三角函数的概念-【新教材】人教A版 （2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）

5.2.1三角函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高

中数学必修第一册同步练习（含解析）

一、单选题

1.如果角a的终边过点P（2s讥30。,-2cos30。），则cosa的值等于（）

A-9B.小C-TD--T

2.点P从（1,0）出发，沿单位圆x2+>2=1按逆时针方向运动与弧长到达。点，则Q

的坐标为（）

A-(-疗)。(-P-T)D.(-羽

3.已知sina=|,cosa=-£则角a所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知角a的终边上一点P（l,-2）,则sina+cosa等于（）

B-T7D.—Vs

5.若三角形的两内角a,夕满足sinacosS<0,则此三角形必为（)

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.以上三种情况都可能

6.下列结论不正确的是（）

A.sin2>0B.cos200°<0C.tan(-2)<0D.tan200°>0

7.若一:<a<0,则点(tana,cosa)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.设角a为第二象限角，且满足际詈=一,cosp则;为()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

9.若角a的终边与直线y=3x重合且sina<0,又P（m,n）是角a终边上一点，且|0P|=

Vio,则瓶一九的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

10.下列命题中，正确的是（）

A.若a>(J,则cosa<cos/?

B.若a是第三象限角，贝!|s讥acosa>0,Utanasina<0

C.若cosa<0,则a是第二或第三象限角

D.若sina=sin0,则角a与角0的终边相同

二、多选题

11.如图，在平面直角坐标系X。)，中，角a,/?的顶点与坐标原点重\ZL/

合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆

相交于4B两点，若点A,B的坐标分别为(|,｝和(―±|),\J_ly

则以下结论正确的是()

33

A.cosa=-B.cos^=-C.cos(a+£)=0D.cos(a—£)=0

12.以下式子符号为正号的有()

A.tan485°sin(—447°)B.sin.cos当tan拳

tanl88°cos等tan(一詈)

jcos(-55。)5sin与

三、填空题

13.已知角a的终边在直线y=x上，则sina+cosa的值为.

14.已知角a的终边过点P(s呜,cos》，贝ijtana=.

15.已知P(—V5,y)为角a的终边上一点，且sina=^，那么y=.

17.在平面直角坐标系中，。是原点，/1(V3,1)>将点A绕点。按逆时针方向旋转90。到

点8,点B的坐标是.

18.a=sin(-2),b=cos(-2),c=tan(-2),则6,c按从小到大的顺序排列是

19.sin390°=；cos(-315°)=；tane=.

四、解答题

ii

2°・已知丽=一品启且Ig(cosa)有意义•

(1)试判断角a所在的象限；

(2)若角a的终边上一点M(|,zn),且|0M|=1(0为坐标原点)，求机的值及sina的

值.

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21.确定下列三角函数值的符号.

一、

(1)COS—77T.

(2)sin(-465°).

(3)sin2cos3tan4.

22.已知sina<0,tana>0,

(1)求角a的集合.

(2)求角与所在的象限.

23.根据三角函数的概念，求下列函数的定义域.

(l)y=lg(2cosx-V3).

(2)y=Vtanx+1.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的定义，是解答本题的关

键.属于较易题目。

【解析】

解：点「（25讥30。,-2M530。）的坐标可以化为（1,-/3）,

所以|0P|=2

从而cosa=品=：.

故选A.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数，根据点逆时针运动方向及角度，找到点。的坐标，注意计

算能力训练，属于较易题目。

【解答】

解：点尸从（L0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2：弧长到达。点，

27r27r

所以NQOr:，所以Q（8«msiu葺），

即。点的坐标为：（―

故选A.

3【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了象限角、轴线角的相关知识，试题难度容易

【解答】【分析】

本题主要考查的是象限角，掌握象限角的概念是解题的关键；

已知sina=I，cosa=-1>可以判断正、余弦的正负符号，接下来结合正、余弦函数

值在各象限内的符号，可以判断角a终边所在象限.

【解答】

解：由sina=|>0,cosa=—^<0,

结合正、余弦函数值在各象限内的符号知，角a终边在第二象限.

故选艮

4.【答案】C

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了任意角的三角函数的相关知识，属于基础题.

由题意和三角函数定义可得sina和cosa,相加可得答案.

【解答】

解：■:角a的终边上一点P(l,-2),

r=\0P\=dI2+(-2)2=V5>

X1V5

•••si.na=-y=-2==--2-y-f5，cosa=-=-==—，

rV55rV55

.,V5

sina+cosa=~y

故选C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数在各个象限内的符号，为基础题.

