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文档简介
函数的应用(一)
新课程标准解读核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学
数学建模、数学运算
语言和工具
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化
数学建模、数学运算
规律
随着经济和社会的发展,汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售
公司对近三年的汽车销售量的统计表:
年份201820192020
销量/万辆81830
结合以上三年的销量及人们生活的需要,2021年初,该汽车销售公司的经理提出全年
预售43万辆汽车的目标……
[问题](1)在实际生产生活中,对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信
息?
⑵你认为该目标能够实现吗?
知识点常见的几类函数模型
函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)=ax-\'b{a,8为常数,aWO)
二次函数模型f^x)=ax+bx~\~c{a,b,c为常数,HWO)
fi(Q,zW©i
22(最9xGDz
分段函数模型f(力=<
••>点w点、・
求解函数应用题的程序
1.某物体一天中的温度7与时间《满足函数关系:7(t)=t3-3t+60,时间的单位是
小时,温度的单位是℃,2=0表示中午12:00,其前t值为负,其后t值为正,则上午8
时的温度是()
A.8℃B.12℃
C.58℃D.18℃
解析:选A求上午8时的温度,即求£=—4时的值,所以7(—4)=(-4”-3X(一
4)+60=8.故选A.
2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,m
nr
n乙
O
丙车最先到达终点,丁车最后到达终点.若甲、乙两车的S-力图像如图所示,则对于丙、
丁两车的图像所在区域,判断正确的是()
A.丙在III区域,丁在I区域B.丙在I区城,丁在III区域
c.丙在II区域,丁在I区域D.丙在iii区域,丁在n区域
解析:选A由图像可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在m
区域,丁在I区域,故选A.
3.某商品进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1
元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个元.
解析:设涨价x元,销售的利润为y元,
则y=(50+为一45)(50—2x)=—2/+401+250
=-2(X-10)2+450,
所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值.
答案:60
一次函数模型的应用
[例1](链接教科书第122页例2)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元,卖
出的价格是每份0.40元,卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以
30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社
买进的报纸份数必须相同,试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸,才能使每月所
获得利润最大,每月最多可获利多少元?
[解]设每天从报社买进x份(250WxW400)报纸;每月所获利润是y元,则每月售出
报纸共(20x+10X250)份;每月退回报社报纸共10X(x—250)份.
依题意得y=(0.40-0.24)X(20^+10X250)—(0.24-0,08)X10(x—250).
即y=0.16(20x+2500)-0.16(10^-2500),
化简得尸1.6x+800(其中250WE400).
,此一次函数(y=Ax+6,A=0)的"=1.6>0,
是一个单调增函数,再由250W;s<400知当x=400时,y取得最大值,此时y=
1.6X400+800=1440(元).
...每天从报社买进400份报纸时所获利润最大,每月最多可获利1440元.
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法;
(2)当一次项系数为正时,一次函数为增函数;当一次项系数为负时,一次函数为减函
数.
[跟踪训练]
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次,其中电动车保管费是每辆
一次0.5元,自行车保管费是每辆一次0.3元.
(1)若设自行车停放的辆次为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系
式;
(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中,电动车的辆次数不小于25%,但
不大于40%,试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.
解:(1)由题意得
尸0.3x+0.5(3500—==一0.2x+l750(x^N*且0WxW3500).
(2)若电动车的辆次数不小于25%,但不大于40%,则
3500X(1-40%)<J<3500X(1-25%),
即2100^J<2625.
画出函数y=-0.2x+l750(2100WW2625)的图像(图略),可得函数尸一0.2x+l
750(2100WxW2625)的值域是[1225,1330],即收入在1225元至1330元之间.
2^二次函数模型的应用
[例2](链接教科书第122页例3)渔场中鱼群的最大养殖量为成加>0),为了保证鱼
群的生长空间,实际养殖量x小于血以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实
际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>
0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值.
m—vm—v
[解]⑴根据题意知,空闲率是2故y关于x的函数关系式是/=依•二0W
n
/、।/、,m—xk,k(mk„.,m,
(2)由(1)知,y=kx•--------x9+kx=•x--+—,GWxVm,贝!J当时,y
mmm\2.)42
-"口mk
取得取大值,加*=1.
所以鱼群年增长量的最大值为亍.
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题,是高考考查的重
点.解题时,建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性
等来求函数的最值,从而解决实际问题.
[跟踪训练]
将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,一天可卖出100个.若这种商品的销售
单价每涨1元,日销售量减少10个,为了获得最大利润,此商品的销售单价应定为多少元?
解:设销售单价定为X元,则日销售量减少(X—10)X10个,那么,日销售个数就成了
100-(x—io)X10=200—10x个.
设获利为y元,则
y=(x—8)X(200—1Ox)
=10(—x?+28x—160)
=-10(J-14)2+360,
当x=14时,%ax=360.
所以为了获得最大利润,此商品的销售单价应定为14元.
E对勾函数模型的应用
[例3](链接教科书第123页例5)某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为
一面建造一个平面图形为矩形,占地面积为126的厂房,工程条件是:①建1m新墙的
费用为a元;②修1m旧墙的费用为:元;③拆去1m旧墙,用所得的材料建1m新墙的费
用为楙元.经讨论有两种方案:(D利用旧墙的一段颍15〈14)为矩形厂房的一面;(2)矩形厂
房利用旧墙的一面边长X214.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙总费用最省?(1)(2)
两种方案哪个更好?
[解]易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为当m.设建墙总费用为y元.
