九年级上册数学重庆南开期末测试及答案

九年级上册数学重庆南开期末测试及答案第30页（共32页）重庆市南开中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．7的倒数是（）A． B．﹣ C．7 D．﹣72．下列四个字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．N B．K C．Z D．X3．运算（﹣mn2）3的结果是（）A．﹣m3n5 B．m3n6 C．﹣m3n6 D．m3n54．分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=45．南开中学举行了首届“南开故事会”讲故事比赛，有12名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己是否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这12名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数6．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=65°，则∠BAC的大小为（）A．45° B．50° C．60° D．65°7．如果，AB是⊙O的弦，半径为OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长为（）A．2 B．3 C．2 D．28．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡42张，则这个小组有（）人．A．6 B．7 C．8 D．99．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C． D．10．成渝高铁的开通，给重庆市民的出行带来了极大的方便，元旦期间，小丽和小王相约到成都欢乐谷游玩，小丽乘私家车从重庆出发1小时后，小王乘坐高铁从重庆出发，先到成都东站，然后坐出租车去欢乐谷，他们离开重庆的距离y（千米）与乘车t（小时）的关系如图所示，结合图象，下列说法不正确的是（）A．两人恰好同时到达欢乐谷B．高铁的平均速度为240千米/时C．私家车的平均速度为80千米/时D．当小王到达成都车站时，小丽离欢乐谷还有50千米11．将1、、、按如图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，5）表示的数是（）A．1 B． C． D．12．如图，一次函数y=﹣kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=（k≠0）交于C、D两点，且C、D两点分别是线段AB的三等分点，若S△AOB=，则n=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上．13．函数y=中，自变量x的取值范围是．14．重庆南开中学占地360亩，约240000平方米，将240000这个数用科学记数法表示为．15．已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为．16．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为．（结果保留π）17．有六张正面分别标有数字﹣2、﹣、0、1、2、3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片的数字a记为点P的横坐标，将a2记为点P的纵坐标，已知P（a，a2）落在直线y=﹣x+n上的概率为，则n的值为．18．如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为．四、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．19．计算：×cos60°﹣tan45°﹣12016．20．化简：（1）（3﹣a）（a+3）﹣（2a+3）2；（2）．21．初三年级对上周迟到的学生人数进行统计后，制成了如下两幅不完整的统计图：（1）本周内每天迟到人数的极差是．（2）请将折线统计图补充完整；（3）统计有4名同学迟到达到2次及以上，其中有3名男生，年级拟从这4名同学中任选2人了解迟到原因，请你用列表法或画树状图的方法求出所选同学为一男一女的概率．22．酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路AB为一条坡度为i=5：12的斜坡，在斜坡下端B处有一座塔，陈老师在A处测得塔顶P的俯角为14°，沿斜坡前行65米到达B处，请根据以上条件求塔的高度BP．（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97）23．对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把d（P1，P2）=|x1﹣x2|y2﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离．（1）已知点A（1，1），点B（3，4），则d（A，B）=．（2）已知点E（a，a），点F（2，2），且d（E，F）=4，则a=．（3）已知点M（m，2），点N（1，0），则d（M，N）的最小值为．（4）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M（5，1）到直线y=x+2的直角距离．24．随着私家车的增多，节假日期间，高速公路收费站经常拥堵严重，去年元旦早上8点，某收费站出城方向有120辆汽车排队等候收费通过，假设每分钟到达收费站的汽车数量保持不变，每个收费窗口每分钟可以通过的汽车数量也不变，若开放5个收费窗口，则需要20分钟才能将原来排队等候的汽车及后来到达的汽车全部收费通过；若开放全部6个窗口，只需15分钟．（1）请求出每分钟到达收费站的车辆数以及每个收费窗口每分钟可以通过的车辆数；（2）为了缓减拥堵，今年元旦节前，该收费站将出城方向的6个窗口中的若干个改造成了ETC通道，已知ETC通道每分钟可以通过10辆车，今年元旦早上8点有130辆车排队等候收费通过，在每分钟到达的汽车数量比去年同期增长50%的情况下，不到5分钟所有排队等候的汽车及后来到达的汽车全部收费通过，请问至少有几个收费窗口改造成了ETC通道？五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG=CG．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），与y轴交与点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，当△PMN为等腰三角形时，求此时EM的长．

