广西柳州市2021年中考数学真题试卷（含答案）

2021年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试

数学

（考试时间：120分钟满分：120分）

第I卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

要求的）

1.在实数3,0,—2中，最大的数为（）

A.3B.—C.0D.-2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两

个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可.

【详解】根据有理数的比较大小方法，可得：

-2<0<-<3,

2

因此最大的数是：3,

故选：A.

【点睛】本题考查了实数的比较大小，解答此题的关键在于明确：正数>0>负数.

2.如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】逐项分析，根据三视图的定义，找出主视图为圆的选项.

【详解】A.主视图为三角形，不符合题意；

B.主视图为矩形，不符合题意；

C.主视图为正方形，不符合题意；

D.主视图为圆，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知主视图的定义和画三视图的规则是解题的关键.

3.柳州市大力发展新能源汽车业，仪今年二月宏光M/N/EV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000

表示为（）

A.0.17xl（）5B.17xl03c.1.7X104D.1.7xl05

【答案】C

【解析】

【分析】用科学计数法表示出即可.

【详解】17000=1.7x10、

故选C.

【点睛】本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为oxi。，的形式，其中上同＜10,〃为整数.确定

〃的值时，要看把原来的数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

4.以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（）

节能

©绿色环保

绿色食品3

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可

【详解】都不是轴对称图形，

...都不符合题意；

。是轴对称图形，符合题意,

故选D.

【点睛】本题考查了轴对称图形定义，准确理解轴对称图形的定义是解题的关键.

5.以下调查中，最适合用来全面调查的是（）

A.调查柳江流域水质情况B.了解全国中学生的心理健康状况

C.了解全班学生的身高情况D.调查春节联欢晚会收视率

【答案】C

【解析】

【分析】逐项分析，找出适合全面调查的选项即可.

【详解】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意；

B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意；

C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意；

D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查；在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问

题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的

关键.

6.如图，在菱形ABCO中，对角线AC=8,89=10,则△AOD的面积为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故△40。的面积为对角线的一半的乘积的!.

【详解】钻8是菱形

AC±BD,AO=OC,BO=OD

△AO。的面积=,AOx。。

2

-x-ACx-BD

222

=—X—X8X—x10

222

=10

故选B.

【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解△A8是直角三角形是解题的关键.

7.如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案,

背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡好是

冰壶项目图案的概率是（）

3

D.-

4

【答案】A

【解析】

【分析】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，据此利用概率公

式求解即可.

【详解】事件所有可能结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，所以抽出的卡片

正面怡好是冰壶项目图案的概率是1.

4

故选：A.

【点睛】本题考查了等可能事件的概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果.

8.下列计算正确的是（）

A.V3+V7=V10B.3+近=3币C.6乂行=而D.2币-2=击

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可

【详解】A.百+J7,不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B.3+币,不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

C.-y/3x5/7=J3x7——>/21符合题意；

D.2"-2，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意.

故选C.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键.

9.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差S,如右表所示，那么这三

名同学数学成绩最稳定的是（）

甲乙丙

X919191

S262454

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定.

【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分；都是91,故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6,

24,54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的.

故选A.

【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题

的关键.

10.若一次函数），=履+匕的图像如图所示，则下列说法正确的是（）

C.y随x的增大而增大D.x=3时，y=。

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据图像中过两点(0,2),(4,0),求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可.

【详解】首先将(0首),(4,0)代入一次函数解析式y=H+8,得

b=2

'4k+8=0'

k=-L

解得，2,

b=2

所以解析式为y=—+2；

A、%>0,由求出的左=一,，可知此选项错误；

2

B、〃=2,由求出的6=2,可知此选项正确；

C、因为“<0,所以)，随x增大而减小，故此选项错误；

D、将户3代入，y=-gx3+2=g,故此选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数y="+伏女。0)图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解

析式中系数人内的关系是解题关键.

11.往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度

A3=24cm,则水的最大深度为()

o

B

24

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】B

【解析】

【分析】连接OA，过点。作0。，AB交AB于点C交。O于。，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得

出CC的长.

