专题4-3数列求和错位裂项分组倒序

专题43数列求和一、错位相减法类型一：（其中是等差数列，是等比数列）类型二：（其中是等差数列，是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型=1\*GB3①；②类型二：无理型类型三：指数型类型四：通项裂项为“”型，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.类型五：分母为指数型乘2个一次函数型三、分组求和法如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和2023·新高考Ⅱ卷——分奇偶（分组）求和1.

已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.2022·新高考1卷——裂项求和2.

已知，证明：．【详解】∴2020·全国Ⅲ卷（理）——错位相减3.

已知，求数列的前n项和Sn.方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．（2）由（1）可知，［方法一］：错位相减法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最优解】：裂项相消法，所以．［方法三］：构造法当时，，设，即，则，解得．所以，即为常数列，而，所以．故．［方法四］：因为，令，则，，所以．故．【点评】方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．2021年全国新高考I卷T164.

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么.【答案】5【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一错位相减已知，若数列满足，求和：．【答案】【详解】因为，所以，两式相减得又满足上式，所以又，所以则，，两式相减得：.已知正项数列的前n项和为，且满足，(1)求 (2)求【答案】(1)；(2)【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合等差数列的定义和通项公式求出.【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得，由，代入得，整理后得，即，根据等差数列的定义可知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，（2）由(1)可知，，（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，且，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用累加法求出，从而可求得的通项公式；（2）由结合（1）可求出，然后利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以当时，，得；当时，，所以（时也成立）．因为，所以，所以，故．记数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．【答案】(1);(2)7【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.【详解】（1）因为，所以，当时，，故，且不满足上式，故数列的通项公式为（2）设，则，当时，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合题设条件的m的最小值为7（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．【答案】【详解】，集合的非空子集有个，其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个，含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个，所以最小元素为1的子集个数为个，同理，最小元素为2的子集个数为个，……，最小元素为的子集个数为1个，∴，，∴，则．已知设，求数列的前n项和.【答案】【详解】所以，所以，所以①，②，得，题型二裂项相消2023秋·湖南师大附中月考（二）已知数列满足，当时，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】(1),(2)证明见解析【分析】（1）根据题意化简得到，得到数列为等差数列，进而求得数列的通项公式；（2）由，得到，结合裂项求和及，即可得证.【详解】（1）解：由，可得，即，则数列是公差为的等差数列，又由，可得，则，可得，所以数列的通项公式是.（2）解：由，则.所以.因为，所以，即.已知，设，证明：.【详解】解：因为，，故 .已知，设，求数列的前项和.【答案】【详解】，所以已知，求证：.【详解】..另解：.得证已知，若，求数列的前n项和【详解】由，可得，则数列的前项和为.已知，若，求的前n项和.【详解】，所以.已知正项数列的前n项和为，且满足，(1)求(2)求【答案】(1);(2)【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合等差数列的定义和通项公式求出.(2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得，由，代入得，整理后得，即，根据等差数列的定义可知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，（2）由(1)可知，，已知，数列前项和，记，设数列的前项和为，求证【解答】，，，，，，.题型三分组求和（2023·河北沧州·校考三模）已知，设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.【答案】【详解】由为数列在区间中的项的个数，可知，，.当时，；当时，；当时，；当时，.∴.若数列的前项和为，且，则（

）A．684 B．682 C．342 D．341【答案】B【分析】根据等比数列求和公式以及并项求和法得出结果.【详解】，，，，，所以.已知，若数列满足，求数列的前项和．【答案】【详解】因为，所以，所以．已知，设，数列的前项和为，求.【答案】【详解】.已知，求满足的最大整数.【答案】11【详解】，当时，，当时，，又易知当时，，故时，和式，故满足的最大整数为11.（2023·山东泰安·模拟）已知，求数列的前项和.【答案】【详解】，设，其前n项和为，所以，①，②①②得，所以，所以当时，，当时，，所以.（2023·广东二模）已知，若数列满足，求数列的前2n项的和．【解析】所以，所以，，所以数列的前2n项的和．已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前20项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据、累乘法求得和的通项公式；（2）结合分组求和法、裂项相消求和法求得.【详解】（1）对于，当时，，当时，由得，两式相减得，由于，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.对于，，所以，也符合上式，所以.（2）当为奇数时，；，所以.当为偶数时，；所以.所以.（2023·吉东北师大附中一模）已知各项均为正数的数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，两边同除从而得到，则得到其通项；【详解】（1）因为各项为正数，，所以上式两边同时除以，得，令，则，即，解得（负值舍去），所以，又，所以是以，的等比数列，故.（2），当时，，当时，，当时，，当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，则记，为数列的前n项和，已知，．(1)求，并证明是等差数列；(2)求．【答案】(1)，证明见解析；(2)【详解】（1）解：已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．（2）解：由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，.题型四倒序相加（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法，即可求解．【详解】当时，，，，，，，即.（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为.【答案】【分析】利用倒序相加法结合组合数的性质可求的前n项和.【详解】设的前n项和为，则，又，故，故已知函数，则；设数列满足，则此数列的前2023项的和为.【答案】【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可，【详解】解：已知，则，，所以，则，已知数列，，，数列的前2023项的和，且，两式相加，得（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数