2015-2016学年重庆市南开中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．7的倒数是（）A． B．﹣ C．7 D．﹣7【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义解答即可．【解答】解：∵7×=1，∴7的倒数是，故选A．【点评】此题考查倒数的定义，关键是根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．下列四个字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．N B．K C．Z D．X【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、N不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、K是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、Z不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、X是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．运算（﹣mn2）3的结果是（）A．﹣m3n5 B．m3n6 C．﹣m3n6 D．m3n5【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】利用积的乘方法则直接计算即可．【解答】解：原式=（﹣mn2）3=﹣m3n6故选C．【点评】本题考查了积的乘方法则，注意积中每个因式分别乘方，熟记法则是解题的关键．4．分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4【考点】解分式方程．【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验．【解答】解：，去分母得：3x﹣3=2x，移项得：3x﹣2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：X=3，故选：C．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方．5．南开中学举行了首届“南开故事会”讲故事比赛，有12名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己是否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这12名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数【考点】统计量的选择．【分析】12人成绩的中位数是第6、7名成绩平均数．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，第6、7的成绩平均数是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．故选：D．【点评】本题主要考查统计量的选择，熟悉平均数、中位数、众数、方差的意义是此类问题的关键．6．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=65°，则∠BAC的大小为（）A．45° B．50° C．60° D．65°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD∥BC，∠1=65°，∴∠C=∠1=65°，∴∠B=65°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣65°﹣65°=50°，故选B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C，注意：三角形内角和等于180°，两直线平行，内错角相等．7．如果，AB是⊙O的弦，半径为OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长为（）A．2 B．3 C．2 D．2【考点】垂径定理．【分析】过点O作AB的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定理得到AB的长．【解答】解：如图：过点O作OC⊥AB于C，则AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°．在直角△AOC中，sin60°=，∴AC=AOsin60°=2×=．AB=2AC=2．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡42张，则这个小组有（）人．A．6 B．7 C．8 D．9【考点】一元二次方程的应用．【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=42，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这小组有x人．由题意得：x（x﹣1）=42，解得x1=7，x2=﹣6（不合题意，舍去）．即这个小组有7人．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C． D．【考点】菱形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．10．