浙江2+2考试-高等数学不定积分重点难点复习例题讲解

不定积分

一、基本要求

1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。

3.了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。

二、主要内容

I.原函数与不定积分概念

1.原函数

设在区间I上尸(X)可导，且F'(x)=/(x)(或dF(x)=/(x)dx)就称P(x)为/(X)在

I的一个原函数。

2.不定积分

在区间I上函数/(x)的所有原函数的集合，成为/(x)在区间I上的不定积分，

记作J/(x)dx.

j/(x)Jx=F(x)+C

其中尸(x)为/(x)在I上的一个原函数，C为任意常数.

n.不定积分的性质

1.dJ/(x)dx=f(x)dx(或(J7(x)dx)'=/(x))

2.j#(x)=/(x)+C(或/(x)dx=/(x)+C)

3.kf(x)dx=k\f(x)dx其中k为非零常数.

4-J"(x)+g(x)]dx=J/(x)dx+g(x)dx.

m.基本积分公式

1.^kdx=kx+C(人为常数)

2.\xudx=-xu+'+C

3.^—dx-ln|x|+C

rdx八

4A.---------arctanx+C

Jl+x2

「fdx.八

o.I-,r—urcsinx+C

6.jcosxdx=sinx+C

7.jsinxdx=-cosx+C

8.jsec2xdx=tanx+C

9.jcsc2xdx=-cot^+C

10.jsecxtanxdx=secx+C

11.jcscxcotA,tir=-CSCX+C

12.^exdx=ex-vC

13.\axdx^-ax+C

JIna

14.^shxdx=chx+C

15.^chxdx=shx+C

16.jtanxdx=-ln|cosx|+C

17.jcotxdx=ln|sinx|+C

18.jsecxdx=ln|secx4-tanx|+C

19.jcscxdx=ln|cscx-cotx|+C

“tdx1x「

20.—........---arctan—+C

Ja~+xaa

dx1.\x-a\「

———7=——In----+C

x-a2a|x+a|

rdx•x八

22.一丁一-=arcsin—+C

JJ/a

24.——==ln(x+yjx2-a2)+C

IV.换元积分法

1.第一类换元法.(凑微分法)

(x)dx==F(M)+C=/[“(x)]+C(〃=0(x))

(其中0(x)可导，F(M)为J/(x)的一个原函数).

2.第二类换元法

\fMdx=J"。"⑺力=尸⑺+C=F[(p-'(x)]+C(x=c(f))

(其中x=夕⑴单调可导,且夕«)wo,产a)为/[9⑺]“⑺的一个原函数)

V.分部积分法

J“(x)dv(x)=«(x)v(x)-jv(x)i/«(x)

(其中«(x)v(x)具有连续导数)

VI.有理函数与三角函数有理式的积分

两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代

数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四

种部分分式的积分.

⑴[―1—6/X⑵[——dx

x-aJ(x-a)"

/c、rbx+c,/,\rbx+c,

⑶---------dx(4)------------dx

Jx+px+qJ(x+px+q)”

而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.

x

三角函数有理式的积分，总可用万能代换〃=tan上将原不定积分化为“为积分变量的

2

有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公

式或积分方法求解，可能更简便些.

三、重点与难点

原函数与基本积分公式

换元法、分部积分法等基本积分方法

抽象函数的积分

四、例题解析

I、选择题

例1若]7(x)的导数是COSX,则/(X)有一个原函数为()

(A)1+cosx(B)1-cosx(C)1+sinx(D)1-sinx

解应选(B).因为(1一cosx)=sinx,而(sinx)=cosx

例2设J/(x)有原函数xlnx,则Jxlnxdx=()

/、11

(A)x2(—+—Inx+C)(B)x~(—l—Inx+C)

2442

(C)x2(---lnx+C)(D)x2(———Inx+C)

4224

1

而/(x)=(xlnx)=Inx+Lf(x)=—,故

x

2

f.xrx,X2X2X2X2.人

Ixfr/(^xx)clx——(Z1Inx+11)X—J—dx——(z|Inx+1lx)-----FC=---1---Inx4-C

222442

所以应选(B).

II、填空题

例3设/(x)为定义区间上单调连续可微函数，/T(X)为相应的反函数，若

j7(x)dx=P(x)+C,则]7T(x)dx为

解\f-'(x)dx=xf-'M-\xdf-'(x)

=尸(加团尸(切旷代)

^xf-\x)-F[f-\x)]+C

皿、讨论题

例4解下列各题，并比较其解法：

(1)[-----rdx(2)f-----rdx(3)f-----^dx(4)[----,dx

J2+x2J2+x2i2+x212+x2

122

解⑴t/(2+x)=^ln(2+x)+C.

