江苏省南京市师范大学第二附属中学高三数学理联考试题含解析

江苏省南京市师范大学第二附属中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（是虚数单位）的虚部为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0,π/6]

D．[0,π/3]参考答案：D【考点】：直线与圆的位置关系．【分析】：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是，故选：D．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．3.若为偶函数，则在区间上

（

）A．单调递增

B．单调递减

C．先增后减

D．先减后增参考答案：C略4.二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A． B． C．5 D．15参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；二项式定理．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．【解答】解：的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．其通项公式Tr+1=C6r?（）r?，令3﹣=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为C62?（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．5.若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．6.设不等式组所表示的区域为M，函数y=﹣的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（

）A．B． C．D．参考答案：B【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率．【解答】解：作出图形如图所示：则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆，点O到直线x+y=﹣和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切．∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===．故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．

7.若集合,,则A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至A'DE位置，使A'M=，设MC的中点为Q,A'B的中点为P，则

①A'N平面BCED

③NQ∥平面A'EC

③DE平面A'MN，

④平面PMN∥平面A'EC

以上结论正确的是

A.①②④

B.②③④.

C.①②③

D.①③④参考答案：【知识点】空间几何体

G4

G5C解析：由题意可知MN与CE在同一平面内且不平行，所以一定有交点，即平面PMN与平面A'EC有交点，所以不平行，④错误，其它可计算出正确.所以C为正确选项.【思路点拨】根据空间几何体的位置关系进行计算可判定结果.9.已知向量，向量满足，则||的值为

（

）A．

B．

C．4

D．参考答案：B10.已知全集U=R，集合A＝，B＝，则等于A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≤-2}C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|x＜1或x＞2}参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于

．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】观察题目中两角75°和15°的互余关系，结合三角函数的同角公式化简前二项，反用二倍角公式化简后一项即可．【解答】解：∵cos275°+cos215°=cos275°+sin275°=1，且cos75°cos15°=cos75°sin75°=sin150°=，∴cos275°+cos215°+cos75°cos15°=．故填：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．12.已知角终边经过点，则

．参考答案：13.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________.参考答案：14.i为虚数单位，设复数z满足，则z的虚部是____参考答案：分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.详解：由，可得,，可得，所以，的虚部是，故答案为点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.15.命题“?x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：．参考答案：?x＞0，使得sinx＜﹣1考点：命题的否定．分析：先否定题设，再否定结论．解答：解：∵“?x＞0”的否定是“?x＞0”，“都有sinx≥﹣1”的否定是“使得sinx＜﹣1”，∴“?x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定是“?x＞0，使得sinx＜﹣1”．故答案为：?x＞0，使得sinx＜﹣1．点评：本题考查命题的否定，解题时要注意审题，认真解答．16.在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，∴圆C与圆D相切，∴|CD|=1或CD=3，∵|CD|=，∴解得a=0或a=．∴圆心C的非零横坐标是．故答案为：．17.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积______．参考答案：【分析】由正方体的外接球的半径为正方体体对角线的一半，可求出R，然后计算体积.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上所以球的半径为正方体体对角线的一半，即所以故答案为【点睛】本题考查了正方体的外接球，正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）设△的内角对边分别为，且，若，求的值．参考答案：19.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在CD上．(1)求二面角P－DB－C的正弦值；(2)求点C到平面PBD的距离．

参考答案：.证明：（1）过O作OE⊥BD于点E，连接PE∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，∴BD⊥PE，∴∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，在△POE中，PE＝3，OE＝1，PO＝2，则sin∠PEO＝；----6分

(2)VC－PBD＝VP－BCD，∴××h＝××2，解得h＝2.即点C到平面PBD的距离为2----12分

20.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.参考答案：解：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：，.（2）由正弦定理得：，，，即：.略21.（本小题满分12分）

已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式的解集是空集．

（I）求角的最大值；

（II）若，的面积，求当角取最大值时的值．参考答案：解：（1）显然

不合题意，则有，--------2分即，即，故，∴角的最大值为-----6分（2）当=时，，∴-------------8分由余弦定理得，∴，∴--------------------12分22.（本小题满分13分）已知数列中，（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III），，求使对所有的都成立的最大正整数的值．参考答案：（I）

……………2分