X
(1)利用旧墙的一段加(点14)为矩形厂房的一面,则修旧墙的费用为x元,将剩余的
旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14—x)元,
其余建新墙的费用为14%元.
故总费用为尸:•a+宁・a+,+等T4).=
(0<X14).
Y36
当且仅当彳=一,即x=12时,p取得最小值,%in=35a
4x
o7
⑵若矩形厂房利用旧墙的一面边长X214,则修旧墙的费用为"14=1a阮),建新墙
的费用为(2了十卓一14)a元,
故总费用为y=-7a+\(2x+~25^2—14:\\a=7-a+2(^+-]2-6-7\、(x214).
1Q/2
令/tx)=x+—(x214),设14WX2〈X1,贝!!
x
(矛1至—126)
为+m)=(…)
X\X2
•.T4W吊〈不,「.Xi—至>0,不用>126.
xi^2—126
从而>0,
XxX2
126,126
・・矛1--->x+---.
X12X2
...函数f(x)=x+T在[14,+8)上为增函数.
故当x=14时,p取得最小值,先行=57己+2q(14+不12■6—7、)=35.5a
综上可知,采用方案(1),利用12nl的旧墙为矩形厂房的一面时,建墙总费用最省,为
353jG•
形如y=x+?a>0)的函数模型,我们称之为“对勾函数”模型,它是一个奇函数,在(一
8,—和[/,+8)上是增函数,在[―0)和(0,,©上是减函数,应用此函数模
型求解最值时,要注意自变量的最值范围及取得最值的条件.
[跟踪训练]
某工厂拟建一座平面图为矩形且占地面积为200平方米的三级污水处
理池(平面图如图所示).如果池子四周围墙建造单价为400元/米,中间两
道墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米,,水池所用墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使
总造价最低,并求出最低总造价.
解:设污水处理池的长为x米,总造价为y元,则宽为v米,则有
,、200200259200
(1)y=2xX400+—X2X400+——X2X248+80X200=800^+------+1600022
XXX
y800x•259200,,
-------+16000=2X14400+16000=44800,
x
259200
当且仅当800x=即x=18时,p取得最小值.
x
,当污水处理池的长为18米,宽为一“米时总造价最低,最低总造价为44800元.
⑵:。〈后16,O〈WW16,•••12.5WA16.
(324'
令O(x)=尸800卜十二-+16000(12.5WxW16).
取任意矛1,生£[12.5,16],设矛i>如
800(xi-X2)(xi至一324)
则0(矛1)—0(范)=800-------------------------<0,
X1X2
「・0(矛1)<0(X2),故函数0(X)在[12.5,16]上单调递减,
从而有0(x)20(16)=45000,
・・・当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时总造价最低,最低总造价为45000元.
分段函数模型的应用
[例4](链接教科书第121页例1)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,
经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入
流动成本为『(X)万元,在年产量不足8万件时,/(X)=;/+x(万元).在年产量不小于8
O
万件时,/(x)=6x+丁一38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商
品能当年全部售完.
(1)写出年利润〃x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收
入一固定成本一流动成本)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
[解](1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,
依题意得:当0VxV8时,
当才28时,£(x)=5x—(6x+^~^\(1100'
38I―3=35一1x+*
0VxV8,
所以£(x)=<
x28.
(2)当0<xV8时,£(x)=一;(x—6)?+9.
此时,当x=6时,£(x)取得最大值£(6)=9万元,
100
当时,L{x)=35-1^+―k35-2—=35-20=15,
x
当且仅当k丁时等号成立,
即x=10时,£(x)取得最大值15万元.
因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最
大利润为15万元.
1.现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的,如出租车计费、个人所得税等,分
段函数是刻画现实问题的重要模型.
2.分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同,因此可以先将其看成几个问题,
将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值.
[跟踪训练]
某市有46两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,/俱乐部
每块场地每小时收费6元;8俱乐部按月付费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地
收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元,某企业准备下个月从这两家俱乐部
中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.
(1)设在/俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12W启30),在6俱乐
部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12W启30),试求f(x)与g(x)的解析式;
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么?
解:(l)f(x)=6x,12^^30.
[90,12W后20,
g(x)—|
〔50+2x,20K30.
⑵①当12WE20时,6x=90,解得x=15,
当12W当15时,f(x)<g(x);
当x=15时,f(x)=g(x);
当15〈xW20时,f(x)>g(x).
②当20〈xW30时,f(x)〉g(x).
...当12Wx〈15时,选/俱乐部比较合算;
当x=15时,两家俱乐部一样合算;
当15〈矛(30时,选8俱乐部比较合算.
1.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m3)
与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时,y=108g/m3,则y与x的函数关
系式为()
A.y=3x(x20)B.y—3x
1,、、1
C.y=-x{x^O)D.y=~x
oo
解析:选A由题意设y=4x(AW0),将(36,108)代入解析式可得A=3,故尸3x,考
虑到含氧量不可能为负,可知xNO.
2.某地固定电话市话收费规定:前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算),以后每
加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话用时550秒,应支付电
话费()
A.1.00元B.0.90元
C.1.20元D.0.80元
解析:选B尸0.2+0.IX([x]—3)([x]是不小于x的最小整数,x>3),令故
[^r]=10,则y=0.9.
3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要
从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,
矩形两边的长x,P应为()
A.x=15,y=12
B.x=12,y=15
C.x=14,y=10
D.x=10,y=14
Y24—v4x
解析:选A结合题图,可得指=
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