椭圆的几何性质

2.5.2椭圆的几何性质（1）

教材分析

本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课

主要学习椭圆的几何性质

教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研

究椭圆的简单几何性质及简单应用.本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性

质。作用：提高学生的数学素质，培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。因此，

内容在解析几何中占有非常重要的地位。

权学目标与被心素养

课程目标学科素养

A.掌握椭圆的几何性质，掌握a,b,c,e的几1.数学抽象：椭圆的几何性质

何意义及a,b,c,e之间的相互关系.

2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

B.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

3.数学运算：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

质.

C.尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题

题.5.直观想象：离心率的几何意义

重点难点

重点：椭圆的几何性质

难点：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质

课前发备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、创设问题情境，探究新知

下面我们由椭圆的方程来研究椭圆具有的几何性质

已知椭圆C的方程为9+必=1,根据这个方程完成下列任务：

通过特例，通过

(I)已观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆C在

椭圆的标准方程，运

平面直角坐标系中的位置特征；

用方程与函数的思

(2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称；想，获得椭圆的几何

性质，进而推广到一

(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.

般。帮助学生进一步

体会数形结合的思

想方法。发展学生数

学运算，数学抽象和

椭圆的几何性质数学建模的核心素

养。

焦点的

隹占在X轴上焦点在y轴上

位置

图形

JXJ\BX

大2

标准X222~2

1y2y।i

b1)1j.1aL7u)

方程Yb2

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

范围-a<x<a且-b〈y〈b-b<x<bS-a<y<a

A(-a,O),A(a,0),A(O,-a),A(0,a),

顶点1212

BW-bbBQb)BfbOBJb,。)

轴长长轴长为互，短轴长为2b

焦点F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)

1212

焦距2c

对称性对称轴:X轴、y轴,对称中心:坐标原点

离心率0=工£(0,1),其中c=—*

a

1.已知椭圆C：4+t=l的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()

az4

A.iB.iC.立D当

3223

解析:6/2=4+22=8,；.a=2V^.；.e=；==曰.故选C.

答案:c

2.判断

(1)椭圆掇+，=l(a>6>0)的长轴长是a.()

(2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的

方程为蓑+£=1.()

(3)设F为椭圆马+息=13>6>0)的一个焦点,M为其上任一点，则阳用

azbz

的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).()

答案:(l)x(2)x(3)4

(1)根据椭圆离心率的定义判断椭圆离心率的取值范围；

(2)猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证

明。

思考1.离心率对椭圆扁圆程度的影响？

提示:如图所示，在RtABFO中,cosNBB。一，记e-,则0<e<l,e越大，

2aa

ZBF.O越小，椭圆越扁;e越小/2。越大，椭圆越接近于圆.

二、典例解析

例1已知椭圆C1：W+[=1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长

1(J(J64

分别相等,且椭圆c的焦点在y轴上.

(1)求椭圆q的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C的方程，并研究其性质.

2

22

解:(1)由椭圆C1：三+占=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点

10064

坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=|.

22

(2)椭圆C2：三+5=1.性质如下：

1OU64

①范围：-8、立8且-10至10;②对称性:关于尤轴、y轴、原点对称;③顶

点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤

通过典型例题，

离心率:e=|.

掌握根据椭圆的基

讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程，标准方程

222本几何性质及其简

能将参数的几何意义凸显出来，另外要抓住椭圆中a-b=c这一核心

单运用，提升学生数

关系式.

2222学建模，数形结合，

跟踪训练1求椭圆加％+4My=1(机＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐

及方程思想，发展学

标、顶点坐标和离心率.

生逻辑推理，直观想

解:由已知得苧+要=1(血＞0),因为0＜苏＜4/,所以白＞熹.

24m2

7n象、数学抽象和数学

所以椭圆的焦点在轴上,并且半长轴长a=-,

xm运算的核心素养。

半短轴长，半焦距°=二，所以椭圆的长轴长2a短轴长2b=~,

2m2mmm

焦点坐标为(噜,0)偿,0)，顶点坐标为G，o)，G，o)，(。，-

V3L

素)，(。，为，离心率吒=密=当

m

例2椭圆1+、=1(°＞6＞0)的两焦点为尸，尸似为边作正三角

a2b21212

形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率

为.

解析:方法一:如图，：ADF1F2为正三角形,N为。尸2的中点，

FiNl.F2N.'：\NF21=10/21=C,

A\NFi\=]|&&『-囚尸2/=V4c2-c2=V3c.

由椭圆的定义可知|NB|+|NBI=2a,

V^c+c=2a,。=史；"；'",e=a~~

方法二:注意到焦点三角形NFIF2中,NN/M2=30O,/NE尸I=60。,/

尸INF2=90。，则由离心率的焦点三角形公式，可得

_sinz.F1JVF2_sin90°_1_-t

'sinz.NF1F2+sinz.NF2Frsin30°4-sin600工+3,

22

答案:b-1

22

变式1若例2改为如下:椭圆京+a=1(a>6>0)的两焦点以

为底边作等腰直角三角形，其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,

则椭圆的离心率为.