32+x2

(2+3—22

⑵dx=|(1-)dx

2+x22+x2

-X-42arctan+C.

V2

2+X2-2

⑶「小和)dx2

2+x2

,1

=-(x2-21n(2+x2))+C

x，4+42

(4)dx=j(x-2+242)dx

上2+x“2J」2+x2

了31

------2x+2^/2arctan--+C

3V2

比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特

点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次,

需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中

分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母

二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项伤第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算

过程中需针对具体情况选择适当方法求解。

例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设/(〃)+。)

(1)^f(ax+b)dx=—^f(ax+h)d(ax+b')

=—^f(u)du(〃=)

=-F(M)+C

a

=—F(ax-^-h)+C

a

(2)[f(axn+b)xn~}dx=—\f{axn+b)d(axn+。)

Jan

=—[f(u)du(u-axn+h)

an」

=—F(w)+C

an

—F(axn+b)+C

an

x3

如求fr—上』dx

J(cosx4)2

解原式，f——=；tan(/)+C

4J(cos

(3)j/(lnx)—Jx=j/(lnx)Jlnx==F(u)+C=/(lnx)+C

(w=inx)

,_pfV2+lnx

如n求---------dx

Jx

3—

解原式=R2+ln"(2+lnx)=：(2+lnx)3+C

(4)j/(sinx)cosxdx=j/(sinx)dsinx

F(sinx)+C

^f(coxx)sinxdx=j/(cosx)dcosx

=-F(cosx)+C

[/(tanx)-----dx=f/(tanx)dtanx

Jcoxx」

=F(tanx)+C

,„rcosx,

如求------T—dx

J3+cosx

解原式=f------1~—Jsinx

J3+l-sin2x

=[-----------dsinx

J4-sinx

1r11”•

=7I(7—：—+--：—)dsinx

4J2-sinx2+sinx

112+sinx-

=-ln-----；—+C

42-sinx

其它一些类型，例如J/(arctanx)[1^/x,Jf(arcsinx)不上与dx,^f(ex)exdx等,

请同学们自己加以总结.

V.计算题

2

厂arctanx.

例6求------8~ax

1+x2

分析此题先把被积函数写成

x2arctanx1+x2—1i1

-------1—=------；—arctanx=arctanx-------arctanx

l+x21+x21+x2

拆成两项再进行积分较方便.

ANrxarctanx,1,

解-------；~ax=(1------)xarctanxax

J1+x2J1+x2

r,rarctanx,

Jarctanxax-J—----dx

=xarctanx-[x-----dx-farctanxdarctanx

J1+x2J

112

=xarctanx——ln(l+x2)——(arctanx)+C

22

rxcx

例7求fxe"x

J©-If

rxe,rx,

解11----idx=-；----Tdex

J("—I)?2—

=———+f(l-——x+lnle-'-ll+C

exJex-1ex11

例8求JJl/Ot

解令工=5布£,则dx=COS/力

2

rVl-x,rcosz,f2,

---z—dx=———costdt=cottdt

Jx2Jsin2r」

=j(csc21-X)dt=-cotr-r+C

-----------arcsinx+C

x

例9求J—---dx

>+ex

三2

解令e"=t,即x=21nf,dx=—dt

r1,ri2.2,

-------dx=----T—dt=r-------dt

J[rh+ft」产(1+f)

e2+e

2

"(l+f)

=2(-y-ln|f|+ln|l+r|)+C

XX

=21n(l+/)—2e《—x+C

―人分fxarctanx,

例10求J-------Tdx

(l+，)5

解令x=tant,dx-sec2tdt

xarctanx,ftanr-r,

--------dx=----sec2tdt

:Jsec*t

(1+x92)2

-psintdt--p^cosr=-[rcosr-jcosrJr]

.­XIc

=smf-tcosf+C=———■arctanx+C

7i+%2VriT%1

例11求|■(上')2/公

J1+x

1-2x+x2

解Ye'dx=]exdx

1(£(1+x2)2

r2xex

dx

J(1+x2)2

e,ere,e八

--------rdx+--------r---------rax+C

1+x-1+%-J1+%-----------1+x

注：最后一步等号成立是因为可设——的一个原函数为尸（X）,于是

1+x

fe.ere,

--------ax+--------7---------7ax

}\+X21+X2+X2

3G+15m+GX&+C

求f—5—dx的递推公式

例12

Jsin"x

解记I,”=[—--dx,贝UI〕=Inlcscx-cotx|+C.

Jsin"'x

当加22时，

I=\^-11

——-dx—dcotx

m：m-2

Jsinsin"?%,sinsinx

cotx/c、rcosx.