利用三角形内角的取值范围可由sinacos/?<0,a,/?e得出sina>0,cos0<0,

则S为钝角.从而得出选项.

【解答】

解：sinacosS<0,a,pG(O,TT),

sina>0,cos/?<0,

•••/?为钝角.则此三角形必为钝角三角形.

故选8.

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6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查象限角的三角函数值的符号，根据条件直接判断即可，属基础题.

【解答】

解：<2<77,s讥2>0,正确；

B:：180°<200°<270°,Acos200°<0,正确；

C.-：7T<-2<-tan(-2)>0,错误；

D.-：180°<200°<270°,•••tan200°>0,正确.

故选C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的符号，考查学生的计算能力，比较基础.解题利用三角函数的符号，

确定坐标的符号，即可得出结论.

【解析】

解：•."€(—》0),

tana<0,cosa>0,

•••P(tana,cosa)位于第二象限，

故选B.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的符号及象限角问题，属于基础题.

由|cos]|=-cosa得cos^O,分类讨论确定三在第二或第三象限，又由a是第二象

限角，确定与在第一或第三象限，即可求解.

【解答】

解：因为|cos]|=-cos],所以cosK°，

当cos5=0,得：A-7T+,k&Z,

则a2A-7T+7T与角a为第二象限角不相符合，故cos<0,

所以今在第二或第三象限，

因为a是第二象限角，可设2卜兀+]<a<2卜兀+兀，k&Z,

则k7r+?<m<k兀+条keZ,即施第一或第三象限,

综上，可得5在第三象限.

故选C.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的定义，属于基础题.依据题中的条件，建立关于〃?，〃的方程组，解

出〃?，〃的值.再利用sina<0,a的终边在第三象限,进一步确定加，〃的值.

【解答】

解：因为sina<0,所以角a的终边在第三或第四象限或y轴的非正半轴上.

而y=3x经过原点在第一象限和第三象限内，

且角a的终边与y=3%重合，所以角a的终边在第三象限，可得m<0,n<0.

又因为P(>n,n)在直线y=3x上，所以满足n=3nl,同时|0P|=V10,

可得m2+n2=10,

gnfn3m

tm2+n2=10,

解得或(舍去)，

所以m—n=-1—(-3)=2.

故选A.

10.【答案】B

【解析】

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【试题解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数，考查象限角、终边相同的角，属于基础题.

利用特殊角的三角函数值可判断选项A、C、力是错误的；由象限角的三角函数符号判

断选项8正确.

【解答】

解：4若a>0,令a=60。，£=—60。，贝ijcosa=cos4因此选项A是错误的；

员当a是第三象限角时，sina<0,cosa<0,且tana>0,则sinacosa>0,且

tanasina<0,因此选项8是正确的；

C.当a=7r时，cosn=-1<0,但兀的终边是第二、第三象限的分界线，它不属于任何

象限，因此选项C是错误的；

。.若a=60°,0=120°,sina=sin/?,角a与角£的终边不相同，因此选项。是错误的.

故选B

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数和两角和与差的余弦公式，是基础题.

根据单位圆中的点的坐标，可得到角a,夕的正弦、余弦值，再结合两角和与差的余弦公

式求值即可逐项判断.

【解答】

解：因为角a的终边经过点(I，》，

则cosa=^sina=g,故A正确；

因为角6的终边经过点(―高()，

则cos/?=-g,sin/?=g.故8错误；

由cos(a+£)=cosacos/?—sinasin/?

=gx(_g)_gxg=_|^,故C错误;

由cos(a—S)=cosacosp+sinasin/?

=|x(一3+gx|=0,故。正确；

故选AD

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数值的符号问题.可以利用“一全，二正弦，三切，四余弦”口

诀的形式来记忆三角函数值的符号.属于基础题.

确定出角所在的象限，得出三角函数值的符号，即可确定出每一个选项的符号，得出正

确选项.

【解答】

解：4因为485。=360。+125。是第二象限角，故tan4850＜0,

因为—447。=—720。+273。是第四象眼角,故sin（-447。）＜0,

所以tcm485Osin（—447。）＞0,故正确；

8.因为早是第三象限角，所以sin9＜0；因为?是第二象限角，所以cos?＜0；因为耳

44556

是第四象限角，所以tan¥＜0,所以sin?cos?tan当＜0,故错误；

6456

C.因为188。是第三象限角，故tanl88。〉。，

因为一55。是第四象限角，故cos（—55。）＞0,

故等翳＞0,故正确；

D因9Q为TTE+三57r是第二象限角，所以cos9二Q/TT＜（）,

因为—乎*=-2打-］是第四象限角，所以如|（—。，

因为之：是第二象限角，所以

所以喧誓至＞0,故正确.

sm三

故选ACD.

