专题4-5隔项等差与隔项等比以及和为等比

专题45隔项等差与隔项等比以及和为等比1、隔项等差数列（和为等差）已知数列，满足，（k≠0）则；；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列（积为等比）已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；3、和为等比数列（和为等比）已知数列，满足，则，再通过累加法和错位相减求出的通项公式重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一隔项等差（和为等差）已知,求的通项公式．【答案】；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程由，可推出，两式作差所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.已知各项均为正数的数列满足：，.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：由，当时，，∴，又，，∴。当时，，∴为奇数时，；当时，，∴为偶数时，∴已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式．【答案】由条件，可得：两式相减得： ……7分因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； ……8分偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分综上： ……10分已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，两式相减可得数列的规律，由此可求的通项公式，从而求出其前n项和，根据通项公式的特征，采用裂项相消法即可求出结果．【详解】∵，(*)，∴，解得．，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，故，，设的前n项和为，则．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项【答案】无论为奇数还是偶数：【解析】根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列由，可推出，及两式作差∵，∴.所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；当为奇数：为第项：当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.数列满足，，求.【答案】为奇数，为偶数【详解】由，得，两式作差得，即又∴数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.则当n为奇数时，；当n为偶数时，.∴.为奇数，为偶数（多选）已知数列满足，，则（

）A． B．是的前项和，则C．当为偶数时 D．的通项公式是【答案】AD【详解】数列满足，，因为，，所以，，B错；由题意，①，②，由②①得，，由，，所以，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，综上所述，对任意的，，C错D对；，A对.题型二隔项等比（积为等比）已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式；【答案】思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比数列解答过程：由，可推出，两式作商所以是隔项等比数列：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：.山东省济南市二模（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．【答案】ABC【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的特性，再逐项计算判断作答.【详解】，，，即，则，A正确；显然有，于是得，因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确；于是得，，则，，C正确，D不正确.2023·广东深圳二模已知数列满足，，，.(1)求数列的通项公式；(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】(1)由得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；(2)假设数列中存在三项数列(其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可.【详解】（1）由，得以上两式相比，得,由，得,所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,数列是首项为6，公比为4的等比数列，,综上，数列的通项公式为.（2）假设数列中存在三项数列(其中）成等差数列，则.由（1）得，即,两边同时除以，得(*)(*）式左边为奇数，右边为偶数(*）等式不成立，假设不成立.所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列题型三和为等比已知数列中，，求数列的前n和.【答案】思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差变换下标，写成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通项所以数列的前n和为求和（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式．【答案】【分析】通过凑配法证得是等比数列.【详解】（由，得，即，所以是首项为，公比为的等比数列..已知数列满足，，．(1)求的通项公式．(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.【详解】（1）由可得，且，故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，所以，又，故，即.（2）由（1）为等比数列，故，故即恒成立，求的最大值即可.设，则，令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.又，故为的最大值，为，所以，2023·浙江杭州·统二模设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.【详解】（1），设公差为d，首项为，因为公差不为0，所以解得，，数列的通项公式为，.（2）

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