数学（北师大版选修2-3）课件1.5.2二项式系数的性质

第一章计数原理§5二项式定理5．2二项式系数的性质学习目标重点难点1.了解杨辉三角，初步认识杨辉三角各行数字特点及其与组合数、二项展开式系数性质间的关系．2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．3．理解和初步掌握赋值法.1.重点是二项式系数的性质及应用．2．难点是赋值法研究各项系数及部分项系数的问题.阅读教材：5.2二项式系数的性质的有关内容，完成下列问题．1．二项式系数表当n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．解析：观察规律可知，第n行的首尾两个数均为2n－1．答案：2n－1二项式(x＋y)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为－1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．

2n

2n－1

解析：由二项式的系数和为2n＝64，得n＝6．答案：6与“杨辉三角”有关的问题

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．[互动探究]

若本例中的条件不变，则S19的值如何？【点评】解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数与数之间，行与行之间的数据的规律．1．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3．第0行1第1行1

1第2行1

2

1第3行1

3

3

1第4行1

4

6

4

1第5行1

5

10

10

5

1

……答案：34二项展开式中系数的和

已知(3x－1)7＝a0x7＋a1x6＋…＋a6x＋a7．(1)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值；(2)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解：(1)由题意易知a1，a3，a5，a7为负值．所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－…－a7＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)＝－[3×(－1)－1]7＝47．(2)令f(x)＝(3x－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋a3－…＋a7，∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(－1)＋f(1)＝27－47．∴a1＋a3＋a5＋a7＝26－213＝－8128．【点评】二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切取值均成立．解决有关系数问题，可灵活地赋值，产生与所求代数式相同或相关的表达式．答案：C二项式系数的性质【点评】

(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．3．在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活