【详解】解：连接。4,过点。作交AB于点C交G)。于。，

•：OCLAB,由垂径定理可知，

：.AC=CB=—AB=\2,

2

在RSAOC中，由勾股定理可知：

OC=V(9A2-AC2=V132-122=5>

C。=0。-0C=13-5=8(cw),

故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过0点作AB的垂线，由此即可求解.

12.如图所示，点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段C4绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次

落在矩形BCDE的边8E上时，记为点4,则此时线段C4扫过的图形的面积为()

48

A.4百B.6C.-7TD.一万

33

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知，4c扫过的图形为一个扇形，，半径为4,求出？A4'C30,?BCA'60，再根据扇

形面积公式求解即可.

【详解】解：由图可知：AC=A'C=4,BC=2,

BC21

：.sin?BA'C----=———

A,C42

；.?BA'C30,?BCA'60,

线段C4扫过的图形为扇形，此扇形的半径为C4=4,

S=吗’42

扇形心360/3

故选：D.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解决

本题的关键.

第II卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13.如图，直线a//b,Z1=60°,则N2的度数是O

1

a

b

【答案】60

【解析】

【分析】根据平行线的性质可得N1=N3,根据对顶角相等即可求得/2的度数.

【详解】'：a//b,如图

.•./3=/1=60°

VZ2=Z3

Z2=60°

故答案为：60

【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键.

14.因式分_1=.

【答案】(x+l)(x—1).

【解析】

【详解】原式=(x+l)(x—l).故答案为(x+IXx-l).

考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解.

15.如图，在数轴上表示x的取值范围是.

1111tl一

-101234

【答案】x>2

【解析】

【分析】根据数轴可知，表示x的数在数2的右边，且不等于2,因此即可判断x的取值范围.

【详解】由数轴知：x>2,

故答案为：x>2.

【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈.

16.若长度分别为3,4,〃的三条线段能组成一个三角形，则整数〃的值可以是.（写出一个即可）

【答案】5（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可.

【详解】解:由题意知:4-3<«<4+3,即

整数“可取2、3、4、5、6中的一个，

故答案为：5（答案不唯一）.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边。的取值范围是解答的关键.

17.在x轴，y轴上分别截取QA=QB,再分别以点A,B为圆心，以大于;A8长为半径画弧，两弧交于

点P,若点尸的坐标为（。,2）,则a的值是.

【答案】2或一2

【解析】

【分析】分尸点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P为NAOB的角平分线，由此得

到横坐标与纵坐标相等或互为相反数.

【详解】解：当P点位于第一象限时，如下图所示：

y

由尺规作图痕迹可知，0P为/A08角平分线，此时P点横坐标与纵坐标相等,

故。=2；

当P点位于第二象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，。尸为/AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标互为相反数，

故a--2；

。的值是2或2

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑P点在第一象限和第二象限这两

种情况.

k

18.如图，一次函数y=2x与反比例数y=、(&>0)的图像交于4,B两点，点〃在以C(2,0)为圆心，

3

半径为1的CC上，N是A"的中点，已知ON长的最大值为一，则/的值是

2

【答案】王

【解析】

【分析】根据题意得出ON是,ABM的中位线，所以QV取到最大值时，也取到最大值，就转化为研

究BM也取到最大值时k的值，根据B,C,M三点共线时，BM取得最大值，解出5的坐标代入反比例函数

即可求解.

【详解】解：连接BM，如下图：

在.AftW中,

O,N分别是A民AM的中点,

.〔ON是..ABM的中位线，

：.ON=、BM,

2

3

已知ON长的最大值为一，

2

此时的3M=3,

显然当民CM三点共线时，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+1=3,

/.BC=2，

设2（r,2r）,由两点间的距离公式：3c="6-2）2+4产=?，

.•（-2）2+4y=4,

4

解得：‘l=W''2=0（取舍），

•尸8

4Rk

将3（不？代入y=—（攵＞0）,

3D

32

解得：k二一，

25

32

故答案是：—.

25

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解

题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究6M取最大值时女的值.