成渝高铁的开通，给重庆市民的出行带来了极大的方便，元旦期间，小丽和小王相约到成都欢乐谷游玩，小丽乘私家车从重庆出发1小时后，小王乘坐高铁从重庆出发，先到成都东站，然后坐出租车去欢乐谷，他们离开重庆的距离y（千米）与乘车t（小时）的关系如图所示，结合图象，下列说法不正确的是（）A．两人恰好同时到达欢乐谷B．高铁的平均速度为240千米/时C．私家车的平均速度为80千米/时D．当小王到达成都车站时，小丽离欢乐谷还有50千米【考点】一次函数的应用．【分析】根据图象的信息解答，且利用路程除以时间得出速度判断即可．【解答】解：A、根据图象得出两人恰好同时到达欢乐谷，正确；B、高铁的平均速度==240千米/时，正确；C、设y=kt+b，当t=1时，y=0，当t=2时，y=240，得：，解得：，故把t=1.5代入y=240t﹣240，得y=120，设y=at，当t=1.5，y=120，得a=80，∴y=80t，所以私家车的平均速度=80千米/时，正确；D、当t=2，y=160，216﹣160=56（千米），∴小丽离欢乐谷还有56千米，错误．故选D．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意结合函数图象得出一次函数解析式是解题关键．11．将1、、、按如图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，5）表示的数是（）A．1 B． C． D．【考点】算术平方根．【专题】规律型．【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（7，5）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．【解答】解：∵第6排最后一个数为1+2+3+4+5+6==21，∴（7，5）表示21+5=26个数，∵26÷4=6…2，∴（7，5）表示的数为，故选B．【点评】此题考查数字的变化规律；判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．12．如图，一次函数y=﹣kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=（k≠0）交于C、D两点，且C、D两点分别是线段AB的三等分点，若S△AOB=，则n=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】令x=0，则y=﹣kx+n=n，令y=0，则0=﹣kx+n，即x=，于是得到A（，0），B（0，n），求得OA=，OB=﹣n，根据三角形的面积列方程×（﹣n）=，得到，于是得到（﹣，0），由于C、D两点分别是线段AB的三等分点，得到C（﹣，）求得k=•=﹣1，得到△AOB是等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：令x=0，则y=﹣kx+n=n，令y=0，则0=﹣kx+n，即x=，∴A（，0），B（0，n），∴OA=，OB=﹣n，∵S△AOB=，∴，即×（﹣n）=，∴k=，∴，∴A（﹣，0），∵C、D两点分别是线段AB的三等分点，∴C（﹣，）∴k=•=﹣1，∴OA=﹣n，∴OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴（﹣n）2=，∴﹣n=，∴n=﹣，故选B．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上．13．函数y=中，自变量x的取值范围是x＜．【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【解答】解：依题意，得1﹣2x＞0，解得：x＜．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．注意当单独的二次根式在分母时，被开方数应大于0．14．重庆南开中学占地360亩，约240000平方米，将240000这个数用科学记数法表示为2.4×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：240000=2.4×105，故答案为：2.4×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为12．【考点】平移的性质．【专题】动点型．【分析】根据题意：将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，可得：AB∥A′B′，且BC=CC′；故D为A′B′的中点；则△C′DC的面积为△ABC的面积的一半，即12．【解答】解：∵AB∥A′B′，且BC=CC′∴D为A′B′的中点，又∵BC=CC′，∴S△C′DC=S△ABC=×24=12．【点评】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．16．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为9﹣3π．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算．【分析】连结AD．根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积﹣三角形ACD的面积﹣扇形ADE的面积，列出算式即可求解．【解答】解：连结AD．∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，∴∠C=60°，AB=6，∵AD=AC，∴三角形ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠DAE=30°，∴图中阴影部分的面积=﹣×﹣=9﹣3π，故答案为：9﹣3π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．17．有六张正面分别标有数字﹣2、﹣、0、1、2、3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片的数字a记为点P的横坐标，将a2记为点P的纵坐标，已知P（a，a2）落在直线y=﹣x+n上的概率为，则n的值为2．