数系的扩充与复数的引入公开课课件

门吉一、数的发展史被“数”出来的自然数远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用划痕、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、⋯自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地．古代印度人最早使用了“0”.被“分”出来的分数随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的.如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就产生了.分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.被“欠”出来的负数为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数．负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则．千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.被“推”出来的无理数2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.自然数整数有理数实数数系的扩充负整数分数无理数x

3

2在有理数集中方程x2

2

0

有解吗?03

:47可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留减加实数除乘解方程x

2

1,x

？我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。03

:47问题解决:为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数i

，把i叫做虚数单位，并且规定：i

2

1

；实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.03

:47a

bi动动手下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？2

i，

2i，(2

3)i，

2

3i，2

3, 2

303

:47定义：把形如a+bi的数叫做复数（a,b是实数）(a

R,

b

R)虚数单位复数的概念复数全体组成的集合叫复数集，记作：Cz

a

bi实部虚部03

:47自然数整数有理数实数？负整数分数无理数数系的扩充复数虚数03

:47实部

虚部其中i称为虚数单位。讨论观察复数的代数形式复数的分类？z

a

bi(a

R,

b

R)当a=_

_0_且b=_

_0_

_时，则z=0当b=_

_0_时，则z为实数当b

_≠_0_时，则z为虚数当a=_

_0_且b

_≠_0_时，则z为纯虚数03

:47判断1、若a=0,则z=a+bi(a∈R、b∈R)为纯虚数.（假）2、若z=a+bi

(a

∈

R、b

∈

R)为纯虚数,则a=0.

（真）故a=0是z=a+bi

(a

∈

R、b

∈

R)为纯虚数的条件.必要不充分03

:47思

考03

:47复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？1、复数z=a+bi

实数(b

0)

纯虚数(a

0，b

0)

虚数(b

0)

非纯虚数(a

0，b

0)复数的分类纯虚数集2.复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系虚数集复数集C实数集R03

:47想一想03

:47如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即▲(a

,

b,

c,

d

R)a

bi

c

di

a

c

b

d

复数相等知新03

:47两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。思考03

:47

a

0若a

bi

0(a、b

R)

b

01.若2-3i=a-3i,求实数a的值；03

:47若8+5i=8+bi,求实数b的值；若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。说一说例1:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）2

3i01

4

i2

36ii

2实部201

420-1虚部-30360分类虚数实数虚数纯虚数实数03

:47例2:实数m取什么值时，复数z

m

1(m

1)i是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？解：（1）当m

1

0

，即m

1

时，复数z是实数．当m

1

0

，即m

1

时，复数z是虚数．当m

1

0

，且m

1

0

，m即

m1

m

1

0

10时0，复 数z是纯虚数．03

:47变式训练:当实数m为何值时，复数是

（1）实数

（2）虚数

（3）纯虚数m

1或m

1m

1且m

1m

203

:47已知

(x

y)

x

2

y

i

(2x

5)

(3x

y)i

，其中x,y

R,求x与y.解：根据复数相等的定义，得方程组

x

y

2

x

5

x

2

y

3x

y

y

2

x

3得例3:03

:47当堂检测A

-2+3iC

-3+3iB

3-3iD

3+3i为1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是（B）若复数(a

2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为

2

。复数4-3a-a

2i与复数a

2+4ai相等，则实数a的值4_。若方程x2

(m2i)x(2

mi)0至少有一个实数根，求实数m的取值范围若方程至少有一个实数根，求实数m的取值范围0