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19.计算：卜3|-囱+1

【答案】1

【解析】

【分析】根据绝对值的定义及算术平方根的定义即可解决.

【详解】原式=3—3+1

=1

【点睛】本题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义及实数的运算，关键是掌握绝对值和算术平方根的

定义.

20.解分式方程：,=二一

xx+3

【答案】x=3

【解析】

【分析】两边同乘以x(x+3),转化为一元一次方程求解即可

【详解】解：去分母得：

x+3=2x

解得x=3

检验：将x=3代入原方程的分母，不为0

x=3为原方程的解.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键.

21.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接

到达点A和B,连接AC并延长到点。，使CD=C4,连接并延长到点E,使CE=CB,连接OE，

那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.

证明：在，Z)£C和，ABC中，

CD=________

V

CE=________

,DEC^ABC(SAS)

【答案】CA,NDCE=ZACB,AB，ED=AB

【解析】

【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等,

填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明。=AB.

【详解】证明：在OEC和八ABC

CD=CA

<ZDCE=NACB

CE^AB

：..DECaABC（SAS）

：.ED=AB

【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证

明方法是解题的关键.

22.如今，柳州螺蛔粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺狮粉小镇对A、B两种品牌的螺狮粉举行展销

活动.若购买20箱A品牌螺蜘粉和30箱B品牌螺蜘粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蜘粉和40箱B

品牌螺蝴粉则需要4200元.

（1）求A、B品牌螺蝴粉每箱售价各为多少元？

（2）小李计划购买4、B品牌螺蛔粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蝴粉最多购买多少

箱？

【答案】（1）A品牌螺蛔粉每箱售价为100元，B品牌螺蛔粉每箱售价为80元；（2）60箱

【解析】

【分析】（1）设A品牌螺狮粉每箱售价为x元，3品牌螺狮粉每箱售价为丁元，根据两种购买方式建立方

程组，解方程组即可得；

（2）设购买A品牌螺蜘粉为。箱，从而可得购买5品牌螺鲫粉为（100-。）箱，再根据“预算总费用不超

过9200元”建立不等式，解不等式，结合。为正整数即可得.

【详解】解：（1）设A品牌螺蛔粉每箱售价为x元，B品牌螺蛔粉每箱售价为y元，

20x+30y=4400

由题意得：\

10x+40j=4200

x=100

解得

y=80

答：A品牌螺狮粉每箱售价为100元，B品牌螺蝴粉每箱售价为80元;

（2）设购买A品牌螺蜘粉为。箱，则购买3品牌螺蜿粉为（1（川一。）箱,

由题意得：100a+80（100—a）W9200,

解得a<60,

答：A品牌螺蝴粉最多购买60箱.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关

键.

23.为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教

处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调

查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示.

（1）补全下面图1的统计图；

（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人

数.

【答案】（1）见解析；（2）3本；（3）360人

【解析】

【分析】（1）求出抽取的总人数，即可算出读书量为4本的人数，从而能够将条形图补充完整；

（2）从补全的条形图中即可解决；

（3）求出样本中读书量不少于4本的人数占抽取人数的百分比，从而估计出总体中读书量不少于4本的人

数占总体的百分比，进而问题可解.

【详解】（1）I•读书量1本的人数为5人，占抽取人数的10%,

抽取人数为：5+10%=5（）（人）.

•••读书量为4本的人数为：

50-（5+10+20+5）=50-40=10（人）.

•••图1补充完整如下：

(2)•.•读书量为3本的人数最多，

抽取学生五月份读书量的众数为3本.

故答案为：3本

(3)•••样本中读书量不少于4本的人数的百分比为：U要*100%=30%,

.,.1200x30%=360(人).

答：估计七年级学生中读书量不少于4本的学生人数为360人.

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样、用样本估计总体等知识点，从不同的统计

图中提取相对应的信息是解题的基础，熟知用样本估计总体的数学思想方法是关键.

24.在一次海上救援中，两艘专业救助船A8同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船8在A的

正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船5的西南方向上，且事故渔船P与救助

船A相距120海里.

(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

(2)若救助船A,8分别以40海里/小时、30海里〃J、时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救,

试通过计算判断哪艘船先到达.

北

【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船P与救助船8之间的距离为60夜海里；（2）救助船B先到达.

【解析】

【分析】（1）如图，作于C,在APAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可:

（2）根据“时间=路程+速度''分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.

【详解】（1）如图，作PCLA8于C,

则NPC4=ZPC8=90，

由题意得：24=120海里，NA=30，NBPC=45，

尸。=工%=60海里，是等腰直角三角形，

2

.•.3C=PC=6（）海里，PB=dPC2+BC?=60亚海里，

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为6072海里；

北

（2）；94=12（）海里，PB=6。近海里，救助船A3分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,

・♦・救助船A所用的时间为---=3（小时），

40

救助船B所用时间为"叵=2&（小时）,

30

：3>2拒，

，救助船8先到达.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定,

勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

25.如图，四边形ABCO中，AD//BC,AD1AB,AD=AB=\,DC=-j5,以A为圆心，AO为半径作

圆，延长C£)交OA于点凡延长D4交1A于点E,连结BF，交。E于点G.

(1)求证：8C为I4的切线；

(2)求cos/EOF的值；

(3)求线段BG的长.

【答案】(1)见解析；(2)述；(3)亚

53

【解析】

【分析】(1)根据平行线的性质，证明/ABC=90。即可；

(2)根据平行线的性质，得NEDF=NBCD,过点D作DHLBC,垂足为H,在直角三角形CZJH中，根据

三角函数的定义计算即可；

(3)过4作A/L/C于点J,证明FGD^FBC,后利用勾股定理计算即可

【详解】(1)证明：•••AOaBCADLAB,

NCa4=N54£>=90°

,/AB^AD^l

：.CB是QA的切线

(2)过。作£)HJ.BC于"，

•/AB±BC,DH±BC

•••AB//DH

；•四边形A3”£)为平行四边形

DH=AB=\,BH=AD=\,ZEDF=ZC

在RfADHC中,NOHC=9()°,OH=1,OC=6

；•HC=yJCD2-DH2=75^1=2,

BC=BH+HC=3,

・、厂

..cos/ZEZ7DFIFZ7=-cosN/C_=HC_――2产_——2yJ/T5

DC^55

(3)过A作A/LFC于点J,

：.FJ=JD

在氏A/O中，ZAJD=90°,AD=I

：.J0=AOcosZAA=1|石=|石

FD=2JD.也

：.FD:FC=FD:(FD+DC)=4:9

ED//BC

VFGD^.FBC

GOF4

-==

8CF-9-

4

3-

AG^GD-AD^-

3

RtGW中，NGAB=90。,AG」,A6=1

3

BG=7AG2+AB2=Jl+1=誓.

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活运用勾

股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：了=必2+笈+。交》轴于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴交

于点c。，一3

图1图2

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)如图1,点。为第四象限抛物线上一点，连接。。,过点B作8E_LOO,垂足为E,若BE=2OE,

求点D的坐标：

(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点，连接交3c于点M连接BA/，记的面积

为S1,乙ABN的面程为邑，求1k的最大值.

32

1Q0

【答案】(1)y——X2—X—；(2)2)；(3)—

2216

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；

(2)先根据B£=2OE和勾股定理求得0E=地，BE=—，过点E做7户平行于03交y轴于T,

55

3BE6

易证ET4OEB,利用相似三角形的性质求得TE=二，OT=F=£,进而求得点E坐标，求得直

5755

线0E的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点力坐标；

(3)延长8c于至点凡使AE〃y轴，过A点作A/7于点”，作MT〃y轴交8尸于点7，过M点

作用于点。，证明-AEHs二朋7工),利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得

==利用待定系数法求出直线8c的解析式，进而可求得AF,设M元彳/一工一,则

S2AHAFI22J

==+-,根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而

22(22)2)8

S.

可求得小的最大值.

【详解】解：(1)依题意，设y=a(x+l)(x-3),

代入C(0,一得：«-1-(-3)=--,解得：a=-

<2J22

ii13