2023-2024学年福建省福州市屏东中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市屏东中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，已知a=3，b=2A.60° B.120° C.60°或1202.已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CDA.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆柱、两个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱 D.两个圆柱、一个圆台3.水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，已知A

A.6 B.3 C.3224.在空间中，α，β表示平面，m表示直线，已知α∩β=lA.若m/​/l，则m与α，β都平行 B.若m与α，β都平行，则m/​/l

C.若m与l异面，则m与α，β都相交 D.若m与5.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2−b2=3A.5π6 B.2π3 C.6.一个正方体的外接球的表面积为S1，从正方体的八个顶点中任取四个两两距离相等的点，以其中一点为球心O，另三点都在球O的表面，球O的表面积为S2，则S1A.83 B.263 C.7.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为

A.−3 B.−1312 C.138.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BDA.点P可以是棱BB1的中点

B.线段MP的最大值为32

C.点P的轨迹是正方形

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是

(

)

A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2

10.已知a=(t,A.|a|的最小值为1

B.若a⊥b，则t=0

C.若t=1，与a垂直的单位向量只能为(211.在正方形ABCD中，BC=1，点EA.当t=13时，AE=13AB+AD B.当t=12.在等腰△ABC中，已知AB=4，CA=CB=8，若HA.AH⋅BC=0 B.A三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.计算PA−PB+14.已知向量a在向量b方向上的投影为−2b，且|b|=3，则a⋅15.在△ABC中，A=π3，AB边上的高为16.平面向量a,b,c满足|a|=|b四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知向量a，b满足|a|=2，(a−2b)⋅(a+2b)=−18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．

(1)19.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足ctanA=2asinC．

(1)求角A20.(本小题12分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．

(Ⅰ)21.(本小题12分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC/​/平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．

(1)求证：C22.(本小题12分)

某景区有一人工湖，湖面有A，B两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m，如图所示.现要测量A，B两点之间的距离，工作人员分别在C，D两点进行测量，在C点测得∠ACD=45°，∠BCD=30°；在D点测得∠ADB=135°，∠BDC

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵a=3，b=2，B=45°，

∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=3×222=32，

2.【答案】B

【解析】解：等腰梯形的底CD较长，绕其所在的直线旋转一周，

相当于两个全等的直角三角形分别绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成两个圆锥，

还有一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱，

所以所得的几何体为一个圆柱、两个圆锥．

故选：B．

先考虑两个全等的直角三角形分别绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的几何体，再考虑一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周形成的几何体，即可得到答案．

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了平面图形的三视图，斜二测画法，属于基础题．

将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．

【解答】

解：直观图还原成平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=904.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了空间中的线线、线面关系，熟练掌握相关定理是关键，属基础题．

利用线线关系、线面关系的定理分别分别选择．

【解答】

解：对于A，α∩β=l，m/​/l，则m与α，β可能都平行，也可能在其中一个平面内；故A错误；

对于B，α∩β=l，若m与α，β都平行，根据线面平行的性质可以判断m/​/l；故B正确；

对于C，α∩β=l，若m与l异面，则m与α，β可能都相交，也可能与其中一个平面平行，与另一个平面相交；故C错误；

对于5.【答案】D

【解析】解：∵由sinC=23sinB，由正弦定理可知：c=23b，代入a2−b2=3bc6.【答案】C

【解析】解：设正方体的棱长为a，则其外接球的半径R满足(2R)2=a2+a2+a2=3a2，所以S1=4πR2=3πa2；

如图，取A，C7.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，因为AD=2DB，

所以AB=32AD，

所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD，

又因为C，P，D三点共线，

所以m+34=1，8.【答案】B

【解析】解：如图，取棱BC的中点E，连接DE，B1E，ME，

因为M，N分别为BD1，B1C1的中点，

所以在△BCD1中，ME//CD1，由于ME⊄平面CND1，CD1⊂平面CND1，

所以ME/​/平面CND1，

因为B1N//CE，B1N=CE，所以，四边形CNB1E为平行四边形，

所以CN//B1E，因为CN⊂平面CND1，B1E⊄平面CND1，

所以B1E//平面CND1，

因为B1E∩ME=E，B1E，ME⊂平面B1EM，

所以平面B1EM//平面CND1，

由于M为体对角线BD1的中点，

所以，连接B1M并延长，直线B1M必过D点，

故取A1D1中点F，连接B1F，FD，DE9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积，圆柱、圆锥的体积，球的表面积和体积，属于基础题．