13.【答案】±V2

【解析】

【分析】

本题考查了任意角的三角函数的相关知识，属于基础题.

【解答】

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解：在角。终边上任取一点P(%,y),贝ijy=%.

当x>0时，r=y/x2+y2=V2x,

sina4-cosa=-+-=—+—=V2.

rr22

当x<0时，r=yjx2+y2=—V2x,

sina+cosa=-+-=————=—V2.

rr22

故答案为土企.

14.【答案】农

3

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数，属于基础题.

先求出P的坐标，再直接利用任意角的三角函数定义求解即可.

【解答】

解：角a的终边过点尸(sing,cosg),

即P露),

则tana=/=1

T

故答案为更.

3

15.【答案

【解析】

【分析】

直接根据题意，设点P到坐标原点的距离为贝归=历了，因为sina=;=

等，且sina>0,从而可得y的值.

【解答】

解：设点P到坐标原点的距离为r,

则r=y/3+y2,

因为sina-珊

且sina>0,所以y=

16.【答案】｛—1,3｝

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的定义域和值域，分x是第一象限角、第二象限角、第三象限角、第

四象限角进行讨论即可得解.

【解答】

解：

当X是第一象限角时，篇=1，鬻1=1,tanx

|tanx|

sinx|cosx|tanx

所以y=——:十=3.

|sinx|cosx+|tanx|

当工是第二象限角时，黑［=1，黑=T,-t-an-x-=-1/

|tanx|

所以丫=器+tanx

|tanx|

当X是第三象限角时，瑞=-1|cos%|_tanx

cosx-'|tanx|

所以y=^+|cosx|tanx

cosx+|tanx|

当X是第四象限角时，^=-1.照=1，黑i=T

所以丫=丽sinx+,I邪cosxl+,而tan百x=一】.•

故函数y=iS+嗡+器的值域是｛-⑶

17.【答案】（—1,3）

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【解析】

【分析】

本题考查三角函数的概念和诱导公式，属于基础题.

设乙YOA=a,/-XOB=夕，则夕=90°+a从而问题可解.

【解答】

设NX04=a,NXOB=/?,则0=90°+a.

根据三角函数的定义sina=2cosa=2

所以sin/?=cosa=cosp=—sina=­1.

又|。8|=\OA\=2,

设B(x,y),则£=¥,：=—5

所以％=—l,y=V3,

故答案为(-

18.【答案】a<b<c

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的的基本概念和诱导公式，只需要确定-2所对应的角度所在的范围,

然后运用诱导公式确定具体函数值的范围即可求解。

【解答】

解：-2=—114.6。，即一2为第三象限角，所以a<0,b<0,c>0»

又因为sin(—114.6。)=sin(-90°-24.6°)=-cos(24.6°),

且cos(-114.6°)=sin(-900-24.6°)=-sin(24.6°)»

因为sin(24.6°)<cos(24.6°),因而sin(-114.6°))<cos(-114.6°),

因此，a<b<c

19.【答案】|

V2

T

-V3

【解析】

【分析】

本题考查运用诱导公式化简求值，主要考查运用诱导公式化简，考查特殊角的三角函数,

属于容易题.

【解答】

解：sin390°=sin(360°+30°)=sin300=

cos(-315°)=cos315°=cos(360°-45°)=cos45°=y，

tan导=tan(27r+=tan(三)=一4.

故答案为工立-V3.

22

20.【答案】解：(1)山舟面=一百高，可知sina<0,

a是第三或第四象限角或终边在)，轴的负半轴上的角.

由Ig(cosa)有意义可知cosa>0,

a是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角.

综上可知，角a是第四象限角.

(2)•••[0M|=1,g)2+7n2=l，解得m=±g.

又a是第四象限角，故m<0,从而m=一(.

4

由正弦函数的定义，可知sina=Y=*-=：=-

r\OM\1

【解析】本题考查了象限角、轴线角、任意角的三角函数的相关知识，试题难度一般

21.【答案】解：(1)因为"是第二象限角，故cos居<0.

(2)因为一465。是第三象限角，故sin(-465。)<0.

(3)因为2是第二象限角，所以sin2>0,

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因为3是第二象限角，所以c