【考点】概率公式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据概率公式可得直线y=﹣x+n上的点P（a，a2）有2个，再根据一次函数图象上点的坐标特征得出n=x+y=a+a2=2．【解答】解：∵有六张正面分别标有数字﹣2、﹣、0、1、2、3的不透明卡片，∴P（a，a2）一共有6种情况，当a=﹣2、﹣、0、1、2、3时，a2=4、、0、1、4、9，∴a+a2=2、﹣、0、2、6、12，∵P（a，a2）落在直线y=﹣x+n上的概率为，而n=y+x，∴直线y=﹣x+n上的点P（a，a2）有2个，此时a+a2=2=n，故答案为2．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．18．如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为18﹣5．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】如作AP1⊥BD垂足为P1，当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值，当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值，分别求出MQ的最大值与最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作AP1⊥BD垂足为P1，∵∠DBA=45°，AB=10，∴∠P1AB=∠DBA=45°，AP1=P1B=5，∵AM=MD=AD=4，当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值=5﹣4，当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值=AM+AF=14，∴MQ的最大值与最小值的差=14﹣（5﹣4）=18﹣5．故答案为18﹣5．【点评】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质等知识，根据题意找到MQ最大值与最小值的位置是解题的关键．四、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．19．计算：×cos60°﹣tan45°﹣12016．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】将cos60°=，tan45°=1，12016=1代入原式，再运用实数的运算法则，即可得出结论．【解答】解：原式=+4×﹣1﹣1=4+2﹣1﹣1=4．【点评】本题考查了实数的运算、负整数的指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：记住特殊角的三角函数值并能熟练的运用实数的运算法则解决问题．20．化简：（1）（3﹣a）（a+3）﹣（2a+3）2；（2）．【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式将式子展开，然后再合并同类项即可解答本题；（2）先将括号内的式子通分，然后根据分式的除法法则进行计算即可．【解答】解：（1）（3﹣a）（a+3）﹣（2a+3）2=9﹣a2﹣（4a2+12a+9）=9﹣a2﹣4a2﹣12a﹣9=﹣5a2﹣12a；（2）．====．【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式、完全平方和公式，解题的关键是明确它们各自的计算方法．21．初三年级对上周迟到的学生人数进行统计后，制成了如下两幅不完整的统计图：（1）本周内每天迟到人数的极差是4．（2）请将折线统计图补充完整；（3）统计有4名同学迟到达到2次及以上，其中有3名男生，年级拟从这4名同学中任选2人了解迟到原因，请你用列表法或画树状图的方法求出所选同学为一男一女的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；折线统计图．【分析】（1）由周四迟到的学生人数为5人，占20%，可求得本周迟到的学生总人数，继而可分别求得每天迟到人数，进而求得答案；（2）由（1）可补全折线统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选同学为一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵周四迟到的学生人数为5人，占20%，∴本周迟到的学生总人数为：5÷20%=25（人），∴周五迟到的学生人数为：25×28%=7（人），∵周二、周三迟到的学生人数分别为：3人，6人，∴周一迟到的学生人数为：25﹣3﹣5﹣7﹣6=4（人），∴本周内每天迟到人数的极差是：7﹣3=4（人）；故答案为：4；（2）如图：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选同学为一男一女的有6种情况，∴选同学为一男一女的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及折线统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路AB为一条坡度为i=5：12的斜坡，在斜坡下端B处有一座塔，陈老师在A处测得塔顶P的俯角为14°，沿斜坡前行65米到达B处，请根据以上条件求塔的高度BP．（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】如图，过点P作PE⊥AC于点E．通过坡度的定义求得AC：BC：AB=5：12：13，则易得AC=25米，BC=60米，所以利用矩形的性质和解直角△APE求得BP的长度即可．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AC于点E．∵AB=65米，tan∠ABC==，∴AC：BC：AB=5：12：13，∴AC=25米，BC=60米，∴PE=BC=60米，∴AE=PE•tan14°=60×0.25=15（米）．∴BP=EC=25﹣15=10（米）．【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．