利用圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积公式，计算即可得到答案．【解答】

解：A选项，圆柱的侧面积S=2πR×2R=4πR2，故A不正确；

B选项，圆锥的侧面积S=12×2πR×(2R)2+R2=5π10.【答案】AB【解析】解：已知a=(t,1),b=(2,t)，

对于选项A，|a|=t2+1≥1，

即|a|的最小值为1，

即选项A正确；

对于选项B，若a⊥b，

则t×2+1×t=0，

即t=0，

即选项B正确；

对于选项C，若t=1，

则a=(1,1)，

则与a垂直的单位向量为11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算及性质，向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的夹角，向量的数量积与向量的垂直关系，考查运算求解能力，是中档题．

把t=13代入，利用平面向量的加法与数乘运算判断A；把t=23代入，再由数量积求夹角判断B；由向量垂直与数量积的关系列式求解t，即可判断【解答】

解：如图，

当t=13时，DE=13DC，AE=AD+DE=AD+13DC=13AB+AD，故A正确；

当t=23时，AE=AD+23AB，BE=BC+CE=AD−13AB，

AE12.【答案】AB【解析】解：A选项：因为H为垂心，为三条高线的交点，则AH⋅BC=0，选项A正确；

B选项：因为W为外心，是三条边中垂线的交点，

则AW⋅BC=AW⋅AC−AW⋅AB=12|AC|2−12|AB|2=32−8=24，选项B正确；13.【答案】0

【解析】解：PA−PB+AB=P14.【答案】−18【解析】解：向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθ⋅b|b|=−2b15.【答案】7【解析】解：根据题意，AB边上的高h=33AB，可得S△ABC=12AB⋅33AB=12AB⋅ACsinA，

即36AB2=34AB⋅AC，整理得AB=316.【答案】7【解析】解：因为2a⋅b=1，

所以a⋅b=12，

因为|a|=|b|=1，

所以设b=(1,0),a=(12,32),c=(x,y)，

所以c−2a=(x−1,y−3),c−b=(x−1,y)，

所以|c−2a|+|c−b|

=(x−117.【答案】解：(1)因为(a−2b)⋅(a+2b)=−12，所以|a|2−4|b|2=−12，

因为|a|=2，所以4【解析】(1)由(a−2b)⋅(a18.【答案】证明：(1)如图所示：

连接AC交BD于点G，连接GE，

因为ABCD为平行四边形，

所以G为AC的中点，

又E为PC的中点，

所以GE/​/PA，

又PA⊄平面BDE，GE⊂平面BDE，

所以PA//平面BDE；

(2)因为底面ABCD为平行四边形，

所以AB/​/CD，

又【解析】本题考查线面平行的判定及其性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．

(1)连接AC交BD于点G，连接GE，根据ABCD为平行四边形，得到G为AC的中点，再由E为PC的中点，得到GE/​19.【答案】解：(1)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足ctanA=2asinC，

由正弦定理，可得：sinCtanA=2sinAsinC，

则cosA=12，又0<A<π，∴A=π3；

(2【解析】(1)利用正弦定理得到sinCt20.【答案】解：(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，

设D1E∩DC=F，连接AF，

∵F∈DC，DC⊂平面ABCD，则F∈平面ABCD，

∵F∈D1E，D1E⊂平面AD1E，∴F∈平面AD1E.

∴平面AD1E∩平面ABCD=【解析】(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，可证F∈平面ABCD且F∈平面AD1E，得到平面AD1E21.【答案】(1)证明：如下图，设F为AP中点，连接EF、BF，

因为E是PD的中点，F为AP中点，所以EF/​/AD且EF=12AD，

因为BC/​/平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC/​/AD，且BC=12AD，

所以EF/​/BC，且EF=BC，可得四边形BCEF为平行四边形，CE/​/BF，

因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE/​/平面PAB；

(2)【解析】(1)设F为AP中点，连接EF、BF，由三角形中位线定理、线面平行的性质，证