专训3-构造三角形中位线的方法

阶段方法技巧训练（一）专训3构造三角形中位线的方法习题课三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连接中点，构造三角形的中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，构造三角形的中位线．1方法连接两点构造三角形的中位线1．如图，已知点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM

DC，PN

AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC.∴AE＝DC.∴PM＝PN.(1)证明：如图，设PM交AE于F，PN交DC于G，AE交DC于H，由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°.∴∠FHG＝120°.∵PN∥AE，PM∥DC，∴四边形PFHG为平行四边形．∴∠MPN＝120°.(2)解：2方法利用角平分线和垂直构造三角形的中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．如图，延长BD，CA交于N.∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠NAD＝∠BAD.又∵AD⊥BD，∴∠ADN＝∠ADB＝90°.在△AND和△ABD中，∴△AND≌△ABD(ASA)．∴DN＝DB，AN＝AB.解：∵M为BC的中点，∴DM是△BCN的中位线．∴DM＝

NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15.3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，连接DE，求DE的长．同类变式3方法倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．求证：ME＝

CF.如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝

AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.证明：在△BCF和△BAN中，∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝

CF.4方法5．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线如图．连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN.∵M是AD的中点，P是BD的中点，∴PM是△ABD的中位线．∴PM＝

AB＝5.同理可得PN＝

CD＝4.在△PMN中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.解：5方法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证：AN＝

AC.已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵H为NC的中点，∴DH为△BNC的中位线．∴DH∥BN.∵HE∥AD，∴四边形PDHE是平行四边形．证明：∴HE＝PD.又∵