23．对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把d（P1，P2）=|x1﹣x2|y2﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离．（1）已知点A（1，1），点B（3，4），则d（A，B）=5．（2）已知点E（a，a），点F（2，2），且d（E，F）=4，则a=0或4．（3）已知点M（m，2），点N（1，0），则d（M，N）的最小值为2．（4）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M（5，1）到直线y=x+2的直角距离．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据平面直角坐标系中的任意两点的距离的计算公式计算即可；（2）根据平面直角坐标系中的任意两点的距离的计算公式列出算式，根据绝对值的性质计算；（3）根据平面直角坐标系中的任意两点的距离的计算公式和绝对值的非负性解答；（4）根据平面直角坐标系中的任意两点的距离的计算公式列出算式，分x≤﹣1、﹣1＜x≤5和x≥5三种情况，根据绝对值的性质计算即可．【解答】解：（1）点A（1，1），点B（3，4），则d（A，B）=|3﹣1|+|4﹣1|=5，故答案为：5；（2）∵点E（a，a），点F（2，2），d（E，F）=4，∴|2﹣a|+|2﹣a|=4，当a＞2时，a﹣2+a﹣2=4，解得a=4，当a＜2时，2﹣a+2﹣a=4，解得a=0，故答案为：0或4；（3）d（M，N）=|1﹣m|+|0﹣2|=|1﹣m|+2，∵|1﹣m|≥0，∴|1﹣m|的最小值为0，则|1﹣m|+2的最小值为2，即d（M，N）的最小值为2，故答案为：2．（4）设点N为直线y=x+2上一点，点N的坐标为（x，x+2），则d（M，N）=|x﹣5|+|x+2﹣1|=|x﹣5|+|x+1|，当x≤﹣1时，d（M，N）=5﹣x﹣x﹣1=﹣2x+4，由一次函数的性质可知，d（M，N）的值随x的增大而减小，当x=﹣1时，d（M，N）的最小值是6；当﹣1＜x≤5时，d（M，N）=5﹣x+x+1=6；当x≥5时，d（M，N）=x﹣5+x+1=2x﹣4，由一次函数的性质可知，d（M，N）的值随x的增大而增大，当x=5时，d（M，N）的最小值是6，综上所述，点M（5，1）到直线y=x+2的直角距离为6．【点评】本题考查的是平面直角坐标系中的任意两点的距离的计算以及一次函数的性质，正确理解新定义是解题的关键，对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小．24．随着私家车的增多，节假日期间，高速公路收费站经常拥堵严重，去年元旦早上8点，某收费站出城方向有120辆汽车排队等候收费通过，假设每分钟到达收费站的汽车数量保持不变，每个收费窗口每分钟可以通过的汽车数量也不变，若开放5个收费窗口，则需要20分钟才能将原来排队等候的汽车及后来到达的汽车全部收费通过；若开放全部6个窗口，只需15分钟．（1）请求出每分钟到达收费站的车辆数以及每个收费窗口每分钟可以通过的车辆数；（2）为了缓减拥堵，今年元旦节前，该收费站将出城方向的6个窗口中的若干个改造成了ETC通道，已知ETC通道每分钟可以通过10辆车，今年元旦早上8点有130辆车排队等候收费通过，在每分钟到达的汽车数量比去年同期增长50%的情况下，不到5分钟所有排队等候的汽车及后来到达的汽车全部收费通过，请问至少有几个收费窗口改造成了ETC通道？【考点】一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每分钟到达收费站的车辆数为x辆，每个收费窗口每分钟可以通过的车辆数为y辆，由题意得等量关系：①5个收费窗口20分钟通过的车的数量=120辆+20分钟到达的车的数量；②6个收费窗口15分钟通过的车的数量=120辆+15分钟到达的车的数量，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）设有a个收费窗口改造成了ETC通道，由题意得不等关系：[每分钟a个ETC通道通过的车的数量+（6﹣a）个人工窗口通过的车的数量]×5≥130辆+5分钟到达的车的数量，根据不等关系列出不等式，再解即可．【解答】解：（1）设每分钟到达收费站的车辆数为x辆，每个收费窗口每分钟可以通过的车辆数为y辆，由题意得：，解得：．答：每分钟到达收费站的车辆数为4辆，每个收费窗口每分钟可以通过的车辆数为2辆；（2）设有a个收费窗口改造成了ETC通道，由题意得：5×[10a+2（6﹣a）]≥130+（1+50%）×4×5，解得：a≥2.5，∵a为整数，∴a=3．答：至少有3个收费窗口改造成了ETC通道．【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出方程组和不等式．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG=CG．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由正方形的性质得出BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，证出∠BAE=∠CBF，由ASA证明△BCF≌△ABE，得出CF=BE=1，因此DF=CD﹣CF=3，由勾股定理求出AF即可；（2）证明A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠AGO=∠ABO=45°，求出∠FGO=453，即可得出结论；（3）连接EF，证明C、E、G、F四点共圆，由圆周角定理得出∠EFC=∠EGC=45°，证出△CEF是等腰直角三角形，CE=CF，同（1）得：△BCF≌△ABE，得出CF=BE，因此CE=BE=BC，得出OA=AC=CE，由（1）得：A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOG=∠BAE，证出∠GOA=∠GEC，得出△AOG∽△CEG，由相似三角形的对应边成比例得出=，即可得出结论．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥B