专训5-利用三角函数解判断说理问题

阶段方法技巧训练（二）专训5利用三角函数解判断说理问题习题课

利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．1类型航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A

处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏

东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此

时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周

围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，

该货船有无触礁危险？试说明理由．若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.依题意，知AB＝24×＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝

，∴BD＝

CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝

，∴AD＝

CD.又∵AD＝AB＋BD，∴CD＝12＋

CD，解得CD＝6海里．∵6＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．解：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风

景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为

圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.

为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的笔

直高速公路．问连接A，B两市的笔直高速公路会穿过

风景区吗？请说明理由．2类型工程规划问题不会穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝

＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A，B两市的笔直高速公路不会穿过风景区．解：3拦截问题类型3．【中考·荆门】如图，在一次军事演习中，蓝方在一

条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方

在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，

红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红

方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同

的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到

公路的距离．(结果不取近似值)如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，拦截点D处到公路的距离DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝

BC＝×1000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000米，∴CF＝

CD＝500(米)．∴DA＝BE＋CF＝(500＋500)米，即拦截点D处到公路的距离是(500＋500)米．解：4台风影响问题类型4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强

台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南

偏东20°方向200km的海面P处，并以20km/h

的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一

个圆形区域，当前半径为60km，且圆的半径以10km/h的

速度不断扩大．(1)当台风中心移动4h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大

到________km；当台风中心移动t

h时，受台风侵袭的圆

形区域半径增大到___________km.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否

会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)100(60＋10t)不会，理由如下：过点O作OH⊥PQ于点H，如图．在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200km，∴OH＝PH＝OP·sin∠OPH＝200×sin45°＝100≈141(km)．设经过xh时，台风中心从P移动到H.∵台风中心移动速度为20km/h，∴20x＝100，∴x＝5.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×5≈130.5(km)