解析:根据等腰直角三角形的特征可知/+/=4，,即』=乎.

a2

答案］

例3已知椭圆［+［=1(。》>0)尸1产2分别是椭圆的左、右焦点，椭

圆上总存在点P使得尸分工尸外,则椭圆的离心率的取值范围

为.

解析:由PfUP尸2,知△口叩2是直角三角形，

所以10Pl=c泌，即/之「/,所以a<^2c.

因为e=£,O<e<1,所以二We<1.

a2

答案:停,1)

求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法

(3)方程法:若a,c的值不可求，则可根据条件建立关于a,b,c的关系式，

222

借助于a=b+c，转化为关于a,c的齐次方程(或不等式)，再将方程(或

不等式)两边同除以a的最高次骞，得到关于e的方程(或不等式)，即可

求得e的值(或取值范围).

(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e，求解.若已知a,6(或6,c)可借助

a

于/=匕2+02求出c(或0,再代入公式e=£求解.

a

⑵几何法:若借助数形结合，可挖掘涉及几何图形的性质,再借助

a2=〃+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=£即可得到.

CL

跟踪训练2⑴已知椭圆盘+冬=1(°>6>0)过点其离心率的取值

范围是乐卦则椭圆短轴长的最大值是()

A.4B.3C.V11D.2V3

(2)设分别是椭圆塔+*l(a>b>0)的左、右焦点,P为直线

上一点,是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率

为__________.

解析:⑴由题意，可得2+^=1，即层=色.

.2224--匕2

因为层=〃+■所以a=%nLh=星｝=3步离心率的取值范围是

b2-2

［评］，所以汐一T解得问1岑］,

所以椭圆短轴长的最大值是VIT.

⑵由题意，知/F2FIP=Z产2Ppi=30°,ZPF2X=60°.：.

|P&|=2x(|a-c)=3a-2c.V|FiF2|=2c,|FiF2|=|PF2|,/.3a-2c=2c,；.e===

f.答案:⑴C(2)f

44

(3)已知椭圆缁+《=13>6>0)的左、右焦点分别为E,右顶点为

A,上顶点为民若椭圆C的中心到直线AB的距离为萼甲iBI,求椭圆C

6

的离心率.

解:由题意知A(〃,0),5(0力)，从而直线AB的方程为:+，=1,即bx^ay-

而二0,又|尸1尸2|=2(?,，=—c.Vb2=a2-c2,3«4-7«2<?4-2^=0,

vaz+bz3

解得〃2=2,或3〃2=02(舍去),.・.6=日

例4.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人

民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为

椭圆的一个焦点，如右图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为

d，最远距离为d，地球的半径为民我们想象存在一个镜像地球，其中

12

心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面发射某种神秘信号，需

要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到，则传送神秘信号的

最短距离为()

A.d+d+RB.d-d+2RC.d+d-2RD.d+d

12212112

22

解析:设椭圆的方程为今+2=l(a>b>0),半焦距为c,

两焦点分别为尸2,飞行中的航天员为点P,

由已知可得以1：。=°一;则2a=di+d2+2R,

故传送神秘信号的最短距离为|尸BI+IPB卜2R=2a-2«=di+d2.

答案:D

三、达标检测

22

1.已知点(3,2)在椭圆,+*1上,则()

A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上

通过练习巩固本

C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上

节所学知识，通过

解析:由椭圆以坐标轴为对称轴似原点为对称中心可知，点在椭

(-3,2)学生解决问题，发

圆上，故选C.

展学生的数学运

答案:C

22算、逻辑推理、直

2.设AB是椭圆京+琶=l(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，

观想象、数学建模

过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P,P,F

12991的核心素养。

为椭圆的左焦点，则I尸AI+尸尸l+IFPI+...+IFP1+1户B|的值是

111121991

()

A.98〃B.99〃C.lOOtzD.101。

解析油椭圆的定义及其对称性可知

\FP\+\FP\=\FP|+|FP\=..=\FP\+\FP\=\FA\+\FB\=2a\F

1119912198149151119

P|=a,故结果应为50x2a+|歹尸|=101a

150150

答案:D

3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆

的离心率为()

A.iB.立C.更D.在

2244

解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F,F,B为椭圆的上顶点.依题

12

意可知,是正三角形,在RtZkOBF中,|0尸|=c,|8尸|=“,N

12222

OFB-60°,cos60°=-=工.即椭圆的离心率e=3故选A.

2a22

答案:A

4.已知椭圆J+3=1左、右焦点分别为八尸2,上、下顶点分别为5,&,

则四边形B1F1B2F2的面积为.

解析:根据题意，设四边形BEB2F2的面积为S,椭圆的标准方程为9+

]=1,其中a=V3,b=A/2,贝Ic=V3^2=1,贝!IFi(-

1t0),F2(1,0),BI(0,V2),B2(0,-V2),

即|0尸1|=|0曰=1,|031|=|0&|=尤,

贝！|S=4XSAB10F1=4X(|X|OBI|x|OQI)=25

答案：2企

5.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年

北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运