的关系如图，A，C是函数y＝的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2C．S1＝S2

D．S1和S2的大小关系不能确定C1训练角度2．【2017·宜宾】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(－3，m＋8)，B(n，－6)两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．解：(1)求一次函数与反比例函数的解析式；将点A(－3，m＋8)的坐标代入反比例函数y＝得，＝m＋8，解得m＝－6.∴m＋8＝－6＋8＝2，∴点A的坐标为(－3，2)，反比例函数解析式为y＝－.将点B(n，－6)的坐标代入y＝－，得－＝－6，解得n＝1，∴点B的坐标为(1，－6)．将点A(－3，2)，B(1，－6)的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数解析式为y＝－2x－4.如图，设AB与x轴相交于点C.令－2x－4＝0，解得x＝－2，∴点C的坐标为(－2，0)，∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC

＝

×2×2＋

×2×6

＝2＋6＝8.(2)求△AOB的面积．解：3．如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，求四边形ACBD的面积．由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝

×|－4|＝2.因为OC＝OD，AC＝BD(易求得)，所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2.所以四边形ACBD的面积为S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝2×4＝8.解：训练角度2已知面积求反比例函数解析式题型1已知三角形面积求函数解析式4．【2016·绵阳】如图，直线y＝k1x＋7(k1＜0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝(k2＞0)在第一象限的图象交于C，D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为点C的横坐标为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．解：(1)求反比例函数的解析式；对于直线y＝k1x＋7(k1＜0)，当x＝0时，y＝7，当y＝0时，x＝－

，∴点A的坐标为

，点B的坐标为(0，7)．∴OA＝－

，OB＝7.∴S△AOB＝

OA·OB＝

×

×7＝解得k1＝－1.∴直线AB对应的函数解析式为y＝－x＋7.∵当x＝1时，y＝－1＋7＝6，∴点C的坐标为(1，6)．∴k2＝1×6＝6.∴反比例函数的解析式为y＝解：(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．由得∴点D的坐标为(6，1)．当x＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点为(2，4)；当x＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点为(3，3)；当x＝4时，反比例函数图象上的点为(4，)直线上的点为(4，3)，此时可得整点为(4，2)；当x＝5时，反比例函数图象上的点为(5，)，直线上的点为(5，2)，此时，不存在整点．综上所述，符合条件的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)．5．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝在第二象限的图象的交点，B，D两点在坐标轴上，且矩形ABOD的面积为3.(1)求两函数的解析式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．题型2已知四边形面积求函数解析式解：(1)求两函数的解析式；由图象知k＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k＝－3.∴反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x＋2.解：(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；由解得∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．解：(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点为M，则M的坐标为(0，2)．∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝×PM×(|－1|＋|3|)＝5，∴PM＝

，即|m－2|＝.∴m＝或m＝－∴点P的坐标为(0，)或(0，－).

训练角度3已知反比例函数解析式求图形的面积题型1利用函数解析式求面积6．【中考·安徽】如图，已知反比例函数y＝

与一次函数

y＝k2x＋b的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝

的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．解：(1)求k1，k2，b的值；把A(1，8)的坐标代入y＝，得k1＝8.把B(－4，m)的坐标代入y＝，得m＝－2.把A(1，8)，B(－4，－2)的坐标代入y＝k2x＋b，可得k2＝2，b＝6.解：(2)求△AOB的面积；设直线AB与x轴的交点为C，当y＝0时，2x＋6＝0，解得x＝－3.∴C(－3，0)．∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC

＝×3×8＋×3×2＝15.(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝

的图

象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位

于哪个象限，并简要说明理由．解：点M在第三象限，点N在第一象限．理由：∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y＝

的图象上，∴当M(x1，y1)，N(x2，y2)在同一象限时，x1＜x2，

则y1＞y2.∵x1＜x2，y1＜y2，∴M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限．∴点M在第三象限，点N在第一象限．题型2利用对称性求面积7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y＝－，y＝.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形．因为点A为y＝的图象上的一点，所以S矩形AEOH＝6.所以S矩形ABCD＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．答：所需钢条一共花600元．题型3利用点的坐标及面积公式求面积8．【2017·菏泽】如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象在第一象限交于A，B两点，B点的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC＝CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积．解：(1)求一次函数和反比例函数的表达式；如图，过点A作AF⊥x轴，垂足为F，交BD于E.∵点B(3，2)在反比例函数y＝的图象上，∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝.∵B(3，2)，∴EF＝2.∵BD⊥y轴，OC＝CA，∴AE＝EF＝AF，∴AF＝4，∴点A的纵坐标为4.∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴点A的横坐标为，∴A(,