-(m-2)cotx-----------ax

sin™-2xJsinx

cosx/八、rcos2x,

一（〃「2）J赤公

sin"Ix

i•2

cosx1-sinx,

--------------ax

sin"ixsin"'x

"-(一『

—dx

sinxJsin*2x

cosx/c、T/z

-^--(W-2)Iw+(m-2)Iffl_2

cosx—2T

即一+-----1m-2

(1-m)sin^-1xm-\

例13求[--------丁二-------dx

JX(X-2)2(X2+X+1)

血1ABiB,Cx^D

x(x—2)(x~+x+1)x(x—2)~x—2厂+x+l

去分母后，再比较两边同次幕的系数得

A=~,B.=一，B,=—,C

41142196*。=4

1

于是dx

x(x—2)~(x~+x+1)

17Jx-f.(8.r+3)

dx

心+『196(x-2),49(x2+x+l)

QQ

Qq_(2x+1)+(3—)

而一产-dx

X+X+1JX+x+\

d(x+g)

d(x2+X+1)r2

=42

X+x+lJ,1、23

24

“/21、22x4-1

4ln(x+x+1)—尸arctan—尸—FC

V3V3

1

从而dx

x(x—2)~(x~+x+1)

1117,,74.222x+1

=；吨一--------Inx-2-—ln(x-+x+1)H-------尸arctan—尸—FC

14x-2196149496V3

例14求-dx

(1-x2)5

分析被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用

较灵活的基本积分方法.此题利用换元法计算较简便.

解令》=5布/,dx=cos/Jr

.7

rSint,r72」

-7dx------costdt=tantsec-tdt

(I*)'JCOStJ

|tan7ft/tanf=tanst+C

X8

+C.

8(1-x2)4

例15求—---------r—dx

sinxcosx

分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令M=tanX4”之外，往往可考虑用前面

2

的基本积分方法.

sin*2x+cos2x.

解f——J-公二----------z----dx

Jsinxcosxsinxcosx

1

-1dx

sinxcosx

r1

13cosx+-dtanx

JCOS'XtanA-

1

+ln|tanx\+C.

2cos2x

sinx,

例16求--------ax

J2-sin2x

sinx,1r(sinx-cosx)+(sinx+cosx)

解J--------ax=--------------------------------------dx

2-sin2x22-sin2x

-J(sinx+cosx)fd(sinx-cosx)

23-(sinx+cox»1+(sinx-cosx)2

-d(sinx+cosx)J(sinx-cosx)

+

2+sinx+cosx)(V3-sinx-cosx)1+(sinx-cosx)2

11sinx+cosx-V3

In+arctan(sinx-cosx)+C.

2273sinx+cosx+V3

i—,fsinxrcosx,

例17求I=-------------；—dxf,7r=-------------；—dx.

xJ2cosx+3sinx2~J2cosx+3sinx

解3/1+2,2Jdx=x+G

-2Z+3Z=「2sinx+3cosx公=词2cosx+3sin+g

12J2cosx+3sinx

由此得

/,^^[3x-21n|2cosx+3sinx|]+C

7,=^[2x+31n|2cosx+3sinx|]+C.

例18求[J-^—=dx

叫l+«

解令而忑=t,x=(r3*-I)2,贝ijdx=6J«3—i)df.

=j^6t2(t3-l)dt=j6t(t3-l)dt

-t5-3t2+C

5

6

=|(l+Vx)士5-3(l+«"—+C.

例19计算下列各题

⑴13)("叫"

」17'(幻[八X)fJ

⑵设尸(cosx+2)=sin?+tan?x,求/(x).

设/(Inx)=-n(1+-^,求J/(x)dx.

⑶

2

(4)已知/'(sinx)=cosx-1且/(0)=0,求Jcos^(sinx)t/x.

f(x)[fXx)]2-f\x)f(x)

解⑴原式=Jdx

"'(X)]3

:/(r)[f'M]2-/(X)/〃(x)

=J;(x)dx

喘T给+c

1-cos2x

(2)设cosx+2=r,则sin2x+tan2x=1-cos2A-+

cos2x

——\-----cos2x=——1---(r-2)2

cos-(x)(，-2)-

即/()=―J-"2)2.

”-2)-

/(x)=]7'(x)dx=f[-~?-^--(x-2)2]t/x,

JJ(x-2)

11R

即fM=——---(X-2)3+C.

x-23

⑶/(Inx)即有

J/(x)dx=4(I：，)dx=-jln(l+")加一‘

=-e-x\n(l+ex)+

J1+e'

=x—(l+eT)ln(l+/)+C.

(4)/'(sinx)