浙江省湖州市南浔中学高三数学理期末试卷含解析

浙江省湖州市南浔中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．2.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且f(x)的图象关于点对称，则下列判断正确的是（

）A．要得到函数f(x)的图象，只需将的图象向右平移个单位 B．函数f(x)的图象关于直线对称 C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增参考答案：A因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故即，所以，令，则即，因，故，.，故向右平移个单位后可以得到，故A正确；，故函数图像的对称中心为，故B错；当时，，故，故C错；当时，，在为减函数，故D错.综上，选A.

3.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C4.已知,则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.（07年全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c=4，a=2，，双曲线方程为，选A。6.已知，则sinθ﹣cosθ的值为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件求得2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．7.若集合(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C8.（5分）（2015?嘉兴二模）若sinθ+cosθ=，θ∈，则tanθ=（）A．﹣B．C．﹣2D．2参考答案：C【考点】：同角三角函数基本关系的运用．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanθ的值．解：∵sinθ+cosθ=，θ∈，sin2θ+cos2θ=1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴tanθ==﹣2，故选：C．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．9.计算机是将信息转化为二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，若1011（2）表示二进制数，将它转换成十进制数式是了么二进制数（2）转换成十进制数形式是

（

）

A．22010-1

B．22011-1

C．22012-1

D．22013-1参考答案：B转换成十进制数形式：．10.已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）A． B．2 C． D．3参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||=2，||=5，∴（2﹣）?=2﹣?=2×22﹣5×2×cos60°=3，∴向量2﹣在方向上的投影为=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．参考答案：略12.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是

.参考答案：因为函数是上的平均值函数，所以，即关于的方程，在内有实数根，即，若，方程无解，所以，解得方程的根为或.所以必有，即，所以实数的取值范围是，即.13.已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是

．参考答案：考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．解答： 解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=4，∴x2+y2+z2≥=，即x2+y2+z2的最小值是，故答案为：．点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，进行解决．14.已知四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，∴d=，R2=，球O的表面积为s=．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径是关键．15.如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为；则：（Ⅰ）

（Ⅱ）

参考答案：（1）（2）k∈略16.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是的照片，排版设计为纸上左右留空各，上下留空各，图间留空为，照此设计，则这张纸的最小面积是

．参考答案：19617.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

如图所示，点、在以为直径的⊙上，∥，垂直于⊙所在平面，，，（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，求的值．参考答案：（1）证明：因为点在以为直径的⊙上，所以，即.

由已知平面，平面，所以.因为平面，平面，，所以平面.因为平面，

所以平面平面.（2）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．因为，，所以，.延长交于点.因为∥，所以.所以，，，.所以，.设平面的法向量.由得即令，则.所以同理可求平面的一个法向量n.所以.所以.

19.已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，所以2+2a＞0，得a＞﹣1，故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；（2）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞a，因为x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20.已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R.(1)当a＝1时，判断f(x)的单调性；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；(3)设函数h(x)＝x2－mx＋4，当a＝2时，若?x1∈(0,1)，?x2∈[1,2]，总有g(x1)≥h(x2)成立，求实数m的取值范围.参考答案：

略21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，分别为椭圆：的左、右焦点,为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由已知，设，即∴即

………………1分∴得：①………2分又的周长为，∴②………3分又①②得：

∴

∴所求椭圆的方程为：………5分（Ⅱ）设点,直线的方程为………………6分由消去，得：设，中点为

则

∴